Tìm m để phơng trình 1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.. Gọi một nghiệm của 1 là a thì nghiệm kia là 3a.. Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với ∀m... Tìm GTL
Trang 1Bài 1 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Gi
ải : Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
• Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1
• Xét 2m-1≠0=> m≠ 1/2 khi đó ta có
,
∆ = m2-2m+1= (m-1)2≥0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
với m≠ 1/2 pt còn có nghiệm x=m2−m m−+11=
1 2
1
−
m
pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
1 2
1
−
m <0
<
−
>
+
−
0 1 2
0 1 1 2
1
m
<
−
>
−
0 1 2
0 1 2 2
m m
m
=>m<0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm
b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn 3
2
3
x −
=50
Giải : Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:
<
+
=
+
>
− +
=
≥
− +
− +
=
∆
0 1 2
0 6
0 6 4
1
2
2
1
2
2
1
2 2
m
x
x
m m
x
x
m m m
2 1
0 ) 3 )(
2 (
0 25
−
<
⇔
−
<
>
+
−
>
=
∆
m
m m
b Giải phơng trình: (m− 2)3 − (m+ 3 ) 3 = 50
−
−
=
+
−
=
⇔
=
− +
⇔
= + +
⇔
2
5 1 2
5 1
0 1 50
) 7 3 3 ( 5
2 1
2 2
m m
m m m
m
Bai 3: Cho phơng trình : x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 ( 1 ) ; m là tham số
a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
Trang 2b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng
ba lần nghiệm kia
Gi ải Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0
⇔ (m - 1)2 – m2 – 3 ≥ 0
⇔ 4 – 2m ≥ 0
⇔ m ≤ 2
b/ Với m ≤ 2 thì (1) có 2 nghiệm
Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a Theo Viet ,ta có:
3 22 2
a a m
a a m
⇒ a= 1
2
m− ⇒3( 1
2
m− )2 = m2 – 3
⇔ m2 + 6m – 15 = 0
⇔ m = –3±2 6 ( thõa mãn điều kiện)
Bài 4: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11
Giải
Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì ∆ > 0
<=> (2m - 1)2 - 4 2 (m - 1) > 0
Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:
⇔
=
−
−
=
−
−
= +
11 4x 3x
2
1 m x x
2
1 2m x
x
2 1
2 1
2 1
=
−
−
−
=
=
11 8m -26
7 7m 4 7
4m -13 3
8m -26
7 7m x
7
4m -13 x 1 1
8m -26
7 7m 4 7
4m -13
Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt t
Bài 5 : Cho pt x2 −mx+m− 1 = 0
a Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với ∀m
Trang 3b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt Tìm GTLN, GTNN của bt Câu 2 a : cm ∆ ≥ 0 ∀m
B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:
−
=
=
+
1 2
1
2
1
m
x
x
m x
x
2
1 2
2 +
+
=
⇒
m
m
P (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn
1 1
2 2
1
1 2
1
=
⇔
=
−
=
⇔
−
=
⇒
≤
≤
−
⇒
m GTNN
m GTLN
P
( 1)
2
3 2
2 1
2 2
2 1
2 1
+ +
+
+
=
x x x
x
x x P
Bài 6 : Cho phơng trình 2−2 3x2- mx + 2−2 3m2 + 4m - 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) với m = -1 b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn 1 2
2 1
1 1
x x x
x + = +
Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) 0 2 9 0
2
9 2
=
− +
⇔
=
− +
+
−
=
−
−
=
⇒
10 1
10 1
2
1
x
x
b) Để phơng trình 1 có 2 nghiệm thì
4
1 0
2 8
≥
+ Để phơng trình có nghiệm khác 0
+
−
≠
−
−
≠
⇒
≠
− +
⇔
2 3 4
2 3 4
0 1 4 2
1
2 1 2
m m
m m
(*)
+
=
−
= +
⇔
=
− +
⇔ +
=
+
0 1
0 0
) 1 )(
( 1
1
2 1
2 1 2
1 2 1 2
1 2
x x x
x x x x
x
x
x
+
−
=
−
−
=
=
⇔
=
− +
=
⇔
19 4
19 4
0 0
3 8
0
2
2
m m
m
m
m
m
Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = 0 và
Trang 4Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:
x2 - m2x + m + 1 = 0
có nghiệm nguyên
Giải
Phơng trình có nghiệm nguyên khi = m 4 - 4m - 4 là số chính phơng
Ta lại có: m = 0; 1 thì < 0 loại
m = 2 thì = 4 = 2 2 nhận
m ≥ 3 thì 2m(m - 2) > 5 ⇔ 2m2 - 4m - 5 > 0
⇔ - (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + 4
⇔ m4 - 2m + 1 < < m 4
⇔ (m2 - 1)2 < < (m 2)2
không chính phơng
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
Bài 8: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình
x2-(m+5)x-m+6 =0
Có 2 nghiệm x1 và x2 thoã mãn một trong 2 điều kiện sau:
a/ Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị
b/ 2x1+3x2=13
Câu 2: Ta có ∆x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+1 0 để ph≥ ơng trìnhcó hai nghiệmphân biệt khi vàchỉ khi m -7≤ -4 3 và m -7+4 3 (*) ≥
a/ Giả sử x2>x1 ta có hệ x2-x1=1 (1)
x1+x2=m+5 (2)
x1x2 =-m+6 (3)
Giải hệ tađợc m=0 và m=-14 thoã mãn (*)
b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’)
x1+x2 = m+5(2’)
x1x2 =-m+6 (3’)
giải hệ ta đợc m=0 và m= 1 Thoả mãn (*)
Bài 3: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)
a Chứng minh phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m
c Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + x2 (với x1, x2 là nghiệm của
ph-ơng trình (1))
gi
ải : a ∆'= m2 –3m + 4 = (m -
2
3
)2 +
4
7
>0 ∀m
Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
b Theo Viét:
−
=
−
= +
3
) 1 ( 2 2 1
2 1
m x x
m x
x
=>
−
=
−
= +
6 2 2
2 2 2 1
2 1
m x x
m x x
<=> x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 không phụ thuộc vào m
a P = x1 + x1 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – 2 (m-3)
= (2m -
2
4
15 4
15
Trang 5VËyPmin =
4
15víi m =
4
5