NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN -LỚP 10 CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO –THPT Câu 1. Giải phương trình : 3x 4 2 3x+ = − (*) (*) 3x 4 2 3x (1) Pt 3x 4 3x 2(2) + = − ⇔ + = − 1 x 3 Vn = ⇔ . Câu 2. Cho hệ phương trình : mx 2y 1 (I) x (m 1)y m + = + − = . Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.Tìm các giá trị của m để nghiệm duy nhất (x;y) là các số nguyên. Giải: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất * Điều kiện : D 0≠ . * Tính 2 D m m 2= − − và giải được m 1≠ − và m 2≠ . Tìm m để nghiệm duy nhất là các số nguyên * Khi m 1≠ − và m 2≠ thì hpt (I) có nghiệm duy nhất (x ; y) với 1 x m 2 − = − và m 1 y m 2 − = − . * Nghiệm duy nhất nguyên khi và chỉ khi m 2 1− = ± m 1 m 3 = ⇔ = Câu 3. Cho phương trình : 2 mx 2(m - 2)x m 3 0 (1).+ + − = a/ Giải và biện luận phương trình (1) theo m. b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 x ,x sao cho : 1 2 2 1 x x 3 x x + = . Giải: a/ * Khi m = 0 thì (1) trở thành : 3 4x 3 0 x 4 − − − = ⇔ = . * Khi m 0 ≠ thì (1) là phương trình bậc hai có 4 m∆ = − . + Nếu m > 4 thì phương trình (1) vô nghiệm. + Nếu m 4≤ thì phương trình (1) có hai nghiệm : 1 2 2 m 4 m x m , − ± − = . Kết luận : + m = 0 : 3 S 4 − = . + m > 4 : S = ∅ . + m 4≤ và m 0≠ : Phương trình (1) có hai nghiệm : 1 2 2 m 4 m x m , − ± − = . b/ * Khi m 4≤ và m 0≠ thì phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 x x, . * ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 1 x x 3 x x 5x x 0 x x + = ⇔ + − = . * Thay vào và tính được 1 65 m 2 − ± = : thoả mãn điều kiện m 4≤ và m 0≠ . Câu 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ∆ABC với A(1; 2),B(5; 2),C(3;2)− − . Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ∆ABC. Hướng dẫn: VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 1 - Toạ độ trọng tâm G : 9 G 1 2 ; − ÷ . Toạ độ trực tâm H : * AH BC 0 2 x 1 4 y 2 0 2 x 5 4 y 2 0 BH AC 0 . ( ) ( ) ( ) ( ) . uuuur uuur uuuur uuur = − − + + = ⇔ − + + = = . * H (3 ; - 1 ). Toạ độ tâm đường trong ngoại tiếp I : * 2 2 2 2 AI BI 8x 24 4x 8y 8 AI CI = = ⇔ + = = . * 1 I 3 2 ; ÷ . Câu 5. 1. Cho hai tập hợp: A=[1; 4); { } / 3B x R x= ∈ ≤ .Hãy xác định các tập hợp: , \A B A B∩ ? 2. Tìm hàm số bậc hai y = ax 2 + bx +6 biết đồ thị của nó có đỉnh I(2,-2) và trục đối xứng là x = 2. Giải: 1. A = [1; 4); { } / 3B x R x= ∈ ≤ = [-3, 3] 1;3A B ∩ = \ (3;4)A B = 2. Thay tọa độ đỉnh I(2;-2), ta có hệ phương trình: 4a 2 4 2 2a b b + = − − = 4a 2 4 4a 0 b b + = − ⇔ + = Giải hệ ta được: 1 4 a b = = − . Vậy hàm số cần tìm là y = x 2 – 4x +6 . Câu 6. 1. Cho hệ phương trình: x 2 1 ( 1) m y x m y m + = + − = . Hãy xác định các tham số thực m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 2. Cho phương trình: 2 2 2 x+m -m=0x m− . Tìm tham số thực m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn 1 2 2 1 3 x x x x + = . Giải: 1. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất * Điều kiện : D 0≠ . * Tính 2 D m m 2= − − và giải được m 1≠ − và m 2≠ . Vậy với m 1≠ − và m 2≠ thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x ; y) với 1 x m 2 − = − và m 1 y m 2 − = − . 2. Phương trình: − − 2 2 x 2mx + m m = 0 có hai ngiệm phân biệt khi ' 0∆ > 0m⇔ > TheoYCBT thì: + + = ⇔ = 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 3 .x x x x x x x x ⇔ + − = 2 1 2 1 2 ( ) 5x x 0x x VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 2 - ⇔ − − = ⇔ − + = 2 2 2 (2m) 5(m m) 0 m 5m 0 = ⇔ = 0 ( ) 5 m Loai m Vậy với m = 5 thì thỏa YCBT Câu 7. Chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thì 1 1 1 ( )( ) 9x y z x y z + + + + ≥ . Giải: , , 0x y z∀ > . Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được: 3 3 . .x y z x y z+ + ≥ (1) 1 1 1 , , 0 ; ; 0x y z x y z ∀ > ⇒ > . Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được: 3 1 1 1 1 1 1 3 . . x y z x y z + + ≥ (2) Nhân BĐT (1) & (2) vế theo vế, ta được: 1 1 1 ( )( ) 9x y z x y z + + + + ≥ . đpcm Câu 8. 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ: = − = − = + uuur r r uuur r r uuur r r OA i 2j, OB 5i j, OC 3i 2j. Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. 2. Cho 4 sin (0 ) 5 2 π α α = < < . Tính giá trị biểu thức: + α = − α 1 tan P 1 tan . Giải: 1. Tọa độ các điểm A(1;-2), B(5;-1), C(3;2). Toạ độ trọng tâm G : 1 G 3 3 − ÷ ; . Toạ độ trực tâm H : Gọi (x;y) là tọa độ của H. * AH BC 0 2 x 1 3 y 2 0 2 x 5 4 y 1 0 BH AC 0 = − − + + = ⇔ − + + = = . ( ) ( ) ( ) ( ) . uuuur uuur uuuur uuur . * 25 2 ( ; ) 7 7 H − . 2. Ta có: 4 sin 5 α = . Tìm được 3 4 cos ; tan 5 3 α α = = Thay vào biểu thức: α α + + = = = − − − 4 1 1 tan 3 7 4 1 tan 1 3 P . Câu 9. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c. CMR: c C b B a A abc cba coscoscos 2 222 ++= ++ . Giải: Ta có: ( ) + + = + + + + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuuur 2 2 2 2 AB BC CA AB BC CA 2AB.BC 2AB.CA 2BC.CA ⇔ + + = + + uuur uuur uuur uuur uuuruuuur 2 2 2 a b c 2AB.BC 2AB.CA 2BC.CA ⇔ + + = + + 2 2 2 a b c 2ac.cosB 2cbcosA 2ab.cosC + + ⇔ = + + 2 2 2 a b c cosA cosB cosC 2abc a b c Câu 10. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x 2 - 2x – 3. b) Tìm m để phương trình: x 2 - 2x - m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt Giải: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x 2 - 2x – 3 * Tập xác định : D = ¡ VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 3 - * Đồ thị là parabol có đỉnh I: 2 1 2 2.1 1 2.1 3 4 4 I I b x a y a − = − = − = ∆ = − = − − = − nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng. * Vì a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trong (-∞;1), đồng biến trong (1;+∞) VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 4 - Bảng biến thiên: x - ∞ 1 - ∞ + ∞ + ∞ - 4 y *Đồ thị (C ) đi qua các điểm: (-1;0),(0;- 3), (2;-3),(3;0) * Đồ thị (C ): y = x 2 - 2x - 3 b) Tìm m để phương trình: x 2 - 2x - m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt Ta có: x 2 - 2x - m + 1 = 0 ⇔ x 2 -2 x -3 = m – 4 (1) * Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C 1 ) : y = x 2 -2 x -3 với đường thẳng d: y = m- 4 * Vì hàm số y = x 2 -2 x -3 là hàm số chẵn nên nên đồ thị (C 1 ) được suy ra từ đồ thị (C ) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (C ) ứng với x≥ 0 và lấy đối xứng phần đồ thị này qua trục Oy * Để pt (1) có bốn nghiệm phân biệt thì: - 4< m – 4< -3 ⇔ 0 < m< 1 Câu 11. Tìm m để hệ phương trình : 2 2 2 ( 1) 1 2 x m y m x m y m m − + = − + − = − − có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. Giải: Tìm m để hệ phương trình : 2 2 2 ( 1) 1 2 x m y m x m y m m − + = − + − = − − có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. * D = 2 2 2 -m-1 2 1 ( 1)(2 1) 1 -m m m m m= − + + = − − + D x = 3 2 3 2 2 2 1 -m-1 3 2 2 (2 1) 2 -m m m m m m m m m m m − + = − − − − = − + − − D y = 2 2 2 -m+1 2 4 1 ( 1)(2 1) 1 -m 2 m m m m m m = − − + − = + + − * D = -(m-1)(2m+1) ≠ 0⇔ m≠ 1 và m ≠ - 1 2 thì hệ pt có nghiệm (x;y) duy nhất: x = 2 2 2 1 1 x D m D m m = = + − − y = 1 2 1 ( 1) 1 y D m D m m + = = − − − − − * Để x ∈¢ ,y ∈¢ thì : m- 1 = ± 1, m- 1= ± 2. Suy ra: x ∈ {2; 0; 3; - 1} VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 5 - x x d: y = m - 4 m -1 O 1 -1 3 -4 I -3 2 -3 -2 y x y = x 2 -2x-3 O 1 -1 3 -4 I -3 2 Câu 12. Bằng cách đặt ẩn phụ, giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3 Giải: Bằng cách đặt ẩn phụ, giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3 * Ta có: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3⇔(x-1)(x – 4)(x-2)(x-3) – 3 = 0 ⇔(x 2 - 4x +4)(x 2 - 4x +6) – 3 = 0 (1) * Đặt t = x 2 - 4x +4.Pt (1)⇔ t(t+2) – 3 = 0 ⇔ t 2 +2t – 3 = 0 1 3 t t = ⇔ = − * t = 1: x 2 - 4x +4 = 1 ⇔ x 2 – 4x + 3 = 0 5 13 2 x ± ⇔ = * t = - 3: x 2 - 4x +4 = - 3 ⇔ x 2 – 4x + 7 = 0.Phương trình này vô nghiệm Vậy nghiêm của pt (1): 5 13 2 x ± = Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho :A(2;6),B(-3;4),C(5;0) a) Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho 2AD BC= − uuur uuur Giải: a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác. * AB uuur = (-5;-2); AC uuur = (3;-6) * Vì 5 2 3 6 − − ≠ − nên AB uuur và AC uuur không cùng phương nên A,B,C không thẳng hàng, hay A,B,C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho 2AD BC= − uuur uuur Giả sử D(x;y) * AD uuur = (x-2;y-6) (8;4)BC = uuur ⇒ -2 BC uuur = (-16;-8) * 2AD BC= − uuur uuur ⇔ 2 16 6 8 x y − = − − = − ⇔ 14 2 x y = − = − Câu14. Cho ∆ABC có trọng tâm G.Đặt a r = GB uuur , b GC= r uuur .Hãy biểu thị mỗi vectơ , , ,CB GA AC BA uuur uuur uuur uuur qua các vectơ a r và b r . Giải: a r = GB uuur , b GC= r uuur . Hãy biểu thị mỗi vectơ , , ,CB GA AC BA uuur uuur uuur uuur qua các vectơ a r và b r . CB GB GC a b= − = − uuur uuur uuur r r GA GB GC a b= − − = − − uuur uuur uuur r r 2AC AG GC GA GC a b= + = − + = + uuur uuur uuur uuur uuur r r 2BA BG GA GB GA a b= + = − + = − − uuur uuur uuur uuur uuur r r Câu 15. Giải phương trình: a) 4 7 2 3x x+ = − (1) b) 2 3 1x x+ = − (2) Giải: a) Điều kiện 7 4 x ≥ − Pt (1) 2 4 7 4 12 9x x x⇒ + = − + ⇒ 4x 2 -16x+2=0 ⇒ x 1,2 = 4 14 2 ± Cả hai giá trị đều thoã mãn điều kiện nhưng khi thay vào pt thì x 2 = 4 14 2 − không thoã mãn. Vậy phương trình có một nghiệm là x= 4 14 2 + b) +)Với x ≥ 3 2 − pt trở thành 2x+3=x-1 hay x=-4 (không thoã mãn đk x ≥ 3 2 − n ên bị loại) VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 6 - +) Với x< 3 2 − phương trình trở thành -2x-3=x-1 Hay x= 2 3 − (lo ại) Vậy: Phương trình vô nghiệm. Câu 16. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: 8 a b b c c a b c c a a b + + + ≥ ÷ ÷ ÷ Giải: Áp dụng bất đ ẳng th ức Côsi cho hai số dương ,ta được ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 2 2 0 3 a b a b c c b c b c a a c a c a b b + ≥ > + ≥ > + ≥ > Nh ân c ác b ất đ ẳng th ức (1);(2);(3) theo từng vế ta được: 8 . . a b b c c a a b c b c c a a b c c a + + + ≥ ÷ ÷ ÷ =8 Dấu “=” xảy ra khi a=b=c Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=(-2x+3)(x-1), với 3 1 2 x≤ ≤ Giải: Ta có y=(-2x+3)(x-1)= 1 2 (-2x+3)(2x-2),Với 3 1 2 x≤ ≤ . Ta có 2x-2>0 và -2x+3>0. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương là 2x-2>0 và -2x+3>0. ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 (2x-2)+(-2x+3) 2 2 2 2 3 ( ) 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 8 x x x x x x≥ − − + ⇔ ≥ − − + ⇔ − − + ≤ Hay y ≤ 1 8 .Vậy giá trị lớn nhất của y là 1 8 tại x = 5 2 Câu 18. Cho A(-4;2);B(2;6);C(0;-2) a) Hãy tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC c) Xác định toạ độ trực tâm H của tam giác ABC Giải: a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB DC= uuur uuur (1) Mà (6;4)AB = uuur ; ( ;2 )DC x y= − − uuur Từ (1) ta có 6 6 2 4 2 x x y y − = = − ⇔ − = = − Vậy D(-6;-2) b) Gọi G là trọng tâm của tam giác.Khi đó: ; 3 3 A B C A B C x x x y y y G + + + + ÷ hay 2 ( ;2) 3 G − c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 4; 2 ; 2; 6 ; 2; 8 ; 4; 4AH x y BH x y BC AC= + − = − − = − − = − uuur uuur uuur uuur Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 12 x 2 x 4 8 y 2 0 AH BC AH.BC 0 x 4y 4 0 5 BH AC x y 4 0 8 4 x 2 4 y 6 0 BH.AC 0 y 5 = − − + − − = ⊥ = − − + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⊥ − + = − − − = = = uuur uuur uuur uuur Vậy 12 8 H( ; ) 5 5 − Câu19. Giải các phương trình sau : VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 7 - a) 1243 −=− xx b) 1262 2 −=+− xxx Giải: a) Tùy theo cách cách giải khác nhau để cho điểm sau đây là một cách cụ thể Đặt đk: 2 1 012 ≥⇔≥− xx Pt 3x 4 2x 1 x 3 3x 4 1 2x x 1 − = − = ⇔ ⇔ − = − = So sánh điều kiện kết luận pt có nghiệm x = 3 và x =1 b) Đặt đk: 2 x 2x 6 0 2x 1 0 − + ≥ − ≥ Pt 2 2 x 1 x 2x 6 4x 4x 1 5 x 3 = − ⇔ − + = − + ⇔ = So sánh điềm kiện kết luận: Pt có nghiệm x = 3 5 Câu20. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng : cbaab c ac b bc a 111 ++≥++ Giải: Dùng bất đẳng thức cô si ta có: a b 2 bc ac c b c 2 ac ab a c a 2 ab bc b + ≥ + ≥ + ≥ aab c ac b bc a 1 ≥++⇔ + cb 11 + ( đpcm) VÕ HOÀNG CHƯƠNG - Trường THCS Số 2 Bình Nguyên Trang - 8 - . cosC 2abc a b c Câu 10. a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số: y = x 2 - 2x – 3. b) Tìm m để phương trình: x 2 - 2x - m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt Giải: a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ. (1) có hai nghiệm 1 2 x x, . * ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 1 x x 3 x x 5x x 0 x x + = ⇔ + − = . * Thay vào và tính được 1 65 m 2 − ± = : thoả mãn điều kiện m 4≤ và m 0≠ . Câu 4. Trong mặt phẳng. uuur . * 25 2 ( ; ) 7 7 H − . 2. Ta có: 4 sin 5 α = . Tìm được 3 4 cos ; tan 5 3 α α = = Thay vào biểu thức: α α + + = = = − − − 4 1 1 tan 3 7 4 1 tan 1 3 P . Câu 9. Cho tam giác ABC có ba