Một số bài khó dạng mạch RLC có omega biến thiên

Điều chỉnh giá trị của  để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu của cuộn cảm đạt cực đại.. Khi f = f1 thì điện áp hiệu dụng trên tụ có giá trị cực đại, mạch tiêu thụ công suất bằng 3 4 công s

MẠCH RLC CÓ ω BIẾN THIÊN

I SỰ BIẾN THIÊN CỦA P,UR UL, UC THEO ω.

1 Tìm ω để Pmax.

Ta có: P =I R2 Vậy Pmax khi I có giá trị lớn nhất Khi đó trong mạch xảy ra cộng hưởng

.L

w Khi Imax thì điện áp giữa hai đầu điện trở R cũng có giá trị lớn nhất và bằng UAB Vì vậy ta kí hiệu

LC là tần số góc ứng với giá trị cực đại của UR

2 Tìm ω để ULmax.

Có thể dùng đạo hàm hoặc dùng tính chất của tam thức bậc hai để giải bài toán Ở trong nhiều các tài liệu khác, các tác giả đã đưa ra cách giải quyết vấn đề này Ở đây, tôi không đưa ra nữa mà chỉ đưa

ra kết quả cuối cùng với mục đích dùng để vận dụng, giải các bài tập trắc nghiệm

= - thì tần số góc để ULmax được tính theo công thức: L 1

X.C

w =

Và khi đó, điện áp cực đại của cuộn cảm được tính theo công thức: L max

2 2

2.U.L U

=

-3 Tìm ω để UCmax.

Tần số góc để UCmax được tính theo công thức: wC = X

L

Và khi đó điện áp cực đại của tụ được tính theo cùng công thức của ULmax

2.U.L

R 4LC R C Lưu ý:

 Điều kiện để UL, UC có cực trị là biểu thức trong căn của X L R2

là phải có: 2L >C.R2 Và khi đó ta có thể chứng minh được: wC <wR < wL Nghĩa là,

khi tăng dần tốc độ góc ω từ 0 đến ∞ thì điện áp trên các linh kiện sẽ lần lượt đạt cực đại theo thứ tự: C, R, L

 Và nếu lấy tích của ωC và ωL thì ta sẽ có công thức sau:

0

=

w w w2

C. L R

 Khảo sát kĩ hơn để so sánh UCmax, ULmax và U thì ta có: UCmax = ULmax > U Nếu vẽ chung đồ thị của UR, UL , UC trên cùng một hệ trục toạ độ với trục hoành là trục giá trị ω thì ta có hình

vẽ sau:

 Với những giá trị của ω < ωR thì UC > UL, mạch khi đó có tính dung kháng Với những giá trị của ω > ωR thì UL > UC mạch có tính cảm kháng

II Những lưu ý khác.

1 Khi UC cực đại:

Ta có:

L

-( )

2

R

-2

-=

Vậy ta có: tan tan1 2 1

2

Biến đổi hệ thức trên ta có: Z2C =Z2+Z2L

2 Khi UL cực đại:

Tương tự như trên ta có các công thức sau:

U

UAB

0

ZC- ZL

2

a

Z

L R

O

Z

( )

2

R =2.Z Z - Z

1 tan tan

2

3 Ứng với hai giá trị của ω thoả mãn công thức 1. 2 1

LC

w w =

Khi đó, ta có: 1

2

1 L

.C

1

1 L

.C

Nghĩa là khi đó thì ZL và ZC đổi giá trị cho nhau Hệ quả của điều này là:

- Tổng trở của mạch có cùng một giá trị

- Cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch có cùng một giá trị

- Điện áp trên cuộn cảm và trên tụ đổi giá trị cho nhau: UC1=UL2 (vì I bằng nhau, nhưng ZL

và ZC đổi giá trị cho nhau)

- Công suất tiêu thụ trên mạch có cùng một giá trị

- Điện áp hiệu dụng U trên R có cùng một giá trị.R

cos

U

j = của mạch có cùng một giá trị

4 Sự phụ thuộc của UL, UC vào w được biểu diễn bằng các đồ thị sau.2

VẤN ĐỀ CẦN KHẢO SÁT Dạng đồ thị Công thức

Khảo sát U L theo ω 2

- Khi ω 2 = 0 thì Z C = ∞, I = 0 và U L = 0

- Khi ω 2 = w2L thì U Lmax

- Khi ω 2 = ∞ thì Z L = ∞ = Z AB , U L =

U AB

U

L

2 1

w

0 2L *

w

U

A B

0

Z

L- Z

C

2

a

ZC

R O

Z

AB

U

Khảo sát U C theo ω 2

- Khi ω 2 = 0 thì Z C = ∞= Z AB , và U C =

U AB

- Khi ω 2 = w2C thì U Cmax

- Khi ω 2 = ∞ thì Z L = ∞, I = 0, U C = 0

    

 Đồ thị của UL cắt đường nằm ngang UAB tại hai giá trị w và 2L* ¥ Theo công thức trong

¥

L L*

2

w Nghĩa là, giá trị của ω để UL = UAB nhỏ hơn giá trị của ω để ULmax 2 lần

 Đồ thị của Uc cắt đường nằm ngang UAB tại hai giá trị của ω là 0 và w Áp dụng công 2C* thức trong bảng trên ta tính được: 2 2

C* =2 C C* = C 2

w w Þ w w Nghĩa là, giá trị của ω để UC = UAB

lớn hơn giá trị của ω để UC cực đại 2 lần

MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1 Cho mạch điện xoay chiều RLC có CR2 < 2L Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u = U 2cos(t) , trong đó U không đổi,  biến thiên Điều chỉnh giá trị của  để điện

áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt cực đại Khi đó UL = 0,1UR Tính hệ số công suất của mạch khi đó

A 1

17 B 1

26

C 2

13 D 3

7

Giải:

a

2

cos

+

a

a

0

UC

UAB

ZC- ZL 2

a

Z

L R

O

Z

Bài 2 Cho mạch điện AB gồm điện trở thuần R, cuộn thuần cảm L và tụ C nối tiếp với nhau theo thứ tự

trên., và có CR2 < 2L Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u = U 2cos(t) , trong đó U không đổi,  biến thiên Điều chỉnh giá trị của  để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt cực đại Khi đó C max

5U U

4

 Gọi M là điểm nối giữa L và C Hệ số công suất của đoạn mạch AM là:

A 2

7 B 1

3 C 5

6 D 1

3

Giải:

Ta có: UC max 5UÛ ZC 5Z

  Không làm ảnh hưởng đến kết quả bài toán, có thể giả sử ZC = 5Ω, Z = 4Ω.Ω, Z = 4Ω.Ω

L

( ) ( )

R = 2.Z Z - Z = 2.3 5 3- =2 3 W Suy ra: ZAM = 2 2

L

Hệ số công suất của đoạn mạch AM 1

AM

cos

a

Bài 3 Cho mạch điện xoay chiều RLC có CR2 < 2L Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều

có biểu thức u = U 2 cos(t) , trong đó U không đổi,  biến thiên Điều chỉnh giá trị của  để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu của cuộn cảm đạt cực đại Khi đó UL max 41U

40

 Tính hệ số công suất của mạch khi đó

11

Giải:

Tương tự trên, có thể giả sử: Z = 4Ω.0Ω, ZL = 4Ω.1Ω

C

( ) ( )

R = 2.Z Z - Z = 2.9 41 9- =24W

j

Bài 4 Cho mạch điện AB gồm điện trở thuần R, cuộn thuần cảm L

và tụ C nối tiếp với nhau theo thứ tự trên., và có CR2 < 2L Đặt vào hai

đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u = U 2 cos(t) ,

trong đó U không đổi,  biến thiên Điều chỉnh giá trị của  để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt cực đại Gọi M là điểm nối giữa cuộn cảm và tụ Người ta dùng vôn kế V1 để theo dõi giá trị của UAM, vôn kế

V2 để theo dõi giá trị của UMN giá trị lớn nhất mà V2 chỉ là 90V Khi V2 chỉ giá trị lớn nhất thì V1 chỉ giá trị

30 5V Tính U

2

a

ZC R

ZL- ZC

O

Z

Bên giản đồ véc tơ, ta có:

( )2 2

x = 90 – y = 30V

Lưu ý: Nếu cần tính UR khi đó thì ta có:

R

U = =v 2.x.y= 2.60.30=60V

Hệ số công suất của mạch khi đó là: UR 1

Câu 4 Cho mạch điện RLC mắc nối tiếp, trong đó RC2 < 2L Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều u = U 2 cos 2ft, trong đóng U có giá trị không đổi, f có thể thay đổi được Khi f = f1 thì điện áp hiệu dụng trên tụ có giá trị cực đại, mạch tiêu thụ công suất bằng 3

4 công suất cực đại Khi tần số của dòng điện là f2 = f1 + 100Hz thì điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm có giá trị cực đại

a Tính tần số của dòng điện khi điện áp hiệu dụng của tụ cực đại.

A 125Ω, Z = 4Ω.Hz B 75Ω, Z = 4Ω 5 Hz C 5Ω, Z = 4Ω.0 15Hz D 75Ω, Z = 4Ω 2Hz

b Tính hệ số công suất của mạch khi điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm cực đại.

A 3

5

Giải:

a Hai tần số f1 và f2 thoả mãn công thức: f ff = Vậy tần số của dòng điện để điện áp hiệu dụng 1 22 2 R2

trên điện trở đạt cực đại là: ffR = f1 2 (*)

Khi điều chỉnh f để công suất tiêu thụ trên mạch cực đại thì trong mạch xảy ra cộng hưởng Hệ

số công suất khi đó bằng 1 Và công suất tiêu thụ của mạch được tính bằng biểu thức: Pmax U2

R

=

Trong các trường hợp khác thì công suất của mạch được tính bằng biểu thức:

max

x

y

v

90V

2

a O

U

Ứng với tần số f1, công suất tiêu thụ trên mạch bằng 3

4 Pmax Vậy ta suy ra hệ số công suất khi

Ucmax là 3 3

4= 2 ( trên hình vẽ, hệ số công suất của mạch khi này có giá trị bằng cosa 1 Không làm ảnh hưởng đến kết quả, có thể giả sử v = 3 , z = 2 Khi đó ta suy ra y = 1

Theo công thức của phần lý thuyết ở trên thì ta có:

2

Theo tỷ lệ trên hình vẽ thì khi tần số dòng điện là f1 thì tỉ số giữa dung kháng và cảm kháng của mạch là : C1

L1

+

Vì khi tần số của dòng điện tăng từ f1 đến f2 thì điện áp của tụ và của cuộn cảm đổi giá trị cho nhau, nên cảm kháng và dung kháng trong mạch cũng đổi giá trị cho nhau Nên ở tần số f2 thì ta có:

L2

C2

Z = 3 Hay L2 2

Mặt khác: f2 = f1 + 100 (Hz)

Giải hệ phương trình ta suy ra: f1 = 15Ω, Z = 4Ω.0Hz, f2 = 25Ω, Z = 4Ω.0Hz

Thay hai giá trị f1 và f2 ở trên vào(*) ta có:

R

b Hệ số công suất của mạch khi điện áp giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực

đại cũng bằng hệ số công suất của mạch khi điện áp giữa hai đầu tụ

điện đạt cực đại và bằng 3

2

Bài 5 Dùng dữ kiện sau để trả lời các câu hỏi:

Cho mạch điện như hình vẽ Có ba linh kiện : điện trở, tụ, cuộn thuần cảm được đựng trong ba hộp kín, mỗi hộp chứa một linh kiện, và mắc nối tiếp với nhau Trong đó: RC2 < 2L

Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u = U 2.cos t, trong đó U không đổi,  có thể thay đổi được Tăng dần giá trị của  từ 0 đến  và theo dõi số chỉ của các vôn kế và am pe

kế, rồi ghi lại giá trị cực đại của các dụng cụ đo thì thấy giá trị cực đại của V1 là 170V, của V2 là 15Ω, Z = 4Ω.0V, của

V3 là 170V, của A là 1A Theo trình tự thời gian thì thấy V3 có số chỉ cực đại đầu tiên

a Theo thứ tự từ trái sang phải là các linh kiện:

b Theo trình tự thời gian, các dụng cụ đo có số chỉ cực đại lần lượt là:

y

2

a v Z O

x

3

V

3

A V3, V2, A, V1

B V3, sau đó V2 và A đồng thời, cuối cùng là V1

C V3 sau đó là V1, cuối cùng là V2 và A đồng thời

D V3 và V1 đồng thời, sau đó là V2 và A đồng thời

c Tính công suất tiêu thụ trong mạch khi V1 có số chỉ lớn nhất

Giải:

a Khi tăng dần ω từ 0 đến ∞ thì UC đạt cực đại đầu tiên Theo đề, V3 có số chỉ cực đại đầu tiên Vậy Z

là hộp chứa tụ

Do UL max =UC max Mà số chỉ cực đại của V1 và V3 bằng nhau Nên ta suy ra X là hộp chứa cuộn cảm Cuối cùng, Y là hộp chứa điện trở thuần

Vậy theo thứ tự từ trái sang phải là các linh kiện: L, R, C Chọn đáp án B

b Khi I đạt cực đại thì UR cũng đạt cực đại nên A và V2 đồng thời có số chỉ cực đại

Theo trình tự thời gian, các dụng cụ đo có số chỉ cực đại lần lượt là: V3 , sau đó V2 và A đồng thời, cuối cùng là V1 Chọn B

c V2 có số chỉ cực đại UR max =UAB Vậy ta có UAB = 15Ω, Z = 4Ω.0V Khi V2 (và đồng thời A) có số chỉ cực đại thì công suất tiêu thụ trên mạch lớn nhất và bằng:

Khi V1 có số chỉ cực đại thì ta có giản đồ véc tơ như hình bên:

C

( )

R

U = 2.80 170 80- =120V

150

Công suất tiêu thụ của mạch khi đó là:

2

max

U

R

Câu 6 Cho mạch điện RLC mắc nối tiếp, trong đó RC2 < 2L Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều u = U 2 cos 2ft, trong đóng U có giá trị không đổi, f có thể thay đổi được Khi f = f1 thì điện áp hiệu dụng trên tụ có giá trị bằng U, mạch tiêu thụ công suất bằng 3

4 công suất cực đại Khi tần số của dòng điện là f2 = f1 + 100Hz thì điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm có giá trị bằng U

a Tính tần số của dòng điện khi điện áp hiệu dụng của tụ cực đại.

A 5Ω, Z = 4Ω.0Hz B 75Ω, Z = 4Ω.Hz C 5Ω, Z = 4Ω.0 2Hz D 75Ω, Z = 4Ω 2Hz

b Tính hệ số công suất của mạch khi điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm cực đại.

A 6

7 B 1

5

170V 2

a

UC

UR O

Z 15Ω, Z = 4Ω.0V

a Công suất tiêu thụ của đoạn mạch được tính bằng công thức:

2 max

P =P cos j

Theo đề, khi f = f1 thì UC = U và có cos2 3 cos 3

Giản đồ véc tơ của mạch khi đó có dạng như hình vẽ:

trên hình vẽ: ta có φ = 300, α = 600, OB = MB Suy ra tam giác

OMB là tam giác đều Vậy UC = 2UL

1

1

2 f L

2 f Cp = p

ứng với hai tần số f1 và f2 thì UL và UC đổi giá trị cho nhau nên ZL và

ZC cũng đổi giá trị cho nhau, ta có:

ZL2 = ZC1 = 2ZL1 Suy ra f2 = 2f1

Mặt khác, f2 = f1 + 100 Hz

Suy ra: f1 = 100Hz, f2 = 200Hz

Tần số của dòng điện khi UC = U gấp 2 lần tần số của dòng điện khi

Ucmax Vậy khi Ucmax thì tần số của dòng điện là:

1

C

b ứng với tần số f2, UL = U, giản đồ véc tơ của mạch như hình vẽ:

Không làm ảnh hưởng đến kết quả, có thể giả sử: ZL = ZAB = 2Ω Khi

đó, ZC = 1Ω , R = 3 Ω

Ứng với tần số fL = f2 2 thì điện áp trên tụ đạt giá trị cực đại Lúc đó,

cảm kháng của mạch tăng lên 2 lần, dung kháng của mạch giảm đi 2

lần Giản đồ véc tơ như hình vẽ c

Trên giản đồ này, ta có: OH = 3 , HM = 2 2 1 3

3

+ =

Hệ số công suất của mạch khi đó là:

cos

2

j

Bài 7 Cho mạch điện như hình vẽ:

Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có biểu thức u = U0cos ωt (V) trong đó, U0 có giá trị không đổi, ω có thể thay đổi được Điều chỉnh ω để điện áp hiệu dụng trên tụ có giá trị cực đại, khi đó uAN

lệch pha góc 71,5Ω, Z = 4Ω.70 (tan 71,5Ω, Z = 4Ω.70 =3) so với uAB, công suất tiêu thụ của mạch khi đó là 200W Hỏi khi điều chỉnh ω để công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại thì giá trị cực đại đó bằng bao nhiêu? Biết rằng hệ số công suất của đoạn mạch AN lớn hơn hệ số công suất của đoạn mạch AB

UC

UAB

UL U

R

O

B M

2 2

1

M

2

M

Giải:

Khi UC đạt cực đại thì giản đồ véc tơ của mạch như hình vẽ

Ta có:

( ) 1 2 0

1 tan tan

+

Mặt khác, ta có: tan tana1 a2 = 0,5 (2)

Và vì hệ số công suất của đoạn mạch AN lớn hơn hệ số công

suất của đoạn mạch AB nên ta có: a1 <a 2 (3)

2

Hệ số công suất của đoạn mạch AB là

2

2

Công suất tiêu thụ của đoạn mạch được tính bởi công thức:

2

1

2

Theo đề thì P = 200W Suy ra Pmax = 4Ω.00W

Bài 8 Cho mạch điện như hình vẽ:

Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay

chiều có biểu thức u = U0cos ωt (V) trong đó, U0

có giá trị không đổi, ω có thể thay đổi được

Điều chỉnh ω để điện áp hiệu dụng trên tụ có giá trị cực đại, khi đó uAN lệch pha góc α so với uAB Tìm giá trị nhỏ nhất của α

Giải:

Khi UC đạt cực đại thì giản đồ véc tơ của mạch như hình vẽ

Ta có: tan tana1 a2 = 0,5

( ) 1 2 1 2 ( )

Vì α1, α2 là những góc nhọn, nên tan của chúng là những số dương

Theo bất đẳng thức Cosi ta có:

1

2

Vậy thay vào biểu thức trên ta có:

0 tana³ 2 2Þ a ³ 70,53

Vậy khi UC đạt giá trị cực đại thì uRL sớm pha hơn uAB một góc tối thiểu

bằng 70,5Ω, Z = 4Ω.30

ZC

x

y

v

Z

RL

2

a

O

Z

x

y

v

Z

RL

2

a

O

Z

Bài 9 Cho mạch điện xoay chiều RLC nối

tiếp, trong đó L là cuộn thuần cảm, RC2 > 2L

Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều

có biểu thức u = U cos t 0 (w +j )( )V trong đó

U0 không đổi, còn ω có thể thay đổi được Ban đầu tần số góc của dòng điện là ω, hệ số công suất của đoạn mạch MB bằng 0,6 Khi tăng tần số của dòng điện lên gấp đôi thì điện áp giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại Hỏi từ giá trị ω, phải thay đổi tần số của dòng điện thế nào để:

a Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt cực đại

b Điện áp hiệu dụng trên tụ đạt cực đại

Giải:

a Khi tần số góc là ω, hệ số công suất của đoạn MB là 0,6 Không làm ảnh hưởng đến kết quả có thể giả

sử khi đó: R = 6Ω, ZMB = 10Ω Suy ra ZC = 8Ω

Khi tăng tần số của dòng điện lên gấp đôi (đến ω’ = 2ω) thì dung kháng của mạch là Z ' C = W , điện áp 4

hiệu dụng trên cuộn cảm đạt cực đại Lúc đó giản đồ véc tơ của mạch như hình vẽ

Ta có:

C

Cảm kháng của mạch khi này là : Z ' L = + 4 4,5 8,5 = W

Tỉ lệ giữa cảm kháng và dung kháng của mạch là:

'

2 L

'

C

2 L.2 C 4 LC

Khi điều chỉnh để công suất tiêu thụ của mạch đạt giá trị cực đại thì

trong mạch xảy ra cộng hưởng Lúc đó tỉ số giữa cảm kháng và dung

kháng của mạch là:

''

" " "2

L

"

C

Z

"

w

Vậy từ tần số góc ω, muốn cho công suất của mạch đạt cực đại thì phải tăng tần số góc lên 32

17 lần.

b Gọi ω’’’ là tần số góc khi điện áp trên tụ đạt cực đại Ta có:

2

"2

"' '

32

w w

Vậy từ giá trị tần số góc ω, muốn cho điện áp hiệu dụng trên tụ đạt cực đại thì phải giảm tần số góc xuống đến giá trị . 16

17

w ( tức là giảm bớt đi một lượng

17

w )

x

6Ω

Q

4Ω.Ω

Z

ZRC

Bài 10 Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ, trong đó cuộn

dây có điện trở thuần r Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay

chiều có biểu thức u = U0cos ωt (V), trong đó U0 không thay đổi,

ω có thể thay đổi được Điều chỉnh giá trị của ω để điện áp hiệu

dụng của đoạn MB đạt cực đại thì giá trị cực đại đó đúng bằng

U0, công suất tiêu thụ của đoạn mạch khi đó là 182W, điện áp hiệu dụng của đoạn AM khi đó là 135Ω, Z = 4Ω.,2V

a Tính r.

b Tính U0

Giải:

a Điều chỉnh để Ucmax thì giản đồ véc tơ của mạch như hình vẽ:

0

0

y = U - x = U 2 1

v = 2xy = 2U.U 2 1 - = U 2 2 2 - (*)

Điện áp hiệu dụng của đoạn AM là:

rL

U = x + v = U + U 2 2 2 - = U 2 2 1 - =135Ω, Z = 4Ω.,2 (V)

Suy ra: U = 100(V) Thay vào (*) suy ra v = 91(V)

b Giá trị của U0

( )

0

U = U 2 100 2 V =

C L

,r

x

y

v

UrL

2

a

O

U

U0