TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦNV NĂM 2010 MÔN THI: TOÁN Câu I. (2.0 điểm).Cho hàm số 2 1 x y x = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)của hàm số. 2. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx –m +2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A ; B và đoạn AB có độ dài nhỏ nhất Câu II (2.0 điểm). 1. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 sin 1 cot cos 1 tan 2 sin .cosx x x x x x+ + + = 2. Giải bất phương trình: 2 2 2 2x x x x x− ≤ − − − − Câu III: 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): 2 4y x x= − và các tiếp tuyến được kẻ từ điểm 1 ;2 2 M ÷ đến (P). 2. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và 2 . . . 2 a SA SB SC SA SB SC= = = r r r r r r . Tính thể tích khối chóp SABC theo a. Câu IV: 1. Viết về dạng lượng giác của số phức: 1 cos2 sin 2z i α α = − − , trong đó 3 2 2 π α π < < 2. Giải hệ phương trình: 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y − − + − + = + + − + = + (với x, y ∈ R) Câu V: 1. Trong mặt phẳng (Oxy), cho 2 đường thẳng 1 2 : 2 5 0, :3 2 1 0d x y d x y+ + = + − = và điểm G(1;3). Tìm toạ độ các điểm B thuộc d 1 và C thuộc d 2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm. Biết A là giao điểm của 2 đường thẳng d 1 và d 2 . 2. Trong không gian Oxyz, hãy lập phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm M(3;2;1) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C sao cho thể tích khối tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN V ĐHSP Câu 1) a) Hs tự làm b) Đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình 2 2 1 x mx m x = − + − có 2 nghiệm phân biệt khác 1. 2 ( ) 2 2 0g x mx mx m⇔ = − + − = có 2 nghiệm phân biệt khác 1 0 0 (1) 0 m g ≠ ∆ > ≠ 0m ⇔ > . Ta có 1 1 2 2 ( ; 2); ( ; 2A x mx m B x mx m− + − + ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ; ( ) ( ) (1 )AB x x m x x AB x x m⇒ = − − ⇒ = − + r ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 4 ( 1)AB x x x x m⇔ = + − + Vì x 1 ;x 2 là 2 nghiệm của g(x)=0 nên ta có 1 2 1 2 2 2; m x x x x m − + = = 2 1 8( ) 16 min 4 1AB m AB m m ⇒ = + ≥ ⇒ = ⇔ = Câu 2) 1. Điều kiện sinx.sinx>0. Ta có phương trình tương đương với sinx cos 2 sinx.cosx x+ = sin ,cos 0x x⇒ > sinx cos 4 x x k π π ⇒ = ⇒ = + 2 2 x k π π ⇒ = + 2. Điều kiện 2x ≤ BPT 2 ( 1)( 2) 2x x x x x⇔ − ≤ + − − − 2 0 2 ( 1)( 2 2 ) 0 2 1 1 0 x x x x x x x x − = = ⇔ + − + − ≤ ⇔ ⇔ < ≤ − + < Câu 3) 1)Lập phương trình các tuyến tuyến kẻ từ M đến (P). Ta có y=4x hoặc y=2x+1. Hai tiếp tuyến cắt nhau tại M có hoành độ x=1/2. và tiếp xúc với (P) tại x=0 và x=1. Vẽ đồ thị suy ra 1 1 2 2 2 2 0 0 1 (4 4 ) (2 1 4 ) 12 S x x x dx x x x dx= − + + + − + = ∫ ∫ 2) 2 . . . 2 a SA SB SB SC SC SA= = = r r r r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 SA SB AB SB SC BC SC SA AC a+ − + − + − ⇔ = = = SA SB SC a ⇒ = = = ⇒ SABC là tứ diện đều có các canh bằng a 3 2 12 a V⇒ = Câu 4) 1) Ta có 2sin [ os sin ] 2 2 z c i π π α α α = − + + + ÷ ÷ 2) Trừ hai vế các phương trình ta có 2 1 2 1 2 2 3 2 2 3 x y x x x y y y − − + − + + = + − + + Xét hàm số 2 1 ( ) 2 2 3 t f t t t t − = + − + + có 2 1 1 2 2 1 2 2 1 '( ) 1 3 ln3 3 ln3 0 2 2 2 2 t t t t t t f t t t t t − − − − + + − = + + = + > − + − + Do f(t) là hàm đồng biến trên R nên suy ra x=y hệ phương trình đã cho tương đương với 2 1 2 2 3 x x x x − + − + = 2 ln( 2 2 1) ( 1)ln 3x x x x⇔ + − + − = − Xét g(x)= 2 ln( 2 2 1) ( 1)ln 3x x x x+ − + − − − có 2 2 1 1 2 2 '( ) ln3 1 ln3 0 1 2 2 x x x g x x x x − + − + = − ≤ − < − + − + ( ) 1g x NB x⇒ = là nghiệm duy nhất 1x y⇒ = = Câu 5) 1. Toạ độ A là nghiệm hệ sau 2 5 0 ( 11;17) 3 2 1 0 x y A x y + + = ⇒ − + − = B thuộc d1 nên B(a;-2a-5) và C thuộc d2 nên C(b;1/2(1-3b)). Dùng tính chất toạ độ trọng tâm tam giác suy ra B(-35;65);C(49;-73) 2. Gọi giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ là A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) suy ra phương trình mặt phẳng là 1 x y z a b c + + = vì mặt phẳng đi qua M nên 3 2 1 1 a b c + + = . Ta có thể tích của tứ diện là V=1/6abc. Mặt khác theo BĐT cosi ta có 3 3 2 1 6 1 3 6.27 27 min 27 3 2 1 1 9; 6; 3 : 1 3 9 6 3 abc V V a b c abc x y z a b c mp a b c = + + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ = ⇔ = = = ⇔ = = = ⇒ + + = . TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦNV NĂM 2010 MÔN THI: TOÁN Câu I. (2.0 điểm).Cho hàm số 2 1 x y x = − 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C)của hàm số. 2 lần lượt tại ba điểm A, B, C sao cho thể tích khối tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN V ĐHSP Câu 1) a) Hs tự làm b) Đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương. x⇒ = là nghiệm duy nhất 1x y⇒ = = Câu 5) 1. Toạ độ A là nghiệm hệ sau 2 5 0 ( 11;17) 3 2 1 0 x y A x y + + = ⇒ − + − = B thuộc d1 nên B(a;-2a -5) và C thuộc d2 nên C(b;1/2(1-3b)). Dùng