De thi thu lan 2 Thanh Thuy Phu Tho

TRƯỜNG THPT THANH THỦY ĐỀ KSCL CHUẨN BỊ THI ĐH-CĐ LẦN II NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán A.Thời gian:180 phút ( Không kể giao đề) . I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 2 3 (1) 1 x y x + + . 1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số (1). 2) Tìm m để đường thẳng ( ): 3d y x m= + + cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A hợp với (d) một góc j mà 3 cos 34 j biết điểm A có hoành độ dương. Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình 2 1 cos2 1 cos tan .tan 2 1 x x x x Ê ˆ + = Á ˜ + Ë ¯ . Câu 3( 1 điểm) Giải bất phương trình 3 2 3 2 1 1 3 2x x x x+ - £ + + . Câu 4 (1 điểm) Tính tích phân: ( ) 2 sin 0 1 sin 2 x I e xdx p = + Ú Câu 5 (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B.Biết 2 2AD AB BC= = , diện tích tam giác BCD bằng 2 2 a , hình chiếu của S lên đáy là trung điểm cạnh CD và góc hợp bởi SC và đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB. Câu 6 (1 điểm) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn: 3x y z + + = . Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 x y z x y y z z x + + ≥ + + + + + + + + + II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc Phần B)) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác hình chữ nhật ABCD có 2 AB AD và đường tròn đường kính AB là ( ) ( ) 2 2 ( ): 1 1 4C x y- + + = . Viết phương trình đường thẳng AC biết trung điểm của CD nằm trên đường thẳng ( ) : 2 0x yd + + = . Câu 8a (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ): 3 0P x y z + + - = , đường thẳng 1 2 ( ) : 1 1 1 x y z d - - = = - . Gọi A là giao điểm của (d) và (P). Viết phương trình đường thẳng đi qua ( ) 2;1;1E và lần lượt cắt ( d) tạiM, cắt (P) tại B sao cho tam giác MAB là tam giác cân tại M. Câu 9a (1 điểm) Biết 1 2 ,z z là hai nghiệm của phương trình ( ) 2 4 6 6 2z iz z i+ + = + . Tính 1 2 z z- . B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elips 2 2 ( ) : 1 25 9 x y E + = . Một hình chữ nhật MNPQ có các đỉnh nằm trên ( E) và hai đường chéo của hình chữ nhật hợp nhau góc 0 60 . Tìm tọa độ đỉnh M biết 0, 0 M M x y> > Câu 8b (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 1 0P x y z+ - + = và đường thẳng 1 ( ): 1 x t d y t z = + Ï Ô = - Ì Ô Ó . Trên mặt phẳng (P) lấyđiểm ( ) 1; 1; 0A - . Hãy viết phương trình đường thẳng qua A và nằm trên (P) sao cho khoảng cách giữa đường thẳng này và (d) lớn nhất. Câu 9b (1 điểm) Có 12 nhà khoa học gồm các nghành Toán học (4 người), Vậ Lí (3 người), Hóa học ( 5 người). Chọn ra ngẫu biên 4 nhà khoa học để lập Hội đồng khoa học. Tính xác suất để trong 4 người được chọn ra nghành nào cũng có ít nhất 1 người. Thí sinh làm bài nghiêm túc. Giám thị không giải thích thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM Câu N ội dung Điểm Câu 1 (2 ,0) 1) Học sinh làm đúng, đủ các bước cho điểm tối đa. 2) Phương trình hoành độ giao điể m: ( ) 2 2 3 3 ( 2) 0, 1 1 x x m x m x m x x + = + + € + + + = π - + . Ta có: 2 4 0mD = + > nên phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gi ả sử tiếp tuyến tại ( ) 0 0 ;A x y và có hệ số góc k thì tiếp tuyến này có vtpt là = - ; mà góc h ợp bởi tiếp tuyến và (d) bằng j nên 2 2 2 2 2 .1 ( 1).( 1) 1 3 cos 34 ( 1) . 1 ( 1) 2. 1 k k k k j + - - + = € = + - + - + ( ) ( ) 2 2 2 4 9 1 17 1 8 34 8 0 1 4 k k k k k k = - È Í € + = + € + + = € Í = - Î . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 4 1 4 1 1 1 4 4 f x x f x x È ¢ È = - + = Í Í € Í Í ¢ = - + = - Í Í Î Î . Nhưng 0 0x > nên chỉ có 0 1x thoả mãn. Khi đó tiếp điểm là 5 3 1; ( ) 2 2 A d m Ê ˆ Œ  = - Á ˜ Ë ¯ 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 2 (1,0) Điều kiện: Vì cos 1 tan .tan2 1 cos .cos 2 cos2 x x x x x x + = = nên điều kiện là: cos .cos2 0x x π Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 cos 2 1 1 co2 cos 2 cos 2 2cos 2 cos2 1 0 1 2 cos2 2 x x x x x x x = - È + Í + = € + - = € Í Î +) Với cos2 1 ( ) 2 x x k loai p p = -  = + +) Với ( 1 6 cos 2 , 2 6 x k x k x k p p p p È = - + Í =  Œ Í Í = + Í Î . KL: V ậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm ( 6 , 6 x k k x k p p p p È = - + Í Œ Í Í = + Í Î . 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 3 (1,0) Đặt 3 2 1x y+ = thì khi viết lại bất phương trình thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1x x x x x x x+ £ + + + € + + + £ + + + ta sẽ có: ( ) ( ) 3 3 1 1y y x x+ £ + + + (*) Xét hàm s ố: 3 ( )f t t t= + có 2 ( ) 3 1 0f t t t ¢ = + > " Œ nên hàm số đồng biến trên ( ) ;-• + • ; mà (*) chính là ( ) ( 1)f y f x £ + nên 1y x£ + . Khi đó: ( ) ( ) 3 2 3 0 2 1 1 2 1 1 3 1 0 3 5 3 5 2 2 x x x x x x x x x ≥ È Í + £ + € + £ + € + + ≥ € - - - + Í £ £ Í Î . KL: V ậy tập nghiệm của bất phương trình là: 3 5 3 5 2 2 S È ˘ - - - + Í ˙ Î ˚ 0,5 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 4 (1,0) Ta có: ( ) 2 2 2 sin sin 0 0 0 1 1 sin2 sin2 2 .sin (sin ) cos2 2 1 2 2 2 0 x x I e xdx xdx e xd x x J J p p p p = + = + = - + = + Ú Ú Ú Tính 2 sin 0 .sin (sin ) x J e xd x p Ú . Đặt sin (sin ) ; 0 0, 1 2 t x d x dt x t x t p =  = =  = =  = nên ta có: ( ) ( ) 1 1 0 0 1 1 . . . 1 0 0 t t t t t J t e dt t e e dt t e e= = - = - = Ú Ú . KL: V ậy 1 2 3I J= + = . 0,5 0,5 Câu Nội dung Điểm Câu 5 (1,0) +) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Ta có: 2 1 1 . 2 2 S AB BC AB AB a . Từ đó ta có: , 2AB BC a AD a = = = và dễ dàng suy ra được 2CD a . G ọi H là trung điểm CD, từ giả thiết suy ra góc hhọp bới SC và mặt đáy chính là góc 0 60SCH . Trong tam giác vuông SHC suy ra: 0 2 6 .tan 60 . 3 . 2 2 a a SH HC= = = Suy ra: 3 . 1 6 . ( ) 3 4 S ABCD ABCD a V SH S dvtt= = = . +) Tính kho ảng cách giữa AB và SD. Gọi E là đỉnh thứ tư của hình bình hành BADE thì AB//ED nên / /( )AB SDE . Do đó khoảng cách giữa AB và SD bằng khoảng cách từ trung điểm M của AB đến mặt phẳng (SDE). L ấy N là trung điểm cạnh DE thì dễ có M, H, N thẳng hàng và 4 MN HN ; Do đó ( ) ( ) , ( ) 4 , ( )d M SDE d H SDE . Ta có: ( ) ( ) ( ) ED SH ED SHN SED SHN ED HN ^ Ï  ^  ^ Ì ^ Ó . Trong tam giác vuông SHN hạ HK SN^ thì: ( ) ,( )HK d H SDE và 2 2 2 1 1 1 3 14 HK a HK HS HN = + =  = . Vậy khoảng cách cần tìm là: 4 6 2 7 HK a . 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 6 (1,0) Vói hai bộ 3 số dương a, b, c và x, y, z bằng quy đồng rồi khai triển và áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta chứng minh được: ( ) 2 2 2 2 a b c a b c x y z x y z + + + + ≥ + + (*) mà: 3 3 3 4 2 2 2 2 4 4 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 x y z x x y y z z x x x x y y z y y y z z x + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Áp dụng BĐT (*) ta có: 4 4 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y z x x x y y y y z z z z x + + ≥ + + + + + + + + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y z x y z x x y y y z z z x + + ≥ + + + + + + + + + + + Mà 2 2 2 2 4 2 1 5 2 1 2 1 4 4 x x y x y x x y + + + + + + + £ = , suy ra: 0,25 0,25 H A D B C S E N M K ( ) 2 2 2 2 2 2 5 2( ) 3 2 1 2 1 2 1 4 x y z x y z x x y y y z z z x + + + + + + + + + + + + + + £ . Do đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 21 2 1 2 1 x y z x y z x y z x y z x x y y y z + + + + ≥ + + + + + + + + + + + Dễ chứng minh được ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 9 3x y z x y z x y z+ + ≥ + + =  + + ≥ . Đặt 2 2 2 1t x y z= + + ≥ , ta có ( )( ) 2 4 1 3 4 7 0 5 21 t t t t ≥ € - + ≥ + Đúng. Suy ra điều phải ch ứng minh. 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 7a (1,0) Gọi I là tâm của đường tròn (C) và M là trung điểm c ạnh CD thì 0 0 0 45 45 90AMB AMI IMB= + = + = nên điểm M nằm trên đường tròn (C). Do đó M là giao đi (C). Gi ải hệ: ( ) ( ) 2 2 2 0 1 1 4 x y x y + + = Ï Ô Ì - + + = Ô Ó ta suy ra: È Í Î Gọi J là trung điểm IM thì ( ) ( ) 0; 1 1; 2 J J -È Í - Î , khi đó AC là đường thẳng qua J và hợp với IM góc j mà 1 cos 5 j . TH1: : 1 0IM y + = , giả sử ( ) 2 2 : ( 1) 0, 0AC ax b y a b+ + = + π . Khi đó: 2 2 2 2 2 1 4 2 5 a b b a b a b a b È = € = € Í = - + Î . Chọn b=1, suy ra: 2 2 a a È Í = - Î . Suy ra: : 2 1 0 : 2 1 0 AC x y AC x y + + = È Í - + + = Î TH2: : 1 0IM x+ = , giả sử ( ) 2 2 : ( 1) ( 2) 0, 0AC a x b y a b- + + = + π . Khi đó: 2 2 2 2 2 1 4 2 5 b a a b a b a a b È = € = € Í = - + Î . Chọn a=1, suy ra: 2 2 b b È Í = - Î . Suy ra: : 2 3 0 : 2 5 0 AC x y AC x y + + = È Í - - = Î . V ậy có 4 phương trình AC như trên thỏa mãn 0,25 0,25 0,25 0,25 ( d ) J I B D C A M Câu Nội dung Điểm Câu 8a (1,0) Ta l ấy điểm ( ) ) 1 ; ; 2 ( ) 1; 1; 1M t t t d EM t t t+ - + Œ  = - - - + Khi đó đường thẳng EM và đường thẳng (d) cùng hợp với (P) nh ững góc bằng nhau. Do đó: ( ( ) ( ) 2 1 1 cos , cos , 3 3. 3 2 3 d P P t u n EM n t t - = € = + + ( ) 2 2 3 1 3 2 3 0t t t t- = + + € = . Suy ra: ) 1; 1;1EM = - - . V ậy đường thẳng cần tìm chính là 2 1 1 : 1 1 1 x y z EM - - - = = - . 0,25 0,5 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 9a (1,0) Vi ết lại phương trình thành: ( ) 2 2 6( 2 ) 10 0z i z i+ - + + = . Đặt 2 w z i = + ta có phương trình: ( ) 2 2 2 3 6 10 0 3 3 w i w w w i w i = + È - + = € - = € Í = - Î . Khi đó: 2 3 3 2 3 3 3 z i i z i z i i z i + = + = - È È € Í Í + = - = - Î Î Vậy 1 2 2 2z z i- = = . 0,25 0,5 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 7b (1,0) Vì hình chữ nhật có hai trục đối xứng cũng là trục đối x ứng của (E) nên góc giữa hai đường chéo của hình chữ nhật b ằng 60 0 thì góc hợp bởi OM và chiều dương của trục Ox sẽ là j bằng 30 0 hoặc 60 0 . +) TH1: 0 30 j thì hệ số góc của OM bằng 0 1 tan30 3 3 : 3 OM y x = . 0,25 0,25 (d) (l) ( P ) A B M E y O x N M Q P Giải hệ: 2 2 1 25 9 3 , ( , 0) 3 x y y x x y Ï + = Ô Ô Ì Ô = > Ô Ó suy ra: 675 675 ; 52 156 M Ê ˆ Á ˜ Á ˜ Ë ¯ . +) TH2: 0 60 j thì hệ số góc của OM bằng 0 tan 60 3 : 3OM y x = . Giải hệ: 2 2 1 25 9 3 , ( , 0) x y y x x y Ï + = Ô Ì Ô = > Ó suy ra: 75 225 ; 28 28 M Ê ˆ Á ˜ Á ˜ Ë ¯ . KL: V ậy có hai điểm M thóa mãn: 675 675 ; 52 156 M Ê ˆ Á ˜ Á ˜ Ë ¯ hoặc 75 225 ; 28 28 M Ê ˆ Á ˜ Á ˜ Ë ¯ . 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 8b (1,0) +) Giả sử đã dựng được đường thẳng (l) là đường thẳng cấn tìm, khi đó ta dựng được (Q) chứa (d) và song song với (l). Khi đó khoảng cách giữa (l) và (d) chính bằng khoảng cách từ A đến ( Q). Gọi H là hình chiếu của A lên (d), K là hình chiếu của A lên (Q) thì AK AH const £ - . +) Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho lớn nhất khi H K ∫ . Khi đó: (l) nằm trên (P) và vuông góc với AH. +) Vì H trên (d) nên ( ) ) 1 ; ;1 ; 1;1+ -  = - + ; Mà 1 2 d = € - = € = . Suy ra: ; ;1 2 2 Á ˜ Ë ¯ . Suy ra: ( ) ( )P l = = - Î ˚ . V ậy ta có 1 1 ( ): 5 3 1 x y z l - + = = - 0,25 0,5 0,25 (d) (l) ( Q ) ( P ) K A H Câu Nội dung Điểm Câu 9b (1,0) Gọi biến cố A:” Chọn ra 4 nhà KH mà nghành nào cũng có ít nhất 1 người” thì: TH1: Chọn ra được 1 Toán, 2 lí, 1 Hóa. Suy ra có: 1 2 1 4 3 5 . . 60C C C (cách) TH2: Chọn ra được 1 Toán, 1 lí, 2 Hóa. Suy ra có: 1 1 2 4 3 5 . . 120C C C (cách) TH3: Chọn ra được 2 Toán, 1 lí, 1 Hóa. Suy ra có: 2 1 1 4 3 5 . . 90C C C (cách) Suy ra: 60 120 90 270 A W = + + = ; mà 4 12 495CW = = . Vậy xác suất cần tìm là: 270 6 ( ) 495 11 A P A W = = = W 0,25 0,25 0,25 0,25 ………… HẾT…………… http://www.thanhthuy.edu.vn . 0 ,25 0 ,25 H A D B C S E N M K ( ) 2 2 2 2 2 2 5 2( ) 3 2 1 2 1 2 1 4 x y z x y z x x y y y z z z x + + + + + + + + + + + + + + £ . Do đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 21 2 1 2. 4 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y z x x x y y y y z z z z x + + ≥ + + + + + + + + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y z x y z x x y y y z z z x + + ≥ + + + + + + + + + + + Mà 2 2 2 2 4 2 1 5 2 1 2 1 4. Cauchy cho 2 số dương ta chứng minh được: ( ) 2 2 2 2 a b c a b c x y z x y z + + + + ≥ + + (*) mà: 3 3 3 4 2 2 2 2 4 4 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 x y z x x y y z z x x x x y y z y y y z