b Tìm m để tích của hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.. Bài5: 4 điểm Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O; R.. Điểm M di động trên cung nhỏ BC.. Từ M kẻ các đường thẳng MH
Trang 1UBND HUYỆN KRÔNG NĂNG
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀTHI SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN LỚP:9 Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) ĐỀ:
Bài1: (4 điểm)
1) Cho biểu thức: P x x 1 x x 1 x 1
a) Rút gọn P
b) Tìm x để 9
2
P=
2) Cho x = 3 5 2+ −3 5 2− Tính giá trị của biểu thức: f x( )= +x3 3x
Bài2: (2 điểm)
Cho phương trình (có ẩn số là x): 4x2+2(3 2 )− m x m+ 2−3m+ =2 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m b) Tìm m để tích của hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất
Bài3: (4 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
3 3 3( )
1
x y
+ = −
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: x2+ + =x 13 y2
Bài4: (4 điểm)
a) Cho x>0 ,y>0 và thoã mãn: x y+ =1 Chứng minh: 4 4 1
8(x y ) 5
xy
b) Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối cùng là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là số chính phương
Bài5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm M di động trên cung nhỏ BC Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK vuông góc với AB, AC (H thuộc đường thẳng
AB, K thuộc đường thẳng AC)
a) Chứng minh tam giác MBC đồng dạng với tam giác MHK
b) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất
Bài6: (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A; AD là phân giác của µA; AB = c, AC = b, AD = d
Chứng minh: 2 1 1
d = +b c Giáo viên ra đề:
Đặng Quang Bình
Trang 2
UBND HUYỆN KRÔNG NĂNG
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN:TOÁN – LỚP 9 Năm học:2009 - 2010 Bài1: (4 điểm)
1) ĐK để P có nghĩa: x> 0 và x≠ 1 (0,25đ)
P
− + (0,5đ)
= x x 1 x x 1 x 1
x
(0,5đ) =
2
( x 1)
x
+
(0,25đ) b)
2
9 ( 1) 9
2 5 2 0
x
x
+
= ⇔ = ⇔ − + = (0,5đ) Giải pt được: x1=4 và 2 1
4
x = (0,5đ)
3 3 5 2 3 5 2
x = + − − (0,5đ)
= 5 2+ − 5 2 3 ( 5 2)( 5 2)+ − 3 + − (3 5 2+ −3 5 2− ) (0,5đ) =4 3x− (0,25đ) ⇒ +x3 3x=4
Vậy: f x( ) 4= (0,25đ)
Bài2: (2 điểm)
(3 2 )− m −4(m −3m+ = >2) 1 0 (0,5đ) Vậy: Pt đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của tham số m (0,25đ) b) Theo hệ thức Vi Ét ta có:
2 2
1 2
x x = − + = m− − ≥ −
(0,75đ)
Dấu “=” xảy ra 3
2
m
⇔ = (0,25đ)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của x x1 2 là 1
16
− (0,25đ)
Bài3: (4 điểm)
a)
3 3 3( )
1
x y
+ = −
1
x y x xy y
x y
(0,5đ)
0
1
x y
x y
− =
(I) hoặc
1
x xy y
x y
+ = −
(II) (0,5đ)
• Hệ (I) có nghiệm: ( ; ) 1; 1
2 2
(0,25đ)
Trang 3• Hệ (II) 2 2 3 0
1
x xy y
+ + − =
2 2 0 1
x x
+ − =
1 2
x y
=
2 1
x y
= −
=
(0,5đ)
Vậy: Hệ đã cho có nghiệm 1; 1
2 2
; (1; 2)− ; ( 2;1)− (0,25đ)
b) x2+ + =x 13 y2 ⇔4x2+4x+52 4= y2 (0,5đ)
4y 4x 4x 1 51 (2 )y (2x 1) 51
⇔ − − − = ⇔ − + = (0,5đ)
(2y 2x 1)(2y 2x 1) 51 51.1 17.3
⇔ + + − − = = = (0,25đ)
2 2 1 51
2 2 1 1
y x
y x
2 2 1 17
2 2 1 3
y x
y x
− − =
(0,25đ)
12
13
x
y
=
hoặc
3 5
x y
=
=
(0,5đ)
Vậy: Pt đã cho có nghiệm nguyên dương là (12;13); (3;5)
Bài4: (4 điểm)
a) Ta có: 2 2
2
2(x y ) (x y)
⇔ + ≥ + (0,5đ)
2 2 1
2
x y
⇒ + ≥ (do x + y =1)
2( ) ( )
4
x +y ≥ x +y ≥ ⇔8(x4+y4) 1≥ (1) (0,5đ)
4 ( )
xy ≥ x y ≥
+ (do x + y =1) (2) ( 0,5đ)
Từ (1) và (2) ⇒ 4 4 1
8(x y ) 5
xy
+ + ≥ (0,25đ)
2
x y
⇔ = = (0,25đ) b) Gọi số cần tìm là abcd - ĐK: 0≤a b c d, , , ≤9 (0,5đ)
Vì abcd là số chính phương nên d ={0;1; 4;5;6;9} (0,25đ)
Vì d nguyên tố nên d = 5 (0,25đ) Gọi k là kết quả khai phương của abcd thì 2
k =abcd ⇔32≤ <k 100 (0,25đ)
Vì k là số có hai chữ số mà chữ số tận cùng bằng 5 nên k n= 5 (0,25đ) Mặt khác: n+ 5 là số chính phương nên n = 4, k = 5 (0,25đ) Vậy: Số cần tìm là 2025 (0,25đ)
Bài5: (4 điểm)- Vẽ hình, ghi GT – KL đúng (0,5đ)
∆ABC nội tiếp (O; R)
M∈»BC nhỏ
GT MH⊥AB tại H
MK⊥ ACtại K
KL a) ∆MBC ∆MHK
b) Tìm M để HK lớn nhất
CM:
a) Ta có:MH⊥AB tại H và MK⊥AC tại K (gt) (0,25đ)
90
AHM =AKM = (0,25đ)
O'
K
H
O
M
C B
A
Trang 4⇒Tứ giác AHMK nội tiếp (O’;
2
AM
) với O’ là trung điểm của AM (0,25đ) ⇒·MHK=MAC· (cùng chắn MK¼ ) (0,25đ)
Mà:MAC MBC· = · (cùng chắn MC¼ của (O)) (0,25đ)
⇒MHK· =MBC·
Tương tự: MCB MKH· =· (0,25đ)
Vậy: ∆MBC ∆MHK (g – g ) (0,25đ)
b) Ta có:∆MBC ∆MHK (c/m trên) (0,25đ)
BC MB
⇒ = (0,25đ)
Mà: MB MH≥ (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc) (0,25đ)
HK
⇒ ≥ ⇔ ≤ (0,25đ)
Đẳng thức xảy ra ⇔H ≡B ⇔ ·ABM =900 ⇔AM là đường kính của (O) (0,5đ)
Lúc đó: M đối xứng với A qua O (0,25đ)
Bài6: (2 điểm)
- Vẽ hình, ghi GT – KL đúng (0,25đ)
∆ABC, µ 0
90
A=
GT BAD DAC· =·
AB = c, AC = b, AD =d
KL 2 1 1
d = +b c
CM: Kẻ DE⊥AC với E AC∈ (0,25đ)
Ta có: ∆AED vuông cân tại E (do µE=900và µA=450) (0,25đ)
Nên: AD = AE 2 (0,25đ)
⇒AE =
2
AD
(1)
Ta lại có: EC DE AC AE AE
−
AC AB
⇔ − = (0,5đ)
AB AC
Từ (1) và (2) ⇒ 2 1 1
AD = AB+ AC (0.25đ) Vậy: 2 1 1
d = +b c (0,25đ)
Phú Xuân :Ngày 10 Tháng 1 Năm 2010
Giáo viên ra đề: Đặng Quang Bình
E
D
C B
A