CHƯƠNG 3 - HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG pot

CHƯƠNG 3: HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU : Sau khi học xong bài này, sinh viên có khả năng: * Xây dựng được hình biểu diễn của điểm. * Tìm được hình chiếu thứ ba của một điểm khi biết hai hình chiếu thẳng góc của điểm đó. * Xây dựng được hình biểu diễn của đường thẳng. * Xây dựng được hình biểu diễn của mặt phẳng. NỘI DUNG (6 tiết) 3.1. Hình chiếu của điểm 3.1.1. Đồ thức của một điểm 3.1.1.1. Đồ thức của một điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu 3.1.1.2. Đồ thức của một điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu 3.1.2. Phương pháp tìm hình chiếu thứ ba 3.2. Hình chiếu của đường thẳng 3.2.1. Đồ thức của một đường thẳng 3.2.2. Các vị trí đặc biệt của đường thẳng 3.2.2.1. Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu 3.2.2.2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu 3.3. Hình chiếu của mặt phẳng 3.3.1. Đồ thức của mặt phẳng 3.3.2. Các mặt phẳng đặc biệt 3.3.2.1. Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu 3.3.2.2. Mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu 39 CHƯƠNG 3: HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG Hình học họa hình là môn học nghiên cứu các phương pháp biểu diễn không gian lên mặt phẳng, nói khác đi nó nghiên cứu cách xây dựng các mô hình phẳng của không gian. Một trong các công cụ để xây dựng mô hình nói trên là phép chiếu. Góp phần to lớn vào lý thuyết biểu diễn có : - Leonardo da Vinci, nhà họa sĩ thiên tài Ý và nhà bác học của thời kỳ Phục hưng. - Girard Dezarg, nhà hình học và kiến trúc sư Pháp, người đã đặt những luận cứ khoa học đầu tiên về phép chiếu phối cảnh. - René Décard, nhà toán học Pháp thế kỷ 17 đã đề xướng hệ toạ độ thẳng góc. Gaspard Monje, kỹ sư người Pháp, với công trình “ Hình học họa hình” được công bố vào năm 1798, công trình đó là cơ sở cho phương pháp vẽ chiếu được ứng dụng cho đến nay. *Khái niệm về các phép chiếu: Giả thiết trong không gian, ta lấy một mặt phẳng P và một điểm S ở ngoài mặt phẳng đó. Từ một điểm A bất kì trong không gian dựng đường thẳng SA, đường này cắt mặt phẳng P tại một điểm A'. Hình 3.1 Như vậy ta đã thực hiện một phép chiếu và gọi mặt phẳng P là mặt phẳng hình chiếu, đường thẳng SA là tia chiếu và điểm A' là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng P. *1) Phép chiếu xuyên tâm: Là phép chiếu mà các tia chiếu xuất phát từ một điểm (cố định). Điểm O cố định: tâm chiếu. A', B', C': hình chiếu xuyên tâm của hình ABC trên mặt phẳng hình chiếu P. 40 P S A A' P A' C' B' A C B O Hình 3.2 Ví dụ : Trong thực tế ta thường thấy những hiện tượng giống như các phép chiếu. Ánh sáng của một ngọn đèn chiếu đồ vật lên mặt đất giống như phép chiếu xuyên tâm với một ngọn đèn là tâm chiếu, mặt đất là mặt phẳng chiếu, bóng đồ vật trên mặt đất là hình chiếu xuyên tâm của đồ vật đó (Hình 3.2 a). Ứng dụng: Phép chiếu xuyên tâm được dùng khi vẽ hình chiếu phối cảnh. Phép chiếu xuyên tâm được dùng trong vẽ mỹ thuật, trong các bản vẽ xây dựng, kiến trúc. Phép chiếu xuyên tâm cho ta những hình vẽ của vật thể giống như những hình ảnh khi ta nhìn vật thể đó. *2) Phép chiếu song song: Là phép chiếu mà nếu tất cả các tia chiếu không đi qua một điểm cố định mà song song với một đường thẳng cố định l (phương chiếu). A'B'C'D': hình chiếu song song của hình ABCD trên mặt phẳng hình chiếu P. l: phương chiếu Dễ dàng thấy rằng phép chiếu song song là trường hợp riêng của phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu S ở xa vô tận. Khi đó tâm chiếu S∞ được xác định bởi phương chiếu l. Ví dụ : Ánh sáng của mặt trời chiếu đồ vật lên mặt đất giống như phép chiếu song song. Các tia sáng mặt trời là những tia chiếu song song, mặt Hình 3.3 đất là mặt phẳng chiếu và bóng đồ vật trên mặt đất là hình chiếu song song của đồ vật đó (hình 3.3). Ứng dụng: Trong vẽ kỹ thuật thường dùng phép chiếu song song vì phép chiếu này cho ta tính trực quan và dễ vẽ so với phép chiếu xuyên tâm.  *3) Phương pháp các hình chiếu vuông góc: Trong phép chiếu song song nếu phương chiếu l vuông góc với mặt phẳng chiếu, ta gọi đó là phép chiếu vuông góc. 41 A B C D A' B' D' C' P l P1 P2 P3 Hình 3.4 : Hình chiếu vật thể trên các mặt phẳng hình chiếu Ứng dụng: Phép chiếu vuông góc thường được sử dụng rộng rãi trong các bản vẽ kỹ thuật nói chung và các bản vẽ cơ khí nói riêng. Để diễn tả một cách chính xác hình dạng và kích thước của vật thể, trên các bản vẽ kỹ thuật, người ta dùng phép chiếu vuông góc. Góc để chiếu vật thể lên các mặt phẳng hình chiếu vuông góc với nhau, sau đó gập các mặt phẳng hình chiếu cho trùng với mặt phẳng bản vẽ, sẽ được các hình chiếu vuông góc của một vật thể. Đó chính là phương pháp các hình chiếu vuông góc. 3.1. HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM 3.1.1. Đồ thức của một điểm 3.1.1.1. Đồ thức của một điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu a. Hệ thống chiếu Phương pháp hai hình chiếu thẳng góc được dùng rộng rãi trong kỹ thuật nhất là trong các bản vẽ cơ khí và xây dựng. Phương pháp này do nhà toán học người Pháp Gaspard Monje (1746-1818) đề ra nên còn gọi là phương pháp Monje. Trong không gian lấy hai mặt phẳng thẳng góc P 1 và P 2 cắt nhau theo đường thẳng x. Thông thường lấy P 1 là mặt phẳng thẳng đứng và P 2 là mặt phẳng nằm ngang. Mặt phẳng P 1 được chọn làm mặt phẳng hình vẽ, tức là mặt phẳng trên đó sẽ vẽ hình biểu diễn của không gian. Gọi G là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện hợp bởi P 1 , P 2 và s 1 , s 2 , s 3 là những hướng chiếu tương ứng vuông góc với P 1 , P 2 và G (Hình 3.1) Hình 3.1 Để biểu diễn một điểm A bất kỳ ta làm như sau (hình 3.1): - Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P 1 , được hình chiếu A 1 . - Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P 2 , được hình chiếu A’ 2 . - Chiếu điểm A’ 2 lên mặt phẳng P 1 theo hướng chiếu vuông góc với mặt phẳng phân giác G, được hình chiếu A 2 . Cặp điểm A 1 , A 2 gọi là hình biểu diễn của điểm A. Dễ dàng thấy rằng hai điểm A 1 , A 2 nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x vì mặt phẳng A A 1 A 2 là mặt phẳng vuông góc với x. Mỗi điểm A trong không gian được biểu diễn bằng một cặp điểm A 1 , A 2 cùng nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x. Ngược lại mỗi cặp điểm A 1 , A 2 bất kỳ cùng nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x đều là hình biểu diễn của một điểm A xác định trong không gian. 42 A P 1 P 2 X Hình 3.2 Ta dùng các tên gọi như sau : P 1 : mặt phẳng hình chiếu đứng P 2 : mặt phẳng hình chiếu bằng x : trục hình chiếu A 1 : hình chiếu đứng của điểm A A 2 : hình chiếu bằng của điểm A Đường thẳng nối A 1 , A 2 gọi là đường gióng của điểm A. Cặp điểm A 1 , A 2 gọi là hình biểu diễn hay là đồ thức của điểm A. Vì mặt phẳng P 1 được chọn làm mặt phẳng hình vẽ nên ta có hình biểu diễn của điểm A như trên hình 3.2. Hai mặt phẳng P 1 và P 2 chia không gian thành 4 góc nhị diện vuông : - Góc 1 ở trước P 1 và trên P 2 . - Góc 2 ở sau P 1 và trên P 2 . - Góc 3 ở sau P 1 và dưới P 2 . - Góc 4 ở trước P 1 và dưới P 2 . Mặt phẳng phân giác của góc nhị diện 1 và 3 gọi là mặt phẳng phân giác 1. Mặt phẳng phân giác của góc nhị diện 2 và 4 gọi là mặt phẳng phân giác 2. Hình 3.3 thể hiện hình ảnh của hệ thống chiếu nhìn theo hướng a // x. 43 Hình 3.3 Để vẽ hai hình chiếu của điểm A trên cùng một mặt phẳng, người ta giữ P 1 cố định, cho P 2 quay quanh x một góc 90 0 để P 2 trùng với P 1 , khi đó A 1 và A 2 sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với trục x. Vậy một điểm A bất kỳ trong không gian được biểu diễn bằng một cặp điểm A 1 , A 2 nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với trục x. Ngược lại một điểm trong không gian hoàn toàn được xác định khi biết hai hình chiếu của nó trên hai mặt phẳng hình chiếu. Thực vậy, vì từ hai điểm A 1 , A 2 (A 1 A 2 vuông góc với trục x), bằng cách thực hiện ngược lại các thao tác trên, sẽ xác định được một điểm A trong không gian. Cặp hình chiếu A 1 , A 2 nằm trên đường vuông góc với trục x gọi là hình biểu diễn hay đồ thức của điểm A (hình 3.4). Đồ thức có các tính chất sau: • Đường thẳng A 1 A 2 vuông góc với trục x (A 1 A 2 ⊥x) • Từ 2 hình chiếu vuông góc A 1 , A 2 của điểm A trên đồ thức thì vị trí của điểm A hoàn toàn được xác định trong không gian. Hình 3.4 Kết luận : Một điểm A bất kỳ trong không gian được biểu diễn bằng một cặp điểm A 1 , A 2 nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu. Ngược lại một cặp điểm A 1 , A 2 thuộc một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu biểu diễn một điểm A duy nhất trong không gian. Như vậy các điểm trong không gian và hình biểu diễn thẳng góc của chúng có sự tương đương hình học. Quan sát hình 3.4 ta có : x AA 1 = 2 AA , x AA 2 = 1 AA 2 AA là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P 2 , 1 AA là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P 1 . Vì xem P 1 , P 2 như các mặt phẳng chuẩn nên người ta gọi A 1 A x là độ cao và A 2 A x là độ xa của điểm A. b. Độ cao của một điểm : Độ cao của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu bằng. Trên hình biểu diễn, đó là khoảng cách từ hình chiếu đứng của điểm tới trục hình chiếu. c. Độ xa của một điểm : 44 A X P 2 P 1 A A 1 A 2 A 1 A 2 A x x Độ xa của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu đứng. Trên hình biểu diễn, đó là khoảng cách từ hình chiếu bằng của điểm tới trục hình chiếu. Quy ước : - Độ cao của một điểm là dương, bằng 0 hay âm tùy theo điểm ấy ở phía trên, thuộc hay ở phía dưới mặt phẳng P 2 . - Độ xa của một điểm là dương, bằng 0 hay âm tùy theo điểm ấy ở phía trước, thuộc hay ở phía sau mặt phẳng P 1 . Hình 3.5 d. Hình biểu diễn thẳng góc của một số điểm có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu Trên hình 3.6 là hình biểu diễn thẳng góc của các điểm có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu. - Điểm A ∈ P 1 : A 1 ≡ A A 2 ∈ x (độ xa của A bằng 0). - Điểm B ∈ P 2 : B 1 ∈ x (độ cao của B bằng 0) B 2 ≡ B - Điểm C ∈ x : (C 1 ≡ C 2 ) ∈ x. Độ cao và độ xa của C đều bằng 0. A 1 ≡ A E 1 ≡ E 2 D 1 A 2 B 1 C 1 ≡ C 2 x B ≡ B 2 D 2 45 P 1 P 2 P 3 A O x y z Hình 3.6 - Điểm D ∈ mặt phẳng phân giác của các góc tư I (tức là mặt phẳng đi qua trục x và chia đôi góc tư đó). Độ cao và độ xa của D bằng nhau về trị tuyệt đối và cùng mang dấu dương nên hai hình chiếu của D đối xứng nhau qua trục x. - Điểm E ∈ mặt phẳng phân giác của các góc tư II (tức là mặt phẳng đi qua trục x và chia đôi góc tư đó). Độ cao và độ xa của E bằng nhau về vị trí tuyệt đối nhưng khác dấu, hai hình chiếu của E trùng nhau. 3.1.1.2. Đồ thức của một điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu Trong không gian lấy 3 mặt phẳng P 1 , P 2 , P 3 vuông góc với nhau từng đôi một làm 3 mặt phẳng hình chiếu (hình 3.7). P 1 : là mặt phẳng hình chiếu đứng P 2 : là mặt phẳng hình chiếu bằng P 3 : là mặt phẳng hình chiếu cạnh Ba trục chiếu: ox, oy, oz là giao tuyến của từng cặp mặt phẳng hình chiếu. Lấy 1 điểm A tuỳ ý trong không gian, chiếu vuông góc điểm A lên 3 mặt phẳng hình chiếu sẽ có A 1 trên P 1 , A 2 trên P 2 , A 3 trên P 3 (hình 3.8). Hình 3.7 a) b) Hình 3.8 A 1 : gọi là hình chiếu đứng của điểm A. A 2 : gọi là hình chiếu bằng của điểm A. A 3 : gọi là hình chiếu cạnh của điểm A. - Để vẽ 3 hình chiếu của điểm A trên cùng một mặt phẳng, người ta giữ P 1 cố định, cho P 2 và P 3 quay một góc 90 0 quanh hai trục Ox và Oy, để P 2 và P 3 trùng với P 1 . 46 z y x O A P 3 P 2 P 1 A 1 A 2 A 3 A x A y A z 4 5 ° O y x z A 1 A 2 A 3 A x A y A z A y - Ba điểm A 1 , A 2 , A 3 là 3 hình chiếu của một điểm A trên 3 mặt phẳng hình chiếu hay là đồ thức của điểm A trên 3 mặt phẳng hình chiếu. Đồ thức có các tính chất sau: • Đường thẳng A 1 A 2 ⊥ Ox • A 1 A 3 ⊥ Oz • Khoảng cách từ A 2 đến trục Ox bằng khoảng cách từ A 3 đến trục Oz và bằng khoảng cách từ điểm A đến P 1 (A 2 A X = A 3 A Z ). Hình 3.8c Điểm A 3 gọi là hình chiếu cạnh của điểm A. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng hình chiếu cạnh P 3 là 3 AA và gọi là độ xa cạnh của điểm A. Quy ước : Độ xa cạnh của một điểm là dương, bằng 0 hay âm tùy theo điểm ấy ở phía trái, thuộc hay ở phía phải của mặt phẳng P 3 . Nhận xét : - Trục y có hai vị trí : trùng với trục z do gập mặt phẳng P 2 trùng với mặt phẳng P 1 và trùng với trục x do gập mặt phẳng P 3 trùng với mặt phẳng P 1 . - Hình chiếu cạnh của một điểm thể hiện đồng thời độ cao và độ xa của điểm đó. - Khi biết hai trong ba hình chiếu thẳng góc của một điểm ta có thể xác định được hình chiếu còn lại của điểm đó. 3.1.2. Phương pháp tìm hình chiếu thứ ba 47 3.1.2.1. Bài toán Cho hai hình chiếu (A 1 , A 2 ) của điểm A. Vẽ hình chiếu cạnh của điểm đó ( Hình 3.9a). Ap dụng tính chất của đồ thức của một điểm A trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu thẳng góc, ta tìm hình chiếu thứ ba A 3 của điểm như sau : Qua A 1 vẽ đường dóng A 1 A z ⊥ z. Trên đường dóng này kể từ điểm A z đặt về phía phải của trục z một đoạn 3 AA z = 2 AA x . Trên hình 3.9b cũng cho thấy cách xác định hình chiếu cạnh A 3 của điểm A bằng cách dùng đường phụ trợ nghiêng góc 45 o ở góc thứ tư của hệ trục tọa độ. - Nối A 1 với A 2 . - Từ A 2 kẻ đường ngang gặp đường nghiêng 45 o dựng tiếp Hình 3.9a đường gióng thẳng đứng (theo chiều mũi tên trên hình vẽ). Ví dụ 1 : Biết hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A. Hãy vẽ Hình 3.9b hình chiếu cạnh của điểm đó ( Hình 3.10). - Từ A 1 gióng đường nằm ngang gặp đường thẳng đứng gióng từ đường nghiêng 45 o tại A 3 . Vậy điểm A 3 ta đã tìm được. Ngoài ra ta cũng có thể dùng thước và compa để tìm hình chiếu thứ ba của điểm khi đã biết được hai hình chiếu của điểm đó. 48 [...]... vết của mặt phẳng : - Vết đứng của mặt phẳng P : v1 P - Vết bằng của mặt phẳng P : v2 P Hình 3. 30 61 Trên hình 3. 30 biểu diễn mặt phẳng P bằng các vết của nó Ở hình 3. 30b mặt phẳng P song song với x 3. 3.2 Các mặt phẳng đặc biệt 3. 3.2.1 Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu a Mặt phẳng chiếu đứng Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng Hình chiếu đứng của mặt phẳng. .. mặt Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 (hình 3. 34) - Hình chiếu bằng của mặt phẳng mặt suy biến thành đường thẳng song song với trục x - Hình chiếu đứng của hình thuộc mặt phẳng mặt bằng hình thật : A 1B1C1 = ABC 62 Hình 3. 34 Hình 3. 35 b Mặt phẳng bằng Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P 2 (hình 3. 35) - Hình chiếu đứng của mặt phẳng. .. đưòng gióng - Hình chiếu cạnh của hình thuộc mặt phẳng cạnh bằng hình thật : A3B3C3 = ABC Hình 3. 36 Mặt phẳng cạnh Đồ thức của các mặt phẳng đặc biệt được tóm tắt ở bảng 3- 3 và 3- 4 như sau : Bảng 3- 3 Hình chiếu của mặt phẳng song song với các mặt phẳng hình chiếu Bảng 3- 3 Vị trí của Hình không gian Hình chiếu Tính chất mặt phẳng 63 (ABC) / / (P1) B1 B1 B A1 C1 A3 A B2 A3 A1 C3 C A2 B3 B3 O A2 (ABC)... hình 3. 32 biểu diễn một mặt phẳng chiếu bằng ABC c Mặt phẳng chiếu cạnh Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 (hình3 .33 ) - Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh suy biến thành một đường thẳng nghiêng với trục z và trục yx lần lượt bằng góc nghiêng và của mặt phẳng này với P1 và P2 Hình 3. 33 3 .3. 2.2 Mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu a Mặt phẳng mặt Mặt... hình chiếu bằng của đường thẳng AB - Đường thẳng A3B3 gọi là hình chiếu cạnh của đường thẳng AB 51 P1 z B3 B1 B1 B B3 A1 A3 A1 P3 0 x B2 B2 A A3 A2 A2 P2 y Hình 3. 14 3. 2.2 Các vị trí đặc biệt của đường thẳng 3. 2.2.1 Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu 3. 3.1.1 Đường mặt Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 ( Hình 3. 15) - Dấu hiệu đặc trưng của đường mặt là hình. .. thành một đường thẳng nghiêng với trục x bằng góc nghiêng của nó với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 Trên hình 3. 31 biểu diễn một mặt phẳng chiếu đứng ABC Hình 3. 31 b Mặt phẳng chiếu bằng Hình 3. 32 Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng Hình chiếu bằng của mặt phẳng này suy biến thành một đường thẳng nghiêng với trục x bằng góc nghiêng của nó với mặt phẳng hình chiếu đứng... B1 C1 A C B B3 A1B1C1 Ox A3B3C3 Oy A2B2C2 ABC C3 B3 O A2 B2 A3 C3 A2 (ABC) / / (P3) C1 C2 B2 A1 B1 A B C1 A2 C C2 A3 B3 B1 B3 C3 B2 x // = C1 A2 // // = C2 A1 A3 // B2 C2 A1 B1 A3 C3 C1 x C2 A2B2C2 Ox A3B3C3 Oz A1B1C1 ABC C3 O A1B1C1 Oz A2B2C2 Oy A3B3C3 ABC // // = C2 B2 Bảng 3- 4 : Hình chiếu của mặt phẳng vuông góc với các mặt phẳng hình chiếu Vị trí của mặt phẳng Hình không gian Hình chiếu 64 Tính... trên đường thẳng vuông góc với trục x - Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường cạnh thì A3B3 = AB Hình 3. 17 3. 3.2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu 3. 3.2.1 Đường thẳng chiếu đứng: Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 (hình 3. 18) - Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng suy biến thành một điểm (A1 ≡ B1) - Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu. .. phẳng bằng suy biến thành đường thẳng song song với trục x - Hình chiếu bằng của hình thuộc mặt phẳng bằng bằng hình thật : A 2B2C2 = ABC c Mặt phẳng cạnh Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 (hình 3. 36) - Mặt phẳng cạnh vuông góc với hai mặt phẳng hình chiếu P1 và P2 - Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của mặt phẳng cạnh cùng suy biến thành đường thẳng và chúng trùng... Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu bằng vuông góc với trục x - Đường thẳng chiếu bằng cũng là đường mặt nên nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng này thì A1B1 = AB - Đường thẳng chiếu bằng vừa // P 1 ; vừa // P3 nên A1B1 = AB = A3B3 Hình 3. 19 3. 3 .3. 2 Đường thẳng chiếu cạnh: Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 (Hình 3. 20) - Hình chiếu cạnh của đường . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu 3. 3. Hình chiếu của mặt phẳng 3. 3.1. Đồ thức của mặt phẳng 3. 3.2. Các mặt phẳng đặc biệt 3. 3.2.1. Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu 3. 3.2.2 A 3 B 3 . 53 3 .3. 3.2. Đường thẳng chiếu bằng: Hình 3. 19 Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P 2 (hình 3. 19). - Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu bằng. AB 51 Hình 3. 14 . 3. 2.2. Các vị trí đặc biệt của đường thẳng 3. 2.2.1. Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu 3. 3.1.1. Đường mặt Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu