Chứng minh AI vuông góc với EF d Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC.. AD c Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA d Tính diện tích tam giác BDC theo
Trang 1ĐỀ CƯƠNG HK2 TOÁN 9
A ĐẠI SỐ
- Phương trình bậc nhất hai ẩn: định nghĩa, tập hợp nghiệm
- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: định nghĩa, cách giải hệ bằng phương pháp cộng, thế, minh hoạ đồ thị
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Hàm số y=ax2 ( a khác 0): tính chất, đồ thị
- Phương trình bậc hai một ẩn: định nghĩa, công thức tính nghiệm và công thức tính nghiệm thu gọn, hệ thức viet, cách giải phương trình qui về phương trình bậc hai
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
B HÌNH HỌC
- Góc với đường tròn
- Cung chứa góc
- Tứ giác nội tiếp
- Công thức tính độ dài đường tròn, cung tròn, công thức tính diện tích hình tròn
- Hình trụ: khái niệm, công thức tính diện tích xung quanh và thể tích
- Hình nón, hình nón cụt: công thức tính thể tích và diện tích
- Hình cầu: công thức tính thể tích và diện tích mặt cầu
I.Trắc nghiệm
Khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:
1/ Nghiệm của phương trình x 2y 5
a) ( 3; -1) b) ( x= 2y +5; y R) c) ( 3; 1) d) hệ pt vô ngiệm 2/ Với giá trị nào sau đây của m thì pt x2-4x +2m = 0 có nghiệm kép:
3/ Với x1, x2 là hai ngiệm của phương trình bậc hai x2-4x –6 = 0 tính được x12+ x2
2 ta được :
4/ Tập hợp nghiệm của pt: x2 ( 5 2)x 10 0 là:
a) 5, 2 b) 5; 2 c) 5, 2 d) 5; 2
5/ Phương trình bậc hai 2x2- x – 6 = 0 có nghiệm là
a) –3/2 và –2 b) 3/2 và 2 c) –3/2 và 2 d) –6/4 và -3
6/ Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0) có nghiệm khi:
A < 0 B > 0 C = 0 D 0
7/ Tích hai nghiệm của phương trình x2 2x 2 1 0 là:
A 2 B 2 – 1 C 1 2 D Kết quả khác
8/ Nghiệm của hệ phương trình 2x y 3
x y 6
A.(x = 3; y = 3) B.(x = –3; y = –3) C.(x = 3; y = –3) D (x = –3; y = 3)
Trang 29/ Tính chất biến thiên của hàm số y = 2 1 x 2 là:
A Đồng biến với mọi giá trị của x
B Nghịch biến với mọi giá trị của x
C Đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0
D Đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
10/ Cho hàm số y = 1 2
x
2 Tính biến thiên của hàm số là:
A Hàm số trên luôn nghịch biến
B Hàm số trên luôn đồng biến
C Giá trị của hàm số bao giờ cũng âm
D Hàm số nghịch biến khi x< 0 và đồng biến khi x >0 11/ Phương trình x2 – 5x – 6 = 0 có một nghiệm là :
A x = 1 B x = 5 C x = 6 D x = -6
12/ Biệt thức ’ của phương trình 4x2 – 6x – 1 = 0 là :
A ’ = 5 B ’ = 13 C ’ = 52 D ’ = 20.
13/ Cho hàm số y=
4
1
x2
a Hàm số trên luôn nghịch biến b Giá trị của hàm số bao giờ cũng âm
c Hàm số trên luôn đồng biến d Hàm số trên nghịch biến khi x>0 và đồng biến khi x < 0
14/ Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0) có ac < 0 thì số nghiệm của pt là :
c) có hai nghiệm phân biệt d) Không biết được
15/ Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0) có nghiệm kép Giá trị của nghiệm kép là :
16/ Cho phương trình x – y = 1 (1), phương trình nào dưới đây có thể kết hợp với (1) để được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có vô số nghiệm :
A 2y = 2x – 2 B y = x + 1 C 2y = 2 – 2x D y = 2x – 2
7/ Tập nghiệm của phương trình 2x + 0y = 5 được biểu điễn bởi đường thẳng :
A y = 2x – 5 B y = 5
2 C y = 5x – 2 D x = 5
2 18/ Nếu x1, x2 là nghiệm của của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0) thì: x1+ x2 là
19/ AB = R là cung của đường tròn ( O; R ) Số đo cung AB là:
a 600 b 900 c 1200 d 1500
20/ Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 3 cm, chiều cao 10 cm thì diện tích xung quanh (làm tròn đến chữ thập phân thứ nhất) là:
a 178,4 cm2 b 182,4 cm2 c 188,4 cm2 d 192,4 cm2
21/ Diện tích của hình quạt tròn có góc ở tâm 900, bán kính 2cm là:
A (cm2) B 2 (cm2) C
2
(cm2) D Kết quả khác 22/ Thể tích của hình trụ có bán kính đáy 1cm, chiều cao gấp đôi bán kính đáy là:
A 4 (cm3) B 2 (cm3) C (cm3) D Kết quả khác
23/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O với ˆB = 650, ˆC = 400 Tính góc BMC ( với M là điểm thuộc cung BAC ) ta được:
Trang 3a) 65 b) 40 c) 75 d) 105
24/ Tứ giác nào sau đây không phải là tứ giác nội tiếp:
a) Hình thang cân b) Hình chữ nhật c) Hình thoi d) Hình vuông 25/ Cho đường tròn (O; R ) và một dây BA = R Diện tích hình quạt tròn nằm trong góc ở tâm AOB là :
a) R2
3
6
6
4
26/ Một hình trụ có bán kính là 4 cm, diện tích xung quanh bằng 40 ( cm2) Khi đó chiều cao của hình trụ là:
a) 2,5cm b) 10cm c) 5cm d) Một kết quả khác
27/ Một tam giác đều cạnh là 3cm nội tiếp trong đường tròn Diện tích của hình tròn là:
a) 3 cm2 b) 3 cm2 c) 3 3 cm2 d) Một kết quả khác
28/ Một hình trụ bán kính R chiều cao h biết rằng diện tích xung quanh của hình trụ là 18, bán kính đáy R là:
a) 3
c) 3 d) cả 3 đều sai 29/ Hai tiếp tuyến tại hai điểm A, B của (O) cắt nhau tại M và tạo thành góc AMB = 500 Số đo của góc ở tâm chắn cung AB là:
a) 500 b) 400 c) 1300 d) 3100
30/ Hai bán kính OA, OB của đường tròn tạo thành góc ở tâm là 800 Số đo của cung AB lớn là: a) 2800b) 1600 c) 800 d) Một kết quả khác
31/ Một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O thì hai góc đối diện:
a) Bù với nhau b) Kề và bù với nhau c) Đối nhau d) Phụ nhau
32/ Hình thụ có chiều cao bằng 6cm, bán kính đáy bằng 4 cm Diện tích xung quanh của hình trụ bằng:
a) 24 cm2 b) 12 cm2 c) 48 cm2 d) Cả ba câu đều sai
33/ Hình nón có chiều cao bằng 3cm, bán kính đáy bằng 4cm Thể tích của hình nón bằng:
a) 48 cm2 b) 96 cm2 c) 16 cm2 d) Cả ba câu đều sai
34/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O biết  = 700 , ˆB= 400 thì:
a) AC = BC b) sđ AC = 700 c) BC > AC d) AOB = AOC
35/ Cho hình tròn tâm (O) có đường kính bằng 6cm Diện tích của hình tròn là:
a) 6 cm2 b) 36 cm2 c) 9 cm2 d) 12 cm2
36/ Cho (O, R) và MN = R Đọâ dài cung MN là :
a) 2 R
R
R
R
12
37/ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Biết góc C = 700.thì
a) góc B = 1100 b) góc D= 1100 c) góc A= 1100 d) cả 3 đều sai
38/ Công thức tính độ dài của một cung tròn là:
a) l 360 Rn b) l 180 Rn c) l R n
2
39/ công thức tính diện tích hình quạt tròn là
a) S R n
2
R n
2
R n
S 180
Trang 440/ Độ dài đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh bằng a là:
a) C = 2a 2 b) C = 2a c) C= a 3 d) C= a 3
2
41/ Chọn câu đúng
a/ Hình nón có độ dài đường sinh bằng chiều cao
b/ Hình trụ có độ dài đường sinh bằng chiều cao
c/ Hình nón cụt có độ dài đường sinh bằng chiều cao
d/ Khi quay tam giác vuông một vòng quanh cạnh huyền của nó ta được một hình nón
42/ Không giải pt, dùng Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm
Phương trình Tổng hai nghiệm Tích hai nghiệm
a/ 0.5 x2 + 0.1x –0.2 =0 S= x1+ x2=……… P=x1 x2=………
b/ - x2 +2007x +2008 =0 S= x1+ x2=……… P=x1 x2=………
a/ x2 + 2/5x -2/5 =0 S= x1+ x2=……… P=x1 x2=………
a/ 2.4 x2 – 3.6x –6 =0 S= x1+ x2=……… P=x1 x2=………
a/ 2 x2 – 3x –2 =0 S= x1+ x2=……… P=x1 x2=………
Bài 43: Nối cột A với cột B để được kết quả đúng Cột A Cột B Kết quả 1/ R2h a/ Công thức tính thể tích hình cầu 1…………
2/ 4 R2 b/ Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ 2………
3/ 2 R2 c/ Công thức tính diện tích hai đáy của hình trụ 3…………
4/ 2 Rh + 2 R2 d/ Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ 4…………
5/ 2 Rh e/ Công thức tính thể tích của hình trụ 5…………
6/ 4 R3/3 6…………
II/ TỰ LUẬN
Bài 1: Giải hệ phương trình
/
/
1
2
/
x y
/
3
3 0
4
3 2 5
Bài 2: Giải các phương trình sau
Trang 51/ 3x-5x=0
2/ 2 x2 – 3x –2 =0
3/ -2 x2 +8 =0
4/ x4- 4 x2-5 =0
5/ x4- 8 x2- 48 =0
6/ 2x4-5x2+2 = 0
7/ x2+x –2 =0
8/ 3x- 12x +9 =0 9/ x4 +3x2 –28 =0 10/ 16x2+8x+1=0 11/ 12x2+5x –7 =0 12/ x x
13/ 3x3 + 6x2 –4x = 0
Trang 614) 3x2 – 5x = 0 16) – 2x2 + 8 = 0
15) 2x2 – 3x – 2 = 0 17) x4 – 4x2 – 5 = 0
18) 3x2 15 0 19) 2x2 5x 1 0
20)3x2 4 6x 4 0
Bài 3: Không giải phương trình dùng hệ thức Viet hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi pt sau:
1/ mx2 – 2( m+1 ) x + m + 2 = 0 ( m khác 0)
2/ ( m + 1 )x2 + mx –m +3 = 0 ( m khác –1)
3/ ( 2 - 3 ) x2 + 4x +2 + 2 = 0
4/ x2 – ( 1+ 2) x + 2 = 0
Bài 4: làm bài tập 38, 39, 40, 41, 42/ 44 SBT bài 67, 71/ 48, 49 SBT
Bài 5: 1/ Vẽ parabol (P) : y = 1 x2
2 và đường thẳng (d) : y = x
2 trên cùng mặt phẳng toạ độ
2/ Xác định toạ đôï giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán
Bài 6: 1/ vẽ đồ thị của hàm số ( P) y = x2 và( d) y = -x +2 trên cùng một hệ trục
2/ Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán
Bài 7: Cho phương trình : x2 + 2( m-1) x –m =0
a) Chứng tỏ phương trình trên có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tính A = x2
1 + x2
2- 6x1x2 theo m
Bài 8: a) Xác định hệ số a của hàm số y =ax2 , biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm
A ( 2; -1)
b)Vẽ đồ thị của hàm số đó
Bài 9: a) Vẽ parabol (P) : y = 1 x2
4 và đường thẳng (d) : y = x
2 trên cùng mặt phẳng toạ độ
c) Bằng phép toán chứng tỏ rằng (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Bài 10: a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 3 x2
2 ( P)
b) Cho đường thẳng (d) có pt: y = x + m tìm m trong các trường hợp sau:
(d) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt
( d) tiếp xúc với ( P)
(d) không tiếp xúc với (P)
Bài 11: Cho phương trình x2- mx + m –1 =0 ( 1)
a) Giải pt khi m = 4
b) Cho biết x1, x2 là hai nghiệm của pt (1) tính x1 + x2 ; x1 x2 ; x12 + x22 ; x14+ x24
Bài 12: Cho phương trình ( 1+ a) x2 –4ax +4a = 0 (1) ( a khác 0)
a) Tìm a để pt (1) có nghiệm
b) Tính tổng và tích các nghiệm của pt (1)
c) Chứng minh pt(1) không thể có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm a để tổng bình phương các nghiệm của (1) bằng 3
Bài 13: a) Vẽ đồ thị thị của hàm số y = 1 x2
2 ( P)
b) Chứng minh với mọi k, đừơng thẳng (d1) có pt y = kx +1 luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d2) : y = mx –m/2 –1 tiếp xúc với ( P)
Trang 7Bài 14: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích là 192 m nếu tăng chiều rộng gấp 4 lần và giảm chiều dài đi 8m thì diện tích của mảnh đất không thay đổi Tính kích thước của mảnh đất
Bài 15: a/ Một tam giác vuông có cạnh huyền là 10 m và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m tính
các cạnh góc vuông của tam giác đó
b/ Một tam giác có chu vi 30m, độ dài cạnh huyền là 13m Tính độ dài mỗi cạnh góc vuông
Bài 16: một xe ô tô đi từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc không đối Sau khi đi được nửa
quãng đường xe phải giảm vân tốc, mỗi giờ châm đi 20 km ( so với ban đầu), vì v ậây đến chậm hơn so với dự định là 1giờ Cho biết từ A đến B là 150 km Tính vận tốc ban đầu của ô tô
Bài 17: 52, 59/ 46 ,47 SBT
Bài 18: Cho hai hàm số y = x2 và y = – 2x + 3
a) Vẽ các đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó
Bài 19: Chứng minh trong hai phương trình ax2 + bx + c = 0 và
ax2 + cx + b – c – a = 0 ít nhất có một phương trình có nghiệm với a khác 0
Bài 20 : Cho hai hàm số y = x2
và y = x + 2 a) Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó và kiểm tra lại bằng phương pháp đại số
Bài 21 : Tính nhẩm nghiệm các phương trình :
2
2
2
Bài 22:Tính kích thuớc của một hình chữ nhật biết chiều dài hơn chiều rộng 3 m và diện tích bằng
180 m2
Bài 23: Giải phương trình :( x2 - 2x + 3 ) ( 2x - x2 +6 ) =18
Bài 24: Từ một điểm S nằm bên ngoài đường tròn tâm O, người ta vẽ hai tiếp tuyến SA và SB với
đường tròn đó
a) Chứng minh tam giác ASB cân
b) Chứng minh tứ giác ASBO nội tiếp
c) Vẽ đường kính AOC Chứng minh SO//BC
d) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác SAO
Bài 25: Từ một điểm T nằm bên ngoài đường tròn (O; R), kẽû hai tiếp tuyến TA, TB với đường tròn
đó Biết góc AOB = 1200 và dây BC = 2R
a) Chứng minh OT // AC
b) Biết tia OT cắt đường tròn ( O, R) tại D Chứng minh tứ giác AOBD là hình thoi
Bài 26: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm Vẽ đường cao AH, đường tròn
tâm O đường kính AH cắt AB tại E và cắt AC tại điểm F
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp
c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh AI vuông góc với EF
d) Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC Tính diện tích hình tròn tâm K
Bài 27: Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D, CE
cắt BD tại H
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
Trang 8b) AH cắt BC tại F chứng minh FA là tia phân giác của góc DFE
c) EF cắt đường tròn tại K ( K khác E) chứng minh DK// AF
d) Cho biết góc BCD = 450 , BC = 4 cm Tính diện tích tam giác ABC
Bài 28: cho đường tròn ( O) và điểm A ở ngoài (O)sao cho OA = 3R vẽ các tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp tuyến )
a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O) tại D ( khác B), đường thẳng AD cắt ( O) tại
E chứng minh AB2= AE AD
c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA
d) Tính diện tích tam giác BDC theo R
Bài 29: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB >AC, nội tiếp đường tròn tâm (O,R), hai đường cao
AH, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp? Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b) Tia BH cắt AC tại E chứng minh HE.HB= HF.HC
c) Vẽ đường kính AK của (O) chứng minh AK vuông góc với EF
d) Trường hợp góc KBC= 450, BC = R 3 tính diện tích tam giác AHK theo R
Bài 30: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đương cao AE, BF, CK cắt
nhau tại H Tia AE, BF cắt đường tròn tâm O lần lượt tại I và J
a) Chứng minh tứ giác AKHF nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh hai cung CI và CJ bằng nhau
c) Chứng minh hai tam giác AFK và ABC đồng dạng với nhau
Bài 31: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ),các đường cao BE, CF
a Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
b Chứng minh OA vuông góc với EF
Đề thi học kì 2 năm học 2005-2006 I.Trắc nghiệm: (3 điểm)
Hãy chọn câu trả lời mà em cho là đúng nhất
Câu 1: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm khi:
A < 0 B > 0 C = 0 D 0
Câu 2: Tích hai nghiệm của phương trình x2 2x 2 1 0 là:
A 2 B 2 – 1 C 1 2 D Kết quả khác
Câu 3: Nghiệm của hệ phương trình 2x y 3
x y 6
A.(x = 3; y = 3) B.(x = –3; y = –3) C.(x = 3; y = –3) D (x = –3; y = 3)
Câu 4: Tính chất biến thiên của hàm số y = 2 1 x 2 là:
A Đồng biến với mọi giá trị của x
B Nghịch biến với mọi giá trị của x
C Đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0
D Đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
Câu 5: Diện tích của hình quạt tròn có góc ở tâm 900, bán kính 2cm là:
Trang 9A (cm2) B 2 (cm2) C.
2
(cm2) D Kết quả khác Câu 6: Thể tích của hình trụ có bán kính đáy 1cm, chiều cao gấp đôi bán kính đáy là:
A 4 (cm3) B 2 (cm3) C (cm3) D Kết quả khác
II Tự luận: (7 điểm)
Bài 1: Cho hai hàm số y = x2 và y = – 2x + 3
a) Vẽ các đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) 3x2 – 5x = 0 b) – 2x2 + 8 = 0
c) 2x2 – 3x – 2 = 0 d) x4 – 4x2 – 5 = 0
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đương cao AE, BF, CK cắt nhau tại H Tia AE, BF cắt đường tròn tâm O lần lượt tại I và J
d) Chứng minh tứ giác AKHF nội tiếp đường tròn
e) Chứng minh hai cung CI và CJ bằng nhau
f) Chứng minh hai tam giác AFK và ABC đồng dạng với nhau
Bài 4: Chứng minh trong hai phương trình ax2 + bx + c = 0 và
ax2 + cx + b – c – a = 0 ít nhất có một phương trình có nghiệm với a ≠ 0
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH
CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta chọn một trong các phương pháp sau đây:
1) Chỉ rõ chúng là các cạnh tương ứng trong các hình bằng nhau
2) Chỉ rõ chúng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba
3) Chỉ rõ chúng là các đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳûng song song
4) Chỉ rõ chúng là cạnh của tam giác cân, cạnh đối của hình bình hành, hình chữ nhât, hình thoi, hình vuông, các cạnh bên của hình thang cân, hoặc là các đường chéo của hình chữ nhật, hình vuông , hình thang cân
5) Chỉ rõ chúng là các bán kính hay các dây căng những cung bằng nhau trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau
6) Chỉ rõ chúng là các khoảng cách từ ø một điểm trên đường phân giác đến hai cạnh của một góc hay từ một điểm trên đường trung trực đến hai đầu mút của đoạn thẳng hay là các tiếp tuyến xuất phát từ một điểm đến một đường tròn
7) Chỉ rõ sự tương quan giữa đường trung tuyến thuộc cạnh huyền với cạnh huyền của tam giác vuông
CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU
Ta chọn một trong các phương pháp sau:
1) Chỉ rõ chúng là những góc tương ứng trong các hình bằng nhau, chẳng hạn hai tam giác bằng nhau
Trang 102) Chỉ rõ chúng là góc kề đáy của một tam giác cân, hình thang cân, các góc đối của hình bình hành
3) Chỉ rõ chúng cùng bù, cùng phụ hay cùng bằng một góc thứ ba
4) Chỉ rõ chúng là các góc so le trong hay so le ngoài hay đồng vị lập bởi một cát tuyến với hai đường thẳng song song
5) Chỉ rõ chúng là những góc cùng nhọn hay cùng tù có cạnh tương ứng song song hay vuông góc, hay chỉ rõ chúng là hai góc đối đỉnh
6) Chỉ rõ chúng là những góc nội tiếp ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) cùng chắn một cung hay hai cung bằng nhau của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau
CHỨNG MINH TÍNH SONG SONG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Ta có thể chọn một trong các phương pháp sau:
1) Chứng minh chúng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong hay so le ngoài hay đồng vị bằng nhau Hoặc chứng minh hai góc trong hay hai góc ngoài cùng phía bù nhau
2) Chứng minh chúng cùng song song hay cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba
3) Chỉ rõ chúng là đường trung bình và đáy của một tam giác hay hình thang
4) Chỉ rõ chúng ưc1ùi của một hình (chữ nhật, tình thoi, hình vuông, hình bình hành)
5) Sử dụng định lí về đoạn thẳng tỉ lệ
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Ta có thể chọn một trong các phương pháp sau:
1) Chỉ rõ chúng là đường phân giác của hai góc kề bù
2) Chỉ rõ chúng là đường cao, đường trung trựctương ứng với cạnh của một tam giác
3) Chỉ rõ chúng chứa các các cạnh của môït hình vuông, hay cạnh của tam giác vuông
4) Chỉ rõ chúng chứa hai cạnh của một hình chữ nhật hay hình vuông
5) Chỉ rõ đường này song song với đường thẳng vuông góc với đường thẳng kia
6) Chỉ rõ chúng là các đường chéo của hình thoi hay hình vuông
7) Chỉ rõ chúng là các cạnh của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, là tiếp tuyến và bán kính đi qua tiếp điểm của một đường tròn, là cát tuyến chung với đường nối 2 tâm của hai đường tròn giao nhau
8) Chỉ rõ chúng là đường phân giác hay trung tuyến từ đỉnh của tam giác cân với đáy của tam giác đó
CHỨNG MINH BA HAY NHIỀU ĐIỂM THẲNG HÀNG
Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể lựa chọn một trong các phương pháp sau:
1) Chứng minh góc ABC = 1800 ( hay góc ACB, hay BAC bằng 1800)
2) Dùng tiên đề Ơclid
3) Sử dụng tính chất của góc đối đỉnh
4) Sử dụng định nghĩa thẳng hàng, chứng tỏ rằng A,B, C cùng thuôc một đường thẳng
5) Chứng minh một điểm là tâm đối xứng của hai điểm còn lại
6) Chứng minh chúng là tiếp điểm và hai tâm của hai đường tròn tiếp xúc nhau
Lưu ý : để chứng minh bốn điểm hay nhiều điểm thẳng hàng đưa dần về trường hợp 3 điểm để chứng minh.
CHỨNG MINH NHIỀU ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
Ta có thể chọn trong các phương pháp sau:
1) Chứng minh rằng đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng kia
2) Chứng minh chúng là ba đường cao hay đường trung tuyến, hay phân giác hay trung trực ,… của một tam giác