đề cương toán 9 HK2 trường THCS ngô sĩ liên – hà nội

Gọi K là trung điểm của NP 1 Chứng minh rằng các điểm M, A, K, O, B cùng thuộc một đường tròn 2 Chứng minh tia KM là phân giác của AKB 3 Gọi Q là giao điểm thứ hai của đường thẳng BK vớ

TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN

Năm học: 2017 – 2018

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP LỚP 9 HKII

MÔN TOÁN DẠNG 1: Biến đổi các biểu thức chứa căn

Bài 1: Cho biểu thức: 1 1 2 2 1

x

1) Rút gọn A

2) Tìm x để A < 0

3) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên

1 11

2) Tính giá trị của biểu thức C khi x 8 2 7

3) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C bằng – 3

4) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C lớn hơn 1

3



5) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ hơn 2 x3

Bài 4: Cho biểu thức 1

x

1) Khi x  6 2 5, tính giá trị biểu thức A

3) Tìm x để biểu thức M BA nhận giá trị nguyên

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức 1

x x







x B x

a) Tính giá trị B tại x = 36

b) Rút gọn A

c) Tìm số nguyên P để P = A.B là số nguyên

Bài 9: Cho biểu thức 2

d) So sánh A và 2

A

DẠNG 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước

Sau khi đi được 1

3 quãng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại Tính vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đường biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút

Bài 2: Quãng đường AB dài 220km Hai ô tô khởi hành từ A và B đi ngược chiều

nhau Nếu cùng khởi hành thì sau 2 giờ chúng sẽ gặp nhau Nếu xe đi từ A khởi

hành trước xe kia 1 giờ 6 phút thì hai xe gặp nhau sau khi xe đi từ A đi được 2 giờ

30 phút Tính vận tốc mỗi xe

Bài 3: Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược từ B về A

Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược 1h 20p Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược

là bằng nhau

Bài 4: Một ca nô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 105km

Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó, ca nô này chạy trong 4h, xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca

nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi

Bài 5: Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm trong một thời gian nhất định Sau

khi làm được 2h với năng suất dự kiến người đó đã cải tiến các thao tác nên đã tăng năng suất được 2 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm hơn

dự kiến 30 phút Hãy tính năng suất dự kiến ban đầu

Bài 6: Một đội sản xuất làm 1000 sản phẩm trong một thời gian quy định Nhờ tăng

năng suất lao động, mỗi ngày đội làm thêm được 10 sản phẩm so với kế hoạch Vì vậy, chẳng những đã làm vượt mức kế hoạch 80 sản phẩm mà còn hoàn thành sớm hơn 2 ngày so với quy định Tính số sản phẩm đội sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch

Bài 7: Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm chung trong 6h Sau 2h làm

chung thì tổ hai bị điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10h Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc

Bài 8: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 120 tấn hàng Lúc sắp

khởi hành đội được bổ sung thêm 5 xe nữa cùng loại Nhờ vậy, so với ban đầu, mỗi

xe phải chở ít hơn 2 tấn Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe Biết khối lượng mỗi xe phải chở như nhau

Bài 9: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài hơn

chiều rộng là 7m Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó

Bài 10: Cho một số có hai chữ số Tổng hai chữ số của chúng bằng 10 Tích hai chữ

số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12 Tìm số đã cho

Bài 4: Cho hệ phương trình   2

2) Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x > 0, y < 0

3) Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duuy nhất (x; y) với x, y là các sốnguyên

Bài 5: Cho hệ phương trình   1

  



x my

mx y m

1) CMR hệ có nghiệm duy nhất với mọi m

2) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x < 1, y < 1

1) Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt bằng – 1 và 2

2) Viết phương trình đường thẳng AB

3) Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P) Tìm tọa

độ tiếp điểm

Bài 3: Cho parabol   2

2) Tìm giao điểm B còn lại của (d) và (P)

3) Tính diện tích tam giác OAB

Bài 4: Cho hàm số 2



y ax có đồ thị (P) và hàm số ymx 2m 1 có đồ thị (d) 1) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định

2) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó

3) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với parabol (P) tại M

1) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy

2) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (d) và (P) Tính chu vi AOB

3) Tìm tọa độ giao điểm C thuộc Ox để chu vi ABC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 6: Cho parabol   1 2

: 4



1) Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc là k là đi qua M(1,5; - 1)

2) Tìm k để đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau

3) Tìm k để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Bài 7: Cho hàm số  

2

:2

b) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (P) và (d)

c) Tính diện tích AOB

2) Tìm n để (P) tiếp xúc với (d)

3) Tìm n để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm

4) Tìm n để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm nằm ở hai phía trục tung

Bài 8: Cho parabol (P): 2



y x và đường thẳng ymxm 1

1) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

2) Gọi x1 và x2 là hoành độ của A và B Tìm m để x1x2 2

3) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm nằm cùng bên trái của trục tung

1) Giải phương trình trên khi m = 1

2) Xác định m để phương trình có một nghiệm là 2 Khi đó phương trình cònmột nghiệm nữa, tìm nghiệm đó?

3) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

4) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt Tìm m để 2 2

1  2  1

5) Định m để phương trình có nghiệm này bằng 3 nghiệm kia.

Bài 2: Cho phương trình 2  

x m x m , m là tham số 1) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m

2) Với m 0 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm là 1 1

3) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thảo mãn x12x2 3

4) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

Bài 3: Cho phương trình 2  

3) CMR phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi k

4) CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?

6) Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho phương trình 2  

1) Giải phương trình khi x = - 5

2) CMR phương trình luôn có nghiệm x1, x2 với mọi m

3) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

5) CMR biểu thức Ax11x2x21x1 không phụ thuộc m

6) Tính giá trị của biểu thức x1 x2

Bài 5: Cho phương trình 2

3( 1) 3 0,

1) CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m

2) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m

3) Xác định m để phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối vàtrái dấu nhau

Bài 6: Cho phương trình 2  

1) CM phương trình luôn có nghiệm với mọi m

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để Bx1(1x2)x21x243) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 7: Cho phương trình 2    

Bài 8: Cho phương trình 2  

2 1 2 1 0,

x m x m m là tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5

Bài 9: Cho phương trình 4 2

x x m , m là tham số 1) Giải phương trình khi m = - 1

Bài 10: Cho phương trình 2   2

x m x m m là tham số Tìm m là phươngtrình có nghiệm duy nhất

DẠNG 6: Hình học

Bài 1: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,

MB đến (O) (A, B là tiếp điểm) Qua M kẻ cát tuyến MNP (MN < MP) đến (O) sao cho tia MP nằm giữa hai tia MA và MO Gọi K là trung điểm của NP

1) Chứng minh rằng các điểm M, A, K, O, B cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh tia KM là phân giác của AKB

3) Gọi Q là giao điểm thứ hai của đường thẳng BK với đường tròn (O) Chứngminh rằng AQ // NP

4) Gọi H là giao điểm của AB và MO Chứng minh rằng 2

5) Chứng minh rằng 4 điểm N, H, O, P cùng thuộc một đường tròn

6) Gọi E là giao điểm của AB và KO Chứng minh rằng 2



AB HE HF (F là giaođiểm của AB và NP)

7) Chứng minh rằng KEMH là tứ giác nội tiếp Từ đó chứng tỏ rằng OK.OEkhông đổi

8) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng MO với đường tròn (O) Chứng mỉnh ằng I

là tâm đường tròn nội tiếp MAB

9) Chứng minh NHAPHA

10) Chứng minh rằng KE là phân giác góc ngoài của .AKB Từ đó suy ra AE.BF =AF.BE

11) Chứng minh khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm G của NAP luônchạy trên một đường tròn cố định

12) Nếu MO = 2R Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi hai bán kính OA, OB vàcung nhỏ AB.

Bài 2: Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với

nhau Trên đoạn thẳng MA lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) tại N Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P Chứng minh:

1) Tứ giác OMNP nội tiếp

2) Tứ giác CMPO là hình bình hành

3) CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

4) Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì tâm đường tròn nội tiếp CND dichuyển trên một cung tròn cố định nào

Bài 3: Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng (d)

vuông góc với AC tại A Vẽ đường tròn đường kính BC, trên đó lấy điểm M bất kì Tia CM cắt đường thẳng d tại D; tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N; tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai P

1) Chứng minh rằng tứ giác ABMD nội tiếp được

2) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?

3) Chứng minh rằng CM.CD không phụ thuộc vị trí của M

4) Chứng minh trọng tâm G của MAC chạy trên một đường tròn cố định khi M

di động

Bài 4: Cho đường tròn (O; R) với dây BC cố định (BC không qua O) Gọi A là điểm

chính giữa cung nhỏ BC Điểm E thuộc cung lớn BC Nối AE cắt BC tại D Hạ



CH AE tại H; CH cắt BE tại M Gọi I là trung điểm của BC

2) Chứng minh khi E chuyển động trên cung lớn BC thì tích AD.AE không đổi3) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp BED tiếp xúc với AB

4) Tìm vị trí của E để diện tích MAC lớn nhất

Bài 5: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và H (O và O’ ở hai phía

của AH) Vẽ các đường kính AOB và AO’C của hai đường tròn Một đường thẳng d

đi qua A cắt đường tròn (O) tại M, cắt đường tròn (O’) tại N

1) Chứng minh ba điểm B, H, C thẳng hàng

2) Chứng minh rằng khi đường thẳng d thay đổi thì tỉ số HM

HN không đổi 3) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MN và BC Chứng minh bốn điểm A, H, I,

K thuộc một đường tròn

4) Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích HMN lớn nhất

Bài 6: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R = 2R’) Điểm B

thuộc đường tròn (O; R) sao cho AB = R Điểm M thuộc cung lớn AB của đường tròn (O; R) sao cho MAMB. Nối MA cắt đường tròn (O’; R’) tại N Từ N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn (O’; R’) tại E, cắt MB tại F

1) Chứng minh AOM đồng dạng với AO N'

2) Chứng minh rằng độ dài đoạn NF không đổi khi M chuyển động trên cunglớn AB của đường tròn (O; R)

3) Chứng minh ABFE là hình thang cân

4) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác ABFN lớn nhất

Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định Gọi M là trung điểm của

đoạn OB Dây CD vuông góc với AB tại M Điểm E chuyển động trên cung lớn CD

1) Chứng minh bốn điểm B, M, E, K thuộc một đường tròn

2) Chứng minh AE.AK không đổi

3) Tính theo R diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi OB, OC và cung nhỏ BC4) Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp BHK luôn thuộc một đườngthẳng cố định khi điểm E chuyển động trên cung lớn CD

Bài 8: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường tròn

Gọi H là điểm chính giữa cung AM Tia BH cắt AM tại I Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt BH tại K Nối AH cắt BM tại E

1) Chứng minh BAE là tam giác cân Chứng minh 2

Bài 9: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Điểm H thuộc đoạn OB, H khác O và

B Dây CD vuông góc với AB tại H Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại A.Nối CO và DO cắt đường thẳng d tại M và N Các đường thẳng CM và DN cắt

đường tròn (O) tại E và F EC F, D

1) Chứng minh MNFE là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh ME.MC = NF.ND

3) Tìm vị trí của H để AEOF là hình thoi

4) Lấy K đối xứng với C qua A Gọi G là trọng tâm KA B. Chứng minh rằng khi

H chuyển động trên đoạn OB thì G thuộc một đường tròn cố định

Bài 10: Cho ABC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi E’ là điểm đối xứng

1) Tứ giác BCE’F’ nội tiếp đường tròn (O)

2) Năm điểm A, F’, B, C, E’ cùng thuộc một đường tròn

3) AO và EF vuông góc với nhau

4) Khi A chạy tên (O) thì bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF không đổi

DẠNG 7: Một số bài nâng cao

Bài 1: Giải các phương trình sau

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau

Bài 3: Cho đường thẳng ym1x2 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng đó lớn nhất

Bài 4: Cho parabol   2

a a b b b a

Bài 10: Giả sử n là một số tự nhiên khác không, chứng minh

23 2 4 3 (n 1) n 

HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1

Kết hợp điều kiện x 0;x 1 ta có: Với 0 x 1 thì A < 0

3) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên

Vậy không có giá trị nào của x để giá trị biểu thức C  3

4) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C lớn hơn 1

x khi x 7 4 3ĐKXĐ: x 0;x 4

Gọi vận tốc dự định là x (km/h) (điều kiện: x 0)

Thời gian dự định đi hết quãng đường AB là: 120

Thời gian đi hết 2

3 quãng đường còn lại là: 80

10



x (giờ)

Vì người đó đến B sớm hơn dự đinh 24 phút = 2

5 giờ nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc dự định đi hết quãng đường AB là 40km/h

Thời gian lăn bánh trên quãng đường AB là: 120 2 13

Gọi vận tốc ô tô đi từ A đến B là x (km/h), (ĐK: x 0)

Gọi vận tốc ô tô đi từ B đến A là y (km/h), (ĐK: y 0)

Quãng đường ô tô đi từ A đến lúc hai xe gặp nhau là: 2x (km)

Quãng đường ô tô đi từ B đến lúc hai xe gặp nhau là: 2 y (km)

Vì hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có phương trình:

 

2x2y220 xy110 1

2 giờ 30 phút ô tô đi từ A đi được quãng đường là: 5

2x (km) Thời gian ô tô đi tư B đến lúc gặp nhau sau khi ô tô đi từ A đi được 2 giờ 30

Vì hai ô tô đi ngược chiều và gặp nhau sau khi ô tô đi từ A đi được 2 giờ 30

Gọi khoảng cách giữa hai bến A, B là x x 0,km

Ta có vận tốc xuôi dòng là 30 km h/ , vận tốc dòng nước là 5 km h/  nên vận tốc thực của ca nô là 25 km h/  và vận tốc ngược dòng là 20 km h/ 

Thời gian ca nô chạy xuôi dòng là:

Số sản phẩm làm trong 2 giờ đầu là: 2x(sản phẩm)

Số sản phẩm còn lại làm sau khi tăng năng suất là: 150 2 x (sản phẩm)

Thời gian làm số sản phẩm còn lại đó là: 150 2

Vì người đó hoàn thành sớm hơn dự định 30 phút = 1

2 giờ nên ta có phương trình:

Tìm được x= -100 (loại) hoặc x = 50 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số sản phẩm mà đội phải làm trong một ngày theo kế hoạch là 50 sản phẩm

Bài 7:

Gọi thời gian tổ một làm riêng và hoàn thành công việc là x (giờ, x 6)

Gọi thời gian tổ hai làm riêng và hoàn thành công việc là y (giờ, y 6)

Mỗi giờ tổ một làm được 1

x (công việc)

Mỗi giờ tổ hai làm được 1

y (công việc) Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành được công việc nên ta có phương trình:

Bài 8:

Gọi số xe lúc đầu đội có là x (xe); x > 0, x  *

Khối lượng hàng mỗi xe phải chở lúc đầu là 120

x (xe)

Số xe lúc sau của đội có là x + 5 (xe)

Khối lượng hàng mỗi xe phải chở lúc sau là 120

⇔ x = 15 (thỏa mãn điều kiện) hoặc x = 20(không thỏa mãn điều kiện)

Vậy số xe lúc đầu của đội là 15 xe

=> 2

10a a  10a 10  a 12

365145

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

<=> phương trình (*) có nghiệm duy nhất

Hệ đã cho có nghiệm duy nhất

<=> phương trình (*) có nghiệm duy nhất

Vậy với m = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4 1) Thay m = 2 vào hệ phương trình có:

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = ( 2 4

41

Vậy m ∈ {- 3; - 2; - 1; 0} thì hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x > 0 và y < 0

3) Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = ( 2 4

1 2

2

Có 2 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m

b Phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m ( theo câu a)

B A