Đáp án đề thi HKII Toán 10 - Nâng cao

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN : TOÁN - KHỐI 10 (NÂNG CAO) Thời gian: 90 phút ĐỀ BÀI Bài 1: (4 điểm) 1. Giải phương trình sau: 2 1 3x x x+ − − = 2. Giải bất phương trình sau: 2 2 3 1 1x x x− + ≥ + Bài 2: (1điểm) Tính các giá trị lượng giác: sin 8 π , cos 8 π , tan 8 π , cot 8 π Bài 3: (4 điểm) 1. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết C(4; -1), đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt có phương trình là: 2x – 3y + 12 = 0; 2x + 3y = 0. 2. Lập phương trình chính tắc của Elíp có tiêu điểm F 1 (-2;0) và tâm sai 2 3 e = . Bài 4: (1điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn 4 2 4 3 6 2 6 x y z x y z + + =   + − =  Chứng minh rằng: 3 6 5 6 7 7 7 x y z≤ − + ≤ Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 2 - KHỐI 10 –KHTN Câu Nội dung Điểm 1.1 Giải phương trình: 2 1 3x x x+ − − = (1) ĐK: 1 2 1 0 2 3 0 3 0 0 x x x x x x  ≥ −  + ≥    − ≥ ⇔ ≥ ⇔     ≥ ≥    3x ≥ (2) Với ĐK (2) thì phương trình (1) tương đương với phương trình ( ) ( ) 2 2 1 3 2 1 2 3 2 3 3 2 1 3 4 0 4 x x x x x x x x x x x x x + = − + ⇔ + = − + − ⇔ − = = −  ⇔ − − = ⇔  =  Đối chiếu với ĐK (2) ta suy ra: x = 4 là nghiệm. 0,5 1,0 0,5 1.2 Giải bất phương trình sau: 2 2 3 1 1x x x− + ≥ + (1) Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 1 0 2 3 1 0 1 1 0 2 3 1 1 x x x x x x x  + ≤    − + ≥   ⇔  + <      − + ≥ +    2 1 1 1 2 1 5 0 x x x x x x  ≤ −     ≥        ≤ ⇔       > −    − ≥    1 1 1 0 1 0 5 5 5 0 x x x x x x x x x ≤ −  ≤ −   > −  ≤    ⇔ ⇔ − < ≤ ⇔     ≥ ≥     ≥     ≤     1,0 1,0 2 Tính các giá trị lượng giác: sin 8 π , cos 8 π , tan 8 π , cot 8 π Vì 0; 8 2 π π   ∈  ÷   nên sin 8 π , cos 8 π , tan 8 π , cot 8 π đều dương Áp dụng công thức: cos2a = 1 – 2sin 2 a = 1 + 2cos 2 a Ta có: • sin 1 2 1 1 os 1 8 4 2 2 c π π − = − = − = • 1 2 1 os 1 os 1 8 4 2 2 c c π π + = + = + = 0,25 0,25 0,25 • 2 1 sin 2 1 2 8 tan 8 2 1 2 1 os 8 2 c π π π − − = = = + + • 1 1 2 1 cot 8 2 1 2 1 tan 8 2 1 π π + = = = − − + 0,25 3.1 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết C(4; -1), đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt có phương trình là: 2x – 3y + 12 = 0; 2x + 3y = 0. Giả sử đường cao BK: 2x – 3y + 12 = 0 Trung tuyến BM : 2x + 3y = 0. Toạ độ điểm B là nghiêm của hệ: ( ) 2 3 12 0 3 3;2 2 3 0 2 x y x B x y y − + = = −   ⇔ ⇒ −   + = =   * Đường thẳng BC đi qua B, véc tơ chỉ phương ( ) 7; 3BC − uuur có phương trình: 3 2 3 7 5 0 7 3 x y x y + − = ⇔ + − = − * Đường thẳng AC đi qua C vuông góc với BK có phương trình: 4 1 3 2 10 0 2 3 x y x y − + = ⇔ + − = − Ta có: M AC BM= ∩ nên toạ độ M là nghiệm của hệ: ( ) 3 2 10 0 6 6; 4 2 3 0 4 x y x M x y y + − = =   ⇔ ⇒ −   + = = −   Vì M là trung điểm của AC nên toạ độ điểm A là: A(8; -7) * Đường thẳng AB có véc tơ chỉ phương là ( ) 11;9AB − uuur nên phương trình đường thẳng AB là: 3 2 9 11 5 0 11 9 x y x y + − = ⇔ + + = − 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3.2 Lập phương trình chính tắc của Elíp có tiêu điểm F 1 (-2;0) và tâm sai 2 3 e = . Giả sử Elip có phương trình chính tắc là: 2 2 2 2 1 x y a b + = * Tiêu điểm F 1 (-2;0) nên c = 2 * Tâm sai 2 2 3 3 3 c e a a = ⇒ = ⇒ = * 2 2 2 9 4 5b a c= − = − = . Nên phương trình chính tắc của Elip là: 2 2 1 9 5 x y + = 0,25 0,25 0,25 0,25 4 Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn 4 2 4 3 6 2 6 x y z x y z + + =   + − =  B A K M C Chứng minh rằng: 3 6 5 6 7 7 7 x y z≤ − + ≤ Ta có: ( ) ( ) 4 2 4 1 3 6 2 6 2 x y z x y z + + =   + − =   Cộng (1) và (2) ta được: 7x +7y = 10 10 7 y x⇒ = − thay vào (1) được: 18 6 3 2 0 7 7 x z x+ = ⇒ ≤ ≤ (3) Nhân (1) với 6 rồi trừ cho (2) ta được: 21x + 14 z =18 18 21 14 x z − ⇒ = Khi đó: 10 18 21 6 7 5 6 7 5 7 7 14 14 x x x y z x x − +     − + = − − + =  ÷  ÷     . Kết hợp với (3) ta suy ra: 6 6 7. 6 3 6 7 5 6 7 5 6 7 14 14 7 7 x y z x y z + ≤ − + ≤ ⇔ ≤ − + ≤ (đfcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 . TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 – 2 010 MÔN : TOÁN - KHỐI 10 (NÂNG CAO) Thời gian: 90 phút ĐỀ BÀI Bài 1: (4 điểm) 1. Giải phương trình sau: 2. 6 x y z x y z + + =   + − =  Chứng minh rằng: 3 6 5 6 7 7 7 x y z≤ − + ≤ Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 2 - KHỐI 10 –KHTN Câu Nội dung Điểm 1.1 Giải phương trình: 2 1 3x x x+ − − = (1) ĐK: 1 2. ABC, biết C(4; -1 ), đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt có phương trình là: 2x – 3y + 12 = 0; 2x + 3y = 0. 2. Lập phương trình chính tắc của Elíp có tiêu điểm F 1 (-2 ;0) và tâm sai