Biết số ngời đi vừa đủ số ghế ngồi... Cho tam giác ABC cân tại A.. Chứng minh: AM=AN và AHBC b.. Kẻ đờng cao BK.. Tính độ dài BC... Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Tính góc A
Trang 1đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 6 lớp 6
( Thời gian làm bài 120 phút)
-Câu 1:
a) Rút gọn A =
108 63 81 42 27 21
36 21 27 14 9 7
b) Tính B =
1400
10
260
10 140
10 56
10
c) So sánh 2009 2010 2009 2009 với 2010 2010
Câu 2:
Cho phân số A =
3 5
10
n
n
( n Z ) a) Tìm n để A có giá trị nguyên
b) Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?
Câu3:
999999
131313 636363
131313 353535
131313 151515
131313 :
11
10 70 3
2
x
b) Chứng minh rằng nếu a, b N và a + 5b 7 thì 10a + b cũng chia hết cho 7
c) Chứng tỏ rằng 6n + 5 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau
Câu 4:
Cho góc AMC = 60 Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx,
MT là tia phân giác của góc xMy
a) Tính AMy
b) Chứng minh góc CMT = 90
Câu 5:
a) Cho S =
2500
2499
25
24 16
15 9
8 4
3
Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên
b) Có 64 ngời đi tham quan bằng hai loại xe, loại 12 chỗ và loại 7 chỗ ngồi Biết số ngời đi vừa đủ số ghế ngồi Hỏi mỗi loại có mấy xe?
-Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 6 lớp 6
Câu 1: ( 5 điểm)
a) (2điểm) A =
9
1 27 21
9 7 ) 4 3 3 2 1 ( 27 21
) 4 3 3 2 1 ( 9 7 108 63 81 42 27 21
36 21 27 14 9 7
b) (1,5điểm)
1400
10
260
10 140
10
56
10
700
5
130
5 70
5 28
5
Trang 2=
28 25
5
13 10
5 10 7
5 7
.
4
5
3 5
) 28 25
3
13 10
3 10
.
7
3
7
.
4
3
= .(
3
5
14
5 28
6 3
5 ) 28
1 4
1 (
3
5 ) 28
1 25
1
13
1 10
1 10
1 7
1 7
1 4
1
c)(1,5điểm) Ta có 2009 2010 2009 2009= 2009 2009 ( 2009 1 ) 2009 2009 2010
2010 2010 2010 2009 2010
Vì 2009 2009 2010 2009 2009 2010 2009 2009 2010 2010
Câu 2 (3điểm)
a) (2điểm)
3 5
6 2 3
5
6 ) 3 5 ( 2
n n
n A
3 5
6
n Z
b)(1điểm)
3 5
6 2 3
5
6 ) 3 5 ( 2
n n
n A
A có giá trị lớn nhất
3 5
6
n có GTLN 5n – 3 là số nguyên dơng nhỏ nhất
5n – 3 = 2 5n = 5 n = 1 Khi đó GTLN của A là 5
Câu 3: (6 điểm)
a) (2 điểm)
5 ) 11 9
2 9 7
2 7 5
2 5 3
2 ( 2
13 : 11
780 3
2 5 ) 99
13 63
13 35
13 15
13
(
:
11
780
3
2
x
60 40
3
2 5 45 3
2 5 ) 33
8 2
13 ( : 11
780 3
2 5 ) 11
1 3
1 ( 2
13 :
11
780
3
2
b) (2 điểm) Xét hiệu 5(10a + b) – (a + 5b) = 49a 7 mà a + 5b 7 => 5(10a + b)
7
do (5;7) = 1 => 10a + b 7 (đpcm)
c) (2 điểm) Gọi ƯCLN(2n + 1; 6n +5) = d = > 6n +5 d và 2n + 1d =>
6n + 5 – 3(2n + 1) d => 2 d Do d là ớc của số lẻ => d = 1 => (2n + 1; 6n +5) = 1
Câu 4: (3 điểm) y C
a) (2 điểm)Vì góc xMC và góc CMA kề bù =>
gócxMC = 180 60 120
Vì My là tia phân giác của góc xMC
=> góc xMy = 60 mà góc góc xMy kề bù với T
góc AMy => góc AMy = 180 60 120
60
x M A
b)( 1 điểm)
Do MC là ti phân giác của góc AMy MT là tia phân giác của yMx
mà góc AMy và góc yMx là hai góc kề bù => My năm giữa 2 tia MC và MT
Trang 3 gócCMT = góc CMY + góc yMT = .
2
1 góc AMy +
2
1 góc yMx =
2 1
.120 +
2
1 60 = 90
Câu 5: (3 điểm) (Mỗi câu đúng cho 1,5 điểm)
a) Ta có
2500
1 1
25
1 1 16
1 1 9
1 1 4
1
S
50
1
5
1 4
1 3
1 2
1 ( 1
1 1
1 2 2 2 2 2
49 s/h B
= 49 – B
50
1 1 50 49
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1 50
1
4
1 3
1
2
1
2 2
2
Ta lại có
B =
3
1 147
49 102
49 51
1 2
1 51 50
1
5 4
1 4 3
1 3 2
1 50
1
4
1
3
1
2
1
2 2
2
=> 1
3
1
B 48 < S < 49 => (đpcm)
b) Gọi x là loại số xe 12 chỗ
y là loại số xe loại 7 chỗ ( ĐK x , y N* )
Ta có 12x + 7y = 64 (1)
Ta thấy 12x 4 , 64 4 => 7y 4 mà (4;7) =1 => y 4.(2)
Từ (1) => 7y < 64 => y < 10 Kết hợp với (2) = > y = 4; 8
Với y = 4 => 12x +28 = 64 => x = 3 (TM)
Với y = 8 => 12x + 56 = 64 => 12x = 8 Không thoả mãn
Vậy có 3 xe loại 12 chỗ và 4 xe loại 7 chỗ
đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 6 lớp 7
( Thời gian làm bài 120 phút)
Câu1.
a.Tính:
0
3 1 1 2 14
b So sánh: A 2 6 12 20 30 42 và B 24
Câu 2:
c Cho
a b c a b c a b c
Chứng minh rằng:
x y z x y z x y z
(Với abc 0và các mẫu khác o)
Trang 4b Cho hàm số: f x xác đinh với moi giá tri của x R Biết rằng với mọi x 0ta
2
x
Tính f 2
Câu 3
a Tìm x biết:
x 5x1 x 5x11
b Tìm tất cả các giá tri nguyên dơng của x và y sao cho:
5
x y
Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 5.
Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lần lợt lấy 2 điểm M và N sao cho BM=MN=NC Gọi H là trung điểm BC
a Chứng minh: AM=AN và AHBC
b Chứng minh MAN BAM
c Kẻ đờng cao BK Biết AK= 7cm; AB=9cm Tính độ dài BC
-Cõu 1(4đ)
1.a(2đ)
1.b(2đ)
Cõu 2(4đ)
2.a(2đ)
Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán – lớp 6 lớp 7
Ta cú:
1 5 7 9 9
1 8
1 16
5 1 7 9 3
1 8
1 2
1 : 8
5 25
14 7 9 3 8
1 2
1 : 2
2
0 2
3
Ta cú:
42 30 20 12 6
A
B
24 5 , 6 5 , 5 5 , 4 5 , 3 5 2 5 , 1
25 , 40 25 , 30 25 , 20 25 , 12 25 , 6 25 , 2
Vậy A<B
Từ giả thiết suy ra:
0,5 0,5
0,5 0,5
0,25 0,25
Trang 5Câu 3(4đ)
3.a(2đ)
3.b(2đ)
Câu4(2đ)
C©u 5(6®)
3 9
4 4 4
4 4 4 8
4 4
8 4 4
2 9
2 4
4 2
2 4 2 2
1 9
2 4
4 2 2 4
2 2
c
z y x c b a
z c
b a
y c
b a x
b
z y x c b a
z c
b a
y c
b a x
a
z y x c b a
z c
b a
y c
b a x
Từ (1), (2), (3) ta có:
c
z y x b
z y x a
z y x
9
4 4 9
2 9
Hay x a y z x b y z x c y z
9 2
9 2
9
Vậy x a y z x b y z x c y z
Với x=2 ta có: 4
2
1 2
f f
Với
2
1
4
1 2 2 2
1
f
Giải ra tìm được
6
7
2
f
1 5
0 5
0 5 1
5
0 5 5
5
5 5
10 1
10 1
10 1
1
11 1
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
Giải ra tìm được x=4 hoặc x=5 hoặc x=6.
Từ
5 5 25
25 5 5 5
0 5 5 5
1 1 1
y x
y y
x
y x xy
y x
Vì x, y nguyên dương x 5 ;y 5 thuộc ước của 25.
Giải ra tìm được các cặp giá trị x; y nguyên dương thoả mãn điều kiện bài toán là:
(x=30,y=6); (x=10, y=10);(x=6, y=30).
Áp dụng tính chất a a và a b ab , dấu “=” xảy ra khi ab 0 và
0
a dấu “=” xảy ra khi a=0 Ta có:
3 2011
2008 2011
2008 2011
2008
x x x x x x
Dấu “=” xảy ra khi 2008 x 2011
và x 2009 0 dấu “=” xảy ra khi x=2009.
0
2010
y dấu “=” xảy ra khi 2010.
0,25
0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 1 0,5
0,5 1
0,5 0,5 1
0,5 0,5
0,5 0,5 1® 1®
Trang 6H M
B
A
C N
K
5.a(2đ)
5.b(2đ)
5.c(2đ)
A 3 2008 2011 dấu “=” xảy ra khi x=2009 và y=2010.
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2011 khi x=2009 ; y=2010.
-Chứng minh đựơc ABM=ACN(cgc) AM=AN
- Chứng minh đựơc ABH=ACH(cgc) AHBAHC900 AH BC
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA Chứng minh đợc AMN DMB cgc MANBDM và AM=AN=BD -Chứng minh đợc BA>AM BA>BD
-Xét BAD có BA>BD BDA BAD hay MAN BAM
Vì AK 0 A 900 nên chỉ có hai trờng hợp xảy ra TH1:
-BAC nhọn k nằm giữa hai điểm A,C
Mà AC=AB AC9cm KCAC AK 2
-AKB vuông tại K BK2 AB2 AK2 32
-AKC vuông tại K nên ta có BC= BK2KC2 6cm
TH2:
-BAC tù A nằm giữa hai điểm K,C KC=AK+AC=16cm
-ABK vuông tại K BK2 AB2 AK2 32
-BKC vuông tai K BC BK2KC2 288 Vậy BC=6cm hoặc BC= 288cm
1đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Trang 7đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 6 lớp 8
( Thời gian làm bài 120 phút)
-Câu1: Cho biểu thức: A =
x x
x x
x x
2 1 : 1
5 1
2 1
1
a) Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Câu2: a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
(3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3
b) áp dụng giải phơng trình:
(3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3
Câu3: a) Giải phơng trình: 2x 1 = 2x + 1
b) Cho số thực x thoã mãn:
2
1 1
x x x
Tính giá trị của biểu thức: B =
1 2
1 18 3
2 3
3 4
x x x
x x
x
Câu4: Cho x, y là các số thực không âm thoã mãn:
x2 – 2xy + x - 2y 0 Tính giá trị lớn nhất của biẻu thức:
M = x2 – 5y2 + 3x
Câu5: Cho tam giác ABC vuông tại A( AC > AB), đờng cao AH Trên tia HC lấy
HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh: AE = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE Tính góc AHM
-Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán – lớp 6 lớp 8 Câu1: (3đ)
a) (2đ) +)Điều kiện:
2 1
x x
+) Quy đồng mẫu số và biến đổi đợc: A =
x
x
2 1
2
b) (1đ) Ta có A =
x
x
2 1
2
= -1 +
x
2 1
1
Suy ra A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 1 – 2x = 1 x = 0 hoặc x = 1
Đối chiếu ĐK ban đầu x = 0 và x = 1 không thoã mãn Vậy không có giá trị x nào thoã mãn yêu cầu bài toán
Câu2:(4đ)
a) (2đ) Chứng minh: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
áp dụng ta có: (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3
= (3x – 2)3 + ( - x + 3)3 + ( - 2x - 1)3
= 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1)
Trang 8b) (2đ) Ta có: (3x – 2) – (x – 3) = (2x + 1)
(3x – 2)3 – (x – 3)3 - (2x + 1)3 = 0
3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1) = 0
x =
3
2
hoặc x = 3 hoặc x = -
2 1
Câu3:(4đ)
a)(2đ) +) Với x 0: Phơng trình đã cho trở thành
2x 1 = 2x + 1 Giải đợc x = 0
+) Với x 0: Phơng trình đã cho trở thành
2x 1 = 2x + 1 Giải đợc x
2
1
Suy ra nghiệm của phơng trình đã cho là: 0
2
1
x b)(2đ) Từ giả thiết suy ra x2 – x + 1 = 2x hay x2 = 3x – 1
Suy ra x0 và x3 = (3x – 1)x = 3x2 – x = 8x – 3
x4 = (8x – 3)x = 8x2 – 3x = 21x -8
Do đó B =
1 2
1 18 3
2 3
3 4
x x x
x x
x
= 218 83 32((83 31)) 18 11153 153
x
x x
x x
x x
x
=5
Câu4: (3đ) Ta có x2 – 2xy + x - 2y =(x – 2y)(x + 1) 0 x 2 y(vì x 0 nên
x + 1 > 0)
Do đó M = x2 – 5y2 + 3x 4y2 – 5y2 + 6y = -y2 + 6y = -(y – 3)2 + 9 9
M = 9 khi và chỉ khi y = 3, x = 6
Vậy giá trị lớn nhất của M là 9
Câu5: (6đ)
a)(3đ) Ta có CDE ~ CAB(hai tam giác vuông có góc C chung)
CAD CA
CD
CB
CE
1 1 1
A
ABE
vuông cân AE = AB(đfcm)
b)(3đ) Từ ABE vuông cân kết hợp với GT suy ra AM BE.Kéo dài AM cắt BC tại K Ta có: AHK ~ BMK AKB
MK
HK BK
AK
45
MHK BAK (vì ABE vuông cân nên AM vừa lầ đờng trung tuyến vừa là đờng phân giác suy ra BAK 45 ) AHM 45
Trang 9C
E
D K
M
1
1
C A
1 1