đề thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán lớp 6 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: a) Rút gọn A = 108.6381.4227.21 36.2127.149.7 ++ ++ b) Tính B = 1400 10 260 10 140 10 56 10 ++++ c) So sánh 20092010 20092009 + với 2010 2010 Câu 2: Cho phân số A = 35 10 n n ( n Z ) a) Tìm n để A có giá trị nguyên b) Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó? Câu3: a) Tìm x Z biết 5 999999 131313 636363 131313 353535 131313 151515 131313 : 11 10 70. 3 2 = +++x b) Chứng minh rằng nếu a, b N và a + 5b 7 thì 10a + b cũng chia hết cho 7 c) Chứng tỏ rằng 6n + 5 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau Câu 4: Cho góc AMC = 60 . Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx, MT là tia phân giác của góc xMy a) Tính AMy b) Chứng minh góc CMT = 90 Câu 5: a) Cho S = 2500 2499 25 24 16 15 9 8 4 3 +++++ Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên b) Có 64 ngời đi tham quan bằng hai loại xe, loại 12 chỗ và loại 7 chỗ ngồi . Biết số ngời đi vừa đủ số ghế ngồi . Hỏi mỗi loại có mấy xe? Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán lớp 6 Câu 1: ( 5 điểm) a) (2điểm) A = 9 1 27.21 9.7 )4.33.21(27.21 )4.33.21(9.7 108.6381.4227.21 36.2127.149.7 == ++ ++ = ++ ++ b) (1,5điểm) B = =++++ 1400 10 260 10 140 10 56 10 700 5 130 5 70 5 28 5 ++++ = 28.25 5 13.10 5 10.7 5 7.4 5 ++++ = .( 3 5 ) 28.25 3 13.10 3 10.7 3 7.4 3 ++++ = .( 3 5 14 5 28 6 . 3 5 ) 28 1 4 1 .( 3 5 ) 28 1 25 1 13 1 10 1 10 1 7 1 7 1 4 1 ===++++ c)(1,5điểm) Ta có 20092010 20092009 + = 2010.2009)12009(2009 20092009 =+ 2010.20102010 20092010 = Vì 20102009201020092009 20102009200920102009 <+=>< Câu 2 (3điểm) a) (2điểm) 35 6 2 35 6)35(2 += + = nn n A A Z 35 35 6 nZ n Ư(6) = 1,-1;2;-2;3;-3;6;-6 5n - 3 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 5n 4 2 5 1 6 0 9 -3 n 1 0 b)(1điểm) 35 6 2 35 6)35(2 += + = nn n A A có giá trị lớn nhất 35 6 n có GTLN 5n 3 là số nguyên dơng nhỏ nhất 5n 3 = 2 5n = 5 n = 1 Khi đó GTLN của A là 5 Câu 3: (6 điểm) a) (2 điểm) 5) 11.9 2 9.7 2 7.5 2 5.3 2 ( 2 13 : 11 780 3 2 5) 99 13 63 13 35 13 15 13 (: 11 780 3 2 = +++=+++ xx 6040 3 2 545 3 2 5) 33 8 . 2 13 (: 11 780 3 2 5) 11 1 3 1 ( 2 13 : 11 780 3 2 ===== xxxxx b) (2 điểm) Xét hiệu 5(10a + b) (a + 5b) = 49a 7 mà a + 5b 7 => 5(10a + b) 7 do (5;7) = 1 => 10a + b 7 (đpcm) c) (2 điểm) Gọi ƯCLN(2n + 1; 6n +5) = d = > 6n +5 d và 2n + 1 d => 6n + 5 3(2n + 1) d => 2 d Do d là ớc của số lẻ => d = 1 => (2n + 1; 6n +5) = 1 Câu 4: (3 điểm) y C a) (2 điểm)Vì góc xMC và góc CMA kề bù => gócxMC = = 12060180 Vì My là tia phân giác của góc xMC => góc xMy = 60 mà góc góc xMy kề bù với T góc AMy => góc AMy = = 12060180 60 x M A b)( 1 điểm) Do MC là ti phân giác của góc AMy. MT là tia phân giác của yMx mà góc AMy và góc yMx là hai góc kề bù => My năm giữa 2 tia MC và MT gócCMT = góc CMY + góc yMT = . 2 1 góc AMy + 2 1 góc yMx = 2 1 .120 + 2 1 .60 = 90 Câu 5: (3 điểm) (Mỗi câu đúng cho 1,5 điểm) a) Ta có 2500 1 1 25 1 1 16 1 1 9 1 1 4 1 1 +++++=S ) 50 1 5 1 4 1 3 1 2 1 (1 111 22222 +++++++++= 49 s/h B = 49 B B = 1 50 1 1 50.49 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 50 1 4 1 3 1 2 1 2222 <=++++<+++ Ta lại có B = 3 1 147 49 102 49 51 1 2 1 51.50 1 5.4 1 4.3 1 3.2 1 50 1 4 1 3 1 2 1 2222 =>==++++>+++ => << 1 3 1 B 48 < S < 49 => (đpcm) b) Gọi x là loại số xe 12 chỗ y là loại số xe loại 7 chỗ ( ĐK x , y * N ) Ta có 12x + 7y = 64 (1) Ta thấy 12x 4 , 64 4 => 7y 4 mà (4;7) =1 => y 4.(2) Từ (1) => 7y < 64 => y < 10 Kết hợp với (2) = > y = 4; 8 Với y = 4 => 12x +28 = 64 => x = 3 (TM) Với y = 8 => 12x + 56 = 64 => 12x = 8 Không thoả mãn Vậy có 3 xe loại 12 chỗ và 4 xe loại 7 chỗ đề thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu1. a.Tính: 0 3 2 1 1 14 2 : . 3 .9 7 5 2 8 25 + + ữ ữ b. So sánh: 2 6 12 20 30 42A = + + + + + và 24B = Câu 2: c. Cho 2 2 4 4 x y z a b c a b c a b c = = + + + + . Chứng minh rằng: 2 2 4 4 a b c x y z x y z x y z = = + + + + (Với 0abc và các mẫu khác o) b. Cho hàm số: ( ) f x xác đinh với moi giá tri của x R . Biết rằng với mọi 0x ta đều có ( ) 2 1 2f x f x x + = ữ . Tính ( ) 2f . Câu 3. a. Tìm x biết: ( ) ( ) 1 11 5 5 x x x x + + = b. Tìm tất cả các giá tri nguyên dơng của x và y sao cho: 1 1 1 5x y + = Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2008 2009 2010 2011 2008A x x y x= + + + + Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lợt lấy 2 điểm M và N sao cho BM=MN=NC. Gọi H là trung điểm BC. a. Chứng minh: AM=AN và AH BC b. Chứng minh MAN BAM > c. Kẻ đờng cao BK. Biết AK= 7cm; AB=9cm. Tính độ dài BC. Cõu 1(4) 1.a(2) 1.b(2) Cõu 2(4) 2.a(2) Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán lớp 7 Ta cú: 1579. 9 1 8 1 .16 51.79. 3 1 8 1 . 2 1 :8 5 25 14 79.3 8 1 . 2 1 :2 2 0 23 =++= ++ = + + Ta cú: 4230201262 +++++= A B==+++++= +++++< 245,65,55,45,35.25,1 25,4025,3025,2025,1225,625,2 Vy A<B T gi thit suy ra: 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 2.b(2đ) Câu 3(4đ) 3.a(2đ) 3.b(2đ) Câu4(2đ) C©u 5(6®) ( ) ( ) ( ) 3 9 44 44448 4 484 4 2 9 2 442242 2 1 9 2 44224 2 2 c zyx cba z cba y cba x b zyx cba z cba y cba x a zyx cba z cba y cba x +− = +− = −+ = ++ −+ = +− = −+ = ++ ++ = +− = −+ = ++ Từ (1), (2), (3) ta có: c zyx b zyx a zyx 9 44 9 2 9 2 +− = −+ = ++ Hay zyx c zyx b zyx a +− = −+ = ++ 44 9 2 9 2 9 Vậy zyx c zyx b zyx a +− = −+ = ++ 4422 Với x=2 ta có: ( ) 4 2 1 22 = + ff Với 2 1 =x ta có ( ) 4 1 22 2 1 =+ ff Giải ra tìm được ( ) 6 7 2 −=f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) =− =− ⇔ =−−−⇔ =−−−−⇔ −=− + + ++ =+ 15 05 0515 0555 55 10 1 101 1011 111 x x xx xxx xx x x xx xx Giải ra tìm được x=4 hoặc x=5 hoặc x=6. Từ ( ) ( ) ( )( ) 2555 25555 055 5 111 =−−⇔ =−−−⇔ =−−⇒ =+ yx yyx yxxy yx Vì x, y nguyên dương 5;5 −−⇒ yx thuộc ước của 25. Giải ra tìm được các cặp giá trị x; y nguyên dương thoả mãn điều kiện bài toán là: (x=30,y=6); (x=10, y=10);(x=6, y=30). Áp dụng tính chất aa −= và baba +≥+ , dấu “=” xảy ra khi 0 ≥ ab và 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 1 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 1® 1® H M B A C N K 5.a(2đ) 5.b(2đ) 5.c(2đ) 0a du = xy ra khi a=0. Ta cú: 3201120082011200820112008 =++=+ xxxxxx Du = xy ra khi 20112008 x v 02009 x du = xy ra khi x=2009. 02010 y du = xy ra khi 2010. 201120083 =+A du = xy ra khi x=2009 v y=2010. Vy giỏ tr nh nht ca A l 2011 khi x=2009 ; y=2010. -Chứng minh đựơc ABM= ACN(cgc) AM=AN - Chứng minh đựơc ABH= ACH(cgc) 0 90AHB AHC AH BC = = Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA Chứng minh đợc ( ) AMN DMB cgc MAN BDM = = và AM=AN=BD -Chứng minh đợc BA>AM BA>BD -Xét BAD có BA>BD BDA BAD > hay MAN BAM > Vì AK 0 0 90A nên chỉ có hai trờng hợp xảy ra TH1: - BAC nhọn k nằm giữa hai điểm A,C Mà AC=AB 9AC cm = 2KC AC AK = = - AKB vuông tại K 2 2 2 32BK AB AK = = - AKC vuông tại K nên ta có BC= 2 2 6BK KC cm+ = TH2: - BAC tù A nằm giữa hai điểm K,C KC=AK+AC=16cm - ABK vuông tại K 2 2 2 32BK AB AK = = - BKC vuông tai K 2 2 288BC BK KC = + = Vậy BC=6cm hoặc BC= 288cm 1đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ đề thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu1: Cho biểu thức: A = xx x x x xx + + 32 21 : 1 5 1 2 1 1 a) Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A. b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Câu2: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (3x 2) 3 (x 3) 3 (2x + 1) 3 b) áp dụng giải phơng trình: (3x 2) 3 (x 3) 3 = (2x + 1) 3 Câu3: a) Giải phơng trình: 12 x = 2x + 1 b) Cho số thực x thoã mãn: 2 1 1 2 = + xx x Tính giá trị của biểu thức: B = 12 1183 23 34 ++ + xxx xxx Câu4: Cho x, y là các số thực không âm thoã mãn: x 2 2xy + x - 2y 0. Tính giá trị lớn nhất của biẻu thức: M = x 2 5y 2 + 3x Câu5: Cho tam giác ABC vuông tại A( AC > AB), đờng cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh: AE = AB b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM. Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán lớp 8 Câu1: (3đ) a) (2đ) +)Điều kiện: 2 1 0 1 x x x +) Quy đồng mẫu số và biến đổi đợc: A = x x 21 2 b) (1đ) Ta có A = x x 21 2 = -1 + x21 1 . Suy ra A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 1 2x = 1 x = 0 hoặc x = 1. Đối chiếu ĐK ban đầu x = 0 và x = 1 không thoã mãn. Vậy không có giá trị x nào thoã mãn yêu cầu bài toán. Câu2:(4đ) a) (2đ) Chứng minh: Nếu a + b + c = 0 thì a 3 + b 3 + c 3 = 3abc áp dụng ta có: (3x 2) 3 (x 3) 3 (2x + 1) 3 = (3x 2) 3 + ( - x + 3) 3 + ( - 2x - 1) 3 = 3(3x 2)( - x + 3)( - 2x 1). b) (2đ) Ta có: (3x 2) 3 (x 3) 3 = (2x + 1) 3 (3x 2) 3 (x 3) 3 - (2x + 1) 3 = 0 3(3x 2)( - x + 3)( - 2x 1) = 0 x = 3 2 hoặc x = 3 hoặc x = - 2 1 Câu3:(4đ) a)(2đ) +) Với x 0: Phơng trình đã cho trở thành 12 x = 2x + 1 . Giải đợc x = 0 +) Với x < 0: Phơng trình đã cho trở thành 12 +x = 2x + 1. Giải đợc x 2 1 Suy ra nghiệm của phơng trình đã cho là: 0 2 1 x b)(2đ) Từ giả thiết suy ra x 2 x + 1 = 2x hay x 2 = 3x 1. Suy ra x 0 và x 3 = (3x 1)x = 3x 2 x = 8x 3 x 4 = (8x 3)x = 8x 2 3x = 21x -8 Do đó B = 12 1183 23 34 ++ + xxx xxx = 3 15 3 15 1)13(238 118)38(3821 == ++ + x x xxx xxx =5 Câu4: (3đ) Ta có x 2 2xy + x - 2y =(x 2y)(x + 1) 0 (2yx vì x 0 nên x + 1 > 0). Do đó M = x 2 5y 2 + 3x 4y 2 5y 2 + 6y = -y 2 + 6y = -(y 3) 2 + 9 9. M = 9 khi và chỉ khi y = 3, x = 6. Vậy giá trị lớn nhất của M là 9. Câu5: (6đ) a)(3đ) Ta có CDE ~ CAB(hai tam giác vuông có góc C chung) CAD CA CD CB CE ∆⇒=⇒ ~ °==⇒=⇒∆ 45 ˆˆˆ ˆ 1111 DEBACBE (V× ∆ AHD vu«ng c©n) ABE∆⇒ vu«ng c©n ⇒ AE = AB(®fcm). b)(3®) Tõ ∆ ABE vu«ng c©n kÕt hîp víi GT suy ra AM ⊥ BE.KÐo dµi AM c¾t BC t¹i K. Ta cã: ∆ AHK ~ ∆ BMK ⇒ AKB MK HK BK AK ∆⇒= ~ ∆ HKM 45=∠=∠⇒ BAKMHK (v× ∆ ABE vu«ng c©n nªn AM võa lÇ ®êng trung tuyÕn võa lµ ®êng ph©n gi¸c suy ra 45=∠BAK ) 45=∠⇒ AHM A C B H E D K M 1 1 C A 1 1 . đề thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán lớp 6 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: a) Rút gọn A. loại 7 chỗ ngồi . Biết số ngời đi vừa đủ số ghế ngồi . Hỏi mỗi loại có mấy xe? Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán lớp 6 Câu 1: ( 5 điểm) a) (2điểm) A = 9 1 27.21 9.7 )4.33.21(27.21 )4.33.21(9.7 108.6381.4227.21 36.2127.149.7 == ++ ++ = ++ ++ b). 12x + 56 = 64 => 12x = 8 Không thoả mãn Vậy có 3 xe loại 12 chỗ và 4 xe loại 7 chỗ đề thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu1. a.Tính: 0 3 2 1