Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn Tuyển chọn một số bài hình học 11 ôn thi kì 2 Cõu 1:(2, 5 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD, ỏy tam giỏc ABC vuụng cõn ti B v SA (ABC) bit SA = a v BC = a a. Chng minh: SB CB b. Xỏc nh gúc gia SC v (SAB) c. Tớnh khong cỏch t A n mp(SBC) H C B A S 0,25 a SA (ABC) SA BC (1) Ta cú: tam giỏc ABC vuụng ti B AB BC (2) T (1) v (2) BC (SAB) m SB (SAB) nờn BC SB 0,75 b BC (SAB) nờn SB l hỡnh chiu ca SC lờn (SAB) ^ ^ ^ (SC,(SAB)) ( , ) = = SC SB BSC ^ BSC SB 2 os SC 3 = = c 0,75 c K AH SB,H SB Ta cú : BC (SAB) BC AH SB AH AH (SBC) BC,SB (SBC);BC SB=B Khi ú AH l khong cỏch t A n (SBC) Tam giỏc SAB vuụng cõn ti A. SA = AB = a SB a 2 = AH SB H l trung im ca SB 1 2 AH = SB = a 2 2 0,75 Cõu 2.(2) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, SA(ABCD). Gi I l trung im ca cnh SC a) Chng minh AI BD b) (BID) (ABCD) c) Tớnh din tớch tam giỏc BID bit SA = AB = a. O I S D C B A V hỡnh 0,5 a) Do ABCD l hỡnh vuụng nờn BD AC, mt khỏc SA (ABCD) nờn 0,5 1 Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn SA BD, suy ra BD (ASC). Vy AI BD. b) Gi O l giao im ca AC v BD khi ú O l trung im ca AC nờn OI l ng trung bỡnh ca tam giỏc SAC, ta cú OI //SA. Theo gi thit SA (ABCD) do ú OI (ABCD) suy ra (BID) (ABCD). 0,25 0,25 c) 0 2 ; 2 2 2 sin 45 1 1 2 . . . . 2 2 2 2 4 BID SA a a OI BD a a a S OI BD a = = = = = = = V 0,25 0,25 Cõu 3 (2 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD). a. Chng minh cỏc mt bờn ca hỡnh chúp l cỏc tam giỏc vuụng. b. Gi M, N ln lt l trung im SB, SD. Chng minh MN BDP v ( ) MN SAC . a Chng minh c SAB, SAD vuụng ti A (0,25 im) Chng minh c SBC vuụng ti B (0,25 im) Chng minh c SDC vuụng ti D (0,25 im) 0,50 0,25 0,25 0,25 b Chng minh c MN BDP (0,25 im) M ( ) ( ) ( ) ( ) hai đ#ờng chéo của hình vuông vì BD AC BD SAC BD SA SA ABCD Nờn ( ) MN SAC (0,5 im) 0,25 0,25 0,25 Câu 4) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht, tõm O v AB = SA = a, BC = 3a , SA (ABCD) a. Chng minh cỏc mt bờn ca hỡnh chúp l nhng tam giỏc vuụng. b. Gi I l trung im ca SC. Chng minh IO (ABCD) c. Tớnh gúc gia SC v (ABCD). Giải: a) Cm cỏc mt bờn ca hỡnh chúp l nhng tam giỏc vuụng * Vì ( ) ;SA ABCD SA AB SA AD nên các tam giác SAB,SAD vuông tại A *Xét tam giác SBC có BC AB BC SB BC SA . vậy tam giác SBC vuông tại B * Xét tam giác SDC có DC AD DC SD DC SA .vậy tam giác SDC vuông tại D b) Ta có / / ( ) ( ) IO SA IO ABCD SA ABCD c) Vì SA (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC xuống (ABCD) vây (SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA. Tam giác vuông SAC có tanSCA=SA/AC=a/2a=1/2 ( AC 2 =AB 2 +BC 2 =a 2 +3a 2 =4.a 2 nên AC=2 ) 2 Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn Câu 5) Cho hỡn chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng tõm O cnh bng 1 v cỏc cnh bờn bng nhau v bng 2 . a. Chng minh (SBD) (SAC) b. Tớnh di ng cao ca hỡnh chúp. c. Tớnh gúc gia cnh bờn v mt ỏy. Giải: a) ( ) ( ) ( ) BD AC BD SAC SBD SAC BD SO (Tam giác cân SBD có SO là trung tuyến nên SO vuông góc với BD) b) ( ) SO BD SO ABCD SO AC vậy SO là đờng cao của hình chóp tam giác SOD vuông tại O có SO 2 =SD 2 -OD 2 mà BD 2 =BC 2 +CD 2 =1+1=2 nên 2 2 2 BD OD= = vậy có SO 2 =SD 2 -OD 2 =2-2/4=3/2 vậy 3 6 2 2 SO = = c) Vì SO (ABCD) nên BO là hình chiếu vuông góc của SB xuống (ABCD (SB,(ABCD))=(SB,BO)=SBO cosSBO= BO SB = 2 1 : 2 2 2 = Vậy (SB,(ABCD))=60 0 Câu 6) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng tõm ti A, SA = AB = AC = a SA ỏy a. Gi I l trung im BC. Chng minh BC (SAI) b. Tớnh SI c. Tớnh gúc gia (SBC) v mt ỏy. Câu 7) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng, tõm O v SA (ABCD) . Gi H, K ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn SB, SD. a. Chng minh BC (SAB), BD (SAC) b. Chng minh SC (AHK) giải: a) ( ) BC AB BC SAB BC SA Tơng tự ( ) BD AC BD SAC BD SA b) Chng minh SC (AHK) * Chng minh AH SC ( ) AH SB AH SBC AH SC AH BC ( Vì ( ) BC AB BC SAB BC AH BC SA ) * Chng minh AK SC ( ) AK SD AK SCD AK SC AK DC Từ Đó ( ) AH SC SC AHK AK SC câu 8) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi, tõm O v SA = SC, SB = SD. a. Chng minh SO (ABCD) 3 Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn b. Gi I, K ln lt l trung im ca AB v BC. Chng minh IK SD Giải: a) tam giác SAC cân tại S có trung tuyến AC nên SO AC tam giác SBD cân tại S có trung tuyến BD nên SO BD vậy SO (ABCD) b) / /IK AC IK BD AC BD (1) Mà SO (ABCD) nên SO IK (2) Từ (1) và (2) suy ra IK (SBD) nên IK SD câu 9) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, tõm O, SA = a v SA (ABCD) . a. Tớnh khong cỏch t A n (SBD). b. Chng minh (SBC) (SAB) c. Tớnh khong cỏch t C n (SBD). Giải: a) Từ A kẻ AH vuông góc với SO tại H thì H thuộc (SBD) ta có ( ) BD AC BD SAC BD AH BD SA VậY ( ) AH SO AH SBD AH BD hay d(A,(SBD))=AH xét tam giác vuông SAO có 2 2 2 1 1 1 AH SA AO = + (1) tính 2 2 2 2 2 2 2 a AC AB BC a a a AO= + = + = = thay vào (1) có 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 ( ) 2 2 a AH SA AO a a a a = + = + = + = . Vậy d(A,(SBD))=AH= 3 3 3 a a = Câu 10 : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA (ABCD), t giỏc ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA = a 2 . gọi I v K ln lt l trung im ca cỏc cnh CD v DA. 1) Chng minh BD (SAC) v BK SI 2) Xỏc nh gúc gia ng thng SC v (SAD); 3) Xỏc nh gúc gia hai ng thng AI v SC. Câu 11: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D.AB = 3a ; AD = DC = 2a . SA (ABCD) v SA = 4a. a) Chng minh rng: (SCD) (SAD) b) Tớnh gúc gia ng thng SC v mt phng (ABCD). c) Tớnh khong cỏch t im A n mt phng (SCD). giải: a) ( ) ( ) ( ) DC AD DC SAD SDC SAD DC SA b) Vì SA (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC xuống (ABCD) 4 Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn vậy (SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA và tanSCA= 4 2 2 2 SA a AC a = = Tính 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) 8 2 2AC AD DC a a a a= + = + = = c) Từ A kẻ AH vuông góc với SD tại H thì AH vuông góc với (SDC) vì ta có ( ) AH SD AH SDC AH DC hay d(A,(SCD))=AH xét tam giác vuông SAD có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 16 4 16AH SA AD a a a = + = + = . Vậy d(A,(SCD))=AH= 4 4 5 5 5 a a = câu 12. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a , SA vuụng gúc vi ỏy , SA = a 2 . a) Chng minh rng cỏc mt bờn hỡnh chúp l nhng tam giỏc vuụng. b) CMR (SAC) (SBD) . c) Tớnh gúc gia SC v mp ( SAB ) . d) Tớnh gúc gia hai mt phng ( SBD ) v ( ABCD ) . Giải: a) * Vì ( ) ;SA ABCD SA AB SA AD nên các tam giác SAB, SAD vuông tại A *Xét tam giác SBC có BC AB BC SB BC SA .vậy tam giác SBC vuông tại B * Xét tam giác SDC có DC AD DC SD DC SA . vậy tam giác SDC vuông tại D b) ( ) ( ) ( ) BD AC BD SAC SBD SAC BD SA c) Vì BC (SAB) nên SB là hình chiếu vuông góc của SC xuống (SAB) vậy (SC,(SAB))=(SC,SB)=BSC và tanBSC= 2 2 2 2 1 3 3 3 3 2 BC BC a a SB a SA AB a a = = = = = + + vậy (SC,(SAB))=(SC,SB)=60 0 d) ((SBD),(ABCD))=(AO,SO)=AOS tanAOS=SA/AO=2 Câu 13 .Cho t din OABC cú OA , OB , OC , ụi mt vuụng gúc v OA= OB = OC = a , I l trung im BC . a . CMR : ( OAI ) ( ABC ) . b. CMR : BC ( AOI ) . c . Tớnh gúc gia AB v mp ( AOI ) . Giải : a) Có tam giác OBC cân tại O nên OI BC mặt khác ( ) OA OB OA OBC OA BC OA OC vậy có ( ) ( ) ( ) BC OI BC OAI ABC OAI BC OA b) ( ) BC OI BC OAI BC OA c) Vì BC (OAI) nên AI là hình chiếu vuông góc của AB xuống (OAI) 5 Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn vậy (AB,(AOI))=(AB,AI)=BAI. Trong tam giác vuông ABI vuông tại I có sinBAI=BI/AB 2 2 2 2 2AB OA OB a a a= + = + = 2 2 2 2 2 2 2 a BC OC OB a a a BI= + = + = = Thay vào có sinBAI=BI/AB= 2 : 2 1/ 2 2 a a = vậy (AB,(AOI))=(AB,AI)=30 0 Câu 14:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA (ABCD) và SA=2a a) Chứng minh (SAC) (SBD) ; (SCD) (SAD) b) Tính góc giữa SD và (ABCD) ,SB và (sad) ; sb và (sac) c) xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của sd và bc ; ad cà sb ; sc và bd giải : Cõu 15: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, tõm O. Cnh SA = a v SA (ABCD). Gi E, F ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn cỏc cnh SB v SD. a) Chng minh BC (SAB), CD (SAD); b) Chng minh (AEF) (SAC); c) Tớnh tan vi l gúc gia cnh SC vi (ABCD). d) Tớnh khong cỏch d 1 t A n mt phng (SCD). e) Tớnh khong cỏch d 2 t B n mt phng (SAC). Giải: a) ( ) BC AB BC SAB BC SA ( ) CD AD CD SAD CD SA b) (1) (2) AE SB AE SC AE BC AF SD AF SC AF CD Từ (1) Và (2) Có ( ) ( ) ( ) SC AE SC AEF SCA AEF SC AF c) Vì SA (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC xuống (ABCD) vậy =(SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA vậy tan =tanSCA= 1 2 2 2 2 SA a AC a = = = d) ta chứng minh ( )AF SCD Thật vậy có ( ) AF SD AF SCD AF CD VậY d(A,(SCD))=d1=AF Có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 AF SA AD a a a = + = + = nên d(A,(SCD))=d1=AF= 2 2 2 2 2 a a a = = e) ( ) BD AC BD SAC BD SA VậY d(B,(SAC))=d2=BO= 2 2 a Cõu 16 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng ABCD cnh a, SA (ABCD), SA = a. 1) (SAB) (ABCD); 2) CD (SAD); 6 Tuyển chọn những bài hình hay lớp 11-Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn 3) Tớnh cỏc gúc [SB, (ABCD)]; [(SBD),(ABCD]. 4) Tớnh cỏc khong cỏch d[SA, BD]; d[BD, SC]. Giải: a) ( ) ( ) ( )SA ABCD SAB ABCD b) ( ) CD AD CD SAD CD SA c) (SB,(ABCD))=(SB,AB)=SBA=45 0 d) Có AO BD AO SA d(SA,BD)=AO= 2 2 a e) Từ O kẻ OH SC thì do ( )BD SAC BD OH vậy OH là đờng vuông góc chung của SC và BD vậy d(SC,BD)=OH= 2 a CU 17:T din S.ABC cú ABC u cnh a, SA (ABC), SA = 3 2 a .Gi I l trung im BC. a) Cmr (SBC) (SAI). b) Tớnh d[A,(SBC)]. c) Tớnh d[SA, BC]. Giải: a) ( ) ( ) ( ) BC AI BC SAI SBC SAI BC SA BC AI vì tam giác ABC đều có AI là trung tuyến b) Tớnh d[A,(SBC)]. Trong mp (SAI) kẻ AH vuông góc với SI tại H Vì ( )BC SAI BC AH Vậy ( ) ( ,( )) AH SI AH SBC d A SBC AH AH BC = Trong tam giác vuông SAI có 2 2 2 1 1 1 AH SA AI = + (*) Tam giác vuông AIC có 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) 2 4 2 a a a AI AC IC a AI= = = = Thay vào (*) có : 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 16 9 3 3 3 9 16 4 ( ) 2 4 a a AH a a AH SA AI a = + = + = = = c) AI SA AI BC AI là đờng vuông góc chung của SA và BC 3 ( , ) 2 a d SA BC AI= = 7 . d(A,(SBD))=AH xét tam giác vuông SAO có 2 2 2 1 1 1 AH SA AO = + (1) tính 2 2 2 2 2 2 2 a AC AB BC a a a AO= + = + = = thay vào (1) có 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 ( ) 2 2 a AH SA AO a a a a = + =. hình chóp tam giác SOD vuông tại O có SO 2 =SD 2 -OD 2 mà BD 2 =BC 2 +CD 2 =1+1 =2 nên 2 2 2 BD OD= = vậy có SO 2 =SD 2 -OD 2 =2- 2/4=3 /2 vậy 3 6 2 2 SO = = c) Vì SO (ABCD) nên BO là hình chiếu. bài hình hay lớp 11- Ôn thi kì 2 Gv:Đặng Thái Sơn vậy (AB,(AOI))=(AB,AI) =BAI. Trong tam giác vuông ABI vuông tại I có sinBAI=BI/AB 2 2 2 2 2AB OA OB a a a= + = + = 2 2 2 2 2 2 2 a BC OC OB a a