Tuyển chọn các bài hình hay và sát thực

CÁC BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 Bài 1: Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm M ở ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) . Lấy một điểm C trên cung nhỏ AB (C khác A và B). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AM, BM. a) Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh: DC E CBA . c) Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh: IK//AB. d) Xác nhận vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC 2 + CB 2 ) nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó khi OM = 2R. Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). 1/ Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. 2/ Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R 2 . 3/ Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O;R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. 4/ Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN. Bài 3: Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi S là diện tích tam giác ABC. a) Chúng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD và 4 AB BC CA S R  . c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh EFDM là tứ giác nội tiếp đường tròn. d) Chứngminh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + FD).R = 2 S. Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được b) Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC c) Xác định vị trí của điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn nhất và tính diện tích trong trường hợp này Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là 1 điểm trên đoạn CI (M khác C và I). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q. a. Chứng minh DM . AI = MP . IB b. Tính tỉ số MP MQ Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 14, BC = 50. Đường phân giác của góc ABC và đường trung trực của cạnh AC cắt nhau tại E. 1. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn này. 2. Tính BE. 3. Vẽ đường kính EF của đường tròn tâm (O). AE và BF cắt nhau tại P. Chứng minh các đường thẳng BE, PO, AF đồng quy. 4. Tính diện tích phần hình tròn tâm (O) nằm ngoài ngũ giác ABFCE Bài 7: Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE cắt BD tại H. a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp. b) Chứng minh rằng AD 2 = AH . AE. c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O). d) Cho góc BCD bằng α . Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O). Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A .Một đường tròn (O) đi qua B và C cắt các cạnh AB , AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E ( BC không là đường kính của đường tròn tâm O).Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K . 1.Chứng minh : ADE ACB 2.Chứng minh K là trung điểm của DE. 3.Trường hợp K là trung điểm của AH .Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH. Bài 9: Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho BC = R, trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt tia AD ở M. a) Chứng minh tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh tam giác ABM là tam giác cân . c) Tính tích AM.AD theo R . d) Cung BD của (O) chia tam giác ABM thành hai hần. Tính diện tích phần của tam giác ABM nằm ngoài (O) . Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C (C không trùng với A, B và CA > CB). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, tại C cắt nhau ở điểm D, kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC tại E. a) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp. b) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh 0 2 90BCF CFB . c) BD cắt CH tại M . Chứng minh EM//AB. Bài 11: Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và dây CD vuông góc với nhau (CA < CB). Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H ; EH cắt CA ở F. Chứng minh rằng : 1/ Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn. 2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng. 3/ HC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 12: Cho đường tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). 1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA=R 2 . 3) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. 4) Đường thẳng qua O, vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN. Bài 13: Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P ( P khác I) a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn này. b, Chứng minh CIP PBK . c, Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn nhất. Bài 14: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O; R). Đường tròn có đường kính AO cắt đường tròn (O; R) tại M và N. Đường thẳng d qua A cắt (O; R) tại B và C (d không đi qua O; điểm B nằm giữa hai điểm A và C).Gọi H là trung điểm của BC. 1).Chứng minh : AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đường tròn đường kính AO. 2) Đường thẳng qua B vuông góc với OM cắt MN ở D .Chứng minh rằng: a) AHN BDN . b) ng thng DH song song vi ng thng MC c) HB + HD > CD. Bi 15: Cho ng trũn (O) ng kớnh AB bng 2R. V tip tuyn d vi ng trũn (O) ti B. Gi C v D l hai im tựy ý trờn tip tuyn d sao cho B nm gia C v D. Cỏc tia AC v AD ct (O) ln lt ti E v F ( E, F A) a) Chng minh CB 2 = CA.CE. b) Chng minh CEFD ni tip ng trũn (O) c) Chng minh cỏc tớch AE.AC v AD. AF cựng bng mt hng s khụng i. Tip tuyn ca (O) k t A tip xỳc vi (O) ti T. Khi C hoc D di ng trờn d, thỡ im D chy trờn ng c nh no? Bi 16: Cho đ-ờng tròn (O;R), đ-ờng kính AB cố định và CD là một đ-ờng kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đ-ờng tròn (O;R) tại B cắt các đ-ờng thẳng AC và AD lần l-ợt tại E và F. 1) Chứng minh rằng BE.BF = 4R 2 . 2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đ-ợc đ-ờng tròn. 3) Gọi I là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đ-ờng thẳng cố định. Bi 17: Cho tam giỏc nhn ABC ni tip ng trũn (O). Cỏc ng cao BE v CF ca tam giỏc ABC ct nhau ti H v ct ng trũn (O) ln lt ti E v F (E khỏc B v F khỏc C). 1) Chng minh t giỏc BCEF l t giỏc ni tip. 2) Chng minh EF song song vi EF. 3) K OI vuụng gúc vi BC ( I BC ). ng thng vuụng gúc vi HI ti H ct ng thng AB ti M v ct ng thng AC ti N. Chng minh tam giỏc IMN cõn. Bi 18: Cho hỡnh vuụng ABCD cú di cnh bng a, M l im thay i trờn cnh BC (M khỏc B) v N l im thay i trờn cnh CD (N khỏc C) sao cho 0 MAN 45 . ng chộo BD ct AM v AN ln lt ti P v Q. a) Chng minh t giỏc ABMQ l t giỏc ni tip. b) Gi H l giao im ca MQ v NP. Chng minh AH vuụng gúc vi MN. c) Xỏc nh v trớ im M v im N tam giỏc AMN cú din tớch ln nht. Bi 19: Cho ng trũn (O;R) day cung BC c nh (BC<2 R) v im A di ng trờn cung ln BC sao cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn. Cỏc ng cao BD, CE ca tam giỏc ct nhau ti H. a) Chng minh t giỏc AEHD ni tip. b) Gi s 0 60BAC , hóy tớnh khong cỏch t tõm O n cnh BC theo R. c) Chng minh ng thng qua A v vuụng gúc vi DE luụn i qua mt im c nh. Bi 20: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc u nhn ni tip ng trũn tõm O, cỏc ng cao BM, CN ca tam giỏc ct nhau ti H. 1. Chng minh t giỏc BCMN l t giỏc ni tip trong mt ng trũn. 2. Kộo di AO ct ng trũn (O) ti K. Chng minh t giỏc BHCK l hỡnh bỡnh hnh. 3. Cho cnh BC c nh, A thay i trờn cung ln BC sao tam giỏc ABC luụn nhn. Xỏc nh v trớ im A din tớch tam giỏc BCH ln nht. Bi 21: Cho ng trũn (O;R) cú ng kớnh AB vuụng gúc vi dõy cung MN ti H (H nm gia O v B). Trờn tia MN ly im C nm ngoi ng trũn (O;R) sao cho on thng AC ct ng trũn (O;R) ti im K khỏc A, hai dõy MN v BK ct nhau E. 1. Chng minh rng AHEK l t giỏc ni tip v CAE ng dng vi CHK. 2. Qua N k ng thng vuụng gúc vi AC ct tia MK ti F. Chng minh NFK cõn. 3. Gi s KE = KC. Chng minh: OK//MN v KM 2 + KN 2 = 4R 2 . Bi 22: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A v AC > AB , D l mt im trờn cnh AC sao cho CD < AD.V ng trũn (D) tõm D v tip xỳc vi BC ti E.T B v tip tuyn th hai ca ng trũn (D) vi F l tip im khỏc E. a) Chng minh rng nm im A ,B , E , D , F cựng thuc mt ng trũn. b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng BF lần lượt cắt AM,AE,AD theo thứ tự tại các điểm N,K,I .Chứng minh IK AK = IF AF . Suy ra: IF.BK=IK.BF c) Chứng minh rằng tam giác ANF là tam giác cân. Bài 23: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ các đường cao BB` và CC` (B`  cạnh AC, C`  cạnh AB). Đường thẳng B`C` cắt đường tròn tâm O tại hai điểm M và N ( theo thứ tự N, C`, B`, M). a) Chứng minh tứ giác BC`B`C là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AM = AN. c) AM 2 = AC`.AB Bài 24: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ các đường cao BB` và CC` (B`  cạnh AC, C`  cạnh AB). Đường thẳng B`C` cắt đường tròn tâm O tại hai điểm M và N ( theo thứ tự N, C`, B`, M). a) Chứng minh tứ giác BC`B`C là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AM = AN. c) AM 2 = AC`.AB Bài 25: Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (  ) không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm M trên (  ) ( M nằm ngoài đường tròn tâm O và A nằm giữa B và M ), vẽ hai tiếp tuyến MC, MD của đường tròn (O) . (C, D  (O) ) Gọi I là trung điểm của AB, tia IO cắt MD tại K . a) Chứng minh năm điểm M, C, I, O, D cùng thuộc một đường tròn . b) Chứng minh : KD. KM = KO .KI c) Một đường thẳng đi qua O và song song với CD cắt các tia MC và MD lần lượt tại E và F . xác định vị trí của M trên (  ) sao cho diện tích  MEF đạt giá trị nhỏ nhất Bài 26: Một hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn Tâm O bán kính R . Một điểm M di động trên cung ABC , M không trùng với A,B và C, MD cắt AC tại H. 1) Chứng minh tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường tròn và DH.DM = 2R 2 . 2) Chứng minh tam giác MDC đồng dạng với tam giác MAH . 3) Hai tam giác MDC và MAH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M’. Xác định điểm M’. Khi đó M’D cắt AC tại H’. Đường thẳng qua M’ và vuông góc với AC cắt AC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C . Bài 27: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE). a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật. b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng. c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng dạng. Suy ra K là trung điểm của MP. d) Đặt AP = x. Tính MP theo R và x. Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. . CÁC BÀI HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 Bài 1: Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm M ở ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) . Lấy một điểm. đường thẳng đi qua O và song song với CD cắt các tia MC và MD lần lượt tại E và F . xác định vị trí của M trên (  ) sao cho diện tích  MEF đạt giá trị nhỏ nhất Bài 26: Một hình vuông ABCD nội. = AC`.AB Bài 25: Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (  ) không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm M trên (  ) ( M nằm ngoài đường tròn tâm O và A nằm giữa B và M ), vẽ