Chơng 6: Tính chuyển vị Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 6.1 Khái niệm chung Trong chơng kéo nén thế năng biến dạng đàn hồi đối với thanh chịu kéo nén đợc xác định bởi công thức: = l z EF dzN U 0 2 2 1 Còn đối với dầm chịu uốn thì thế năng biến dạng đàn hồi đợc xác định theo công thức: = l x x dz EJ M U 0 2 2 Tổng quát, nếu nội lực trong thanh xuất hiện cả 6 thành phần nội lực thì thế năng biến dạng đàn hồi là: ++++= i l l l l x z P z y y l x x dz GF Q dz EF N dz GJ M dz EJ M dz EJ M U 0 0 0 0 2 22 2 0 2 22222 + l y dz GF Q 0 2 2 Khi chịu lực, ngoại lực sinh công A lả hàm của chuyển vị. Theo định luật bảo toàn năng lợng, ta có U=A. Từ phơng trình này, ngời ta tìm đợc chuyển vị. Phơng pháp này gọi là phơng pháp năng lợng tính chuyển vị. Sau đây ta sẽ đi nghiên cứu các phơng pháp tính chuyển vị theo phơng pháp năng lợng 6.2. Định lý Catxtigliano. Nội dung: Đạo hàm riêng của thế năng theo 1 lực P k nào đó bằng chuyển vị theo phơng của lực đó. Tức là: Chứng minh: Xét một hệ đàn hồi chịu các lực P i (i = 1 ữ n) và lực P K nh hình vẽ. Chuyển vị của điểm đặt lực P K do chính nó gây ra là K. Ta xét một hệ đàn hồi tơng tự nh trên chịu các lực P i và một lực P K + dP K . Công của vi phân lực dP K trên đoạn chuyển vị đợc xác định nh sau: 81 k P U K = P i k P k 2 dk 1 P i k P k + dP k Ta thấy lực dP K di chuyển trên 2 đoạn K và dK và nó sinh công là: dA = dA 1 + dA 2 Với: 2 Kd.dP dA K.dPdA k 2 k1 = = Trong đó: dA 1 là công khả dĩ của lực dP K dA 2 là công thực của lực dP K (công biến dạng). Lợng dA 2 là vô cùng bé bậc cao nên ta có thể bỏ qua. Vậy có: dA = dP K .K Mặt khác khi cha có lực dP K tác dụng thì dầm có đờng biến dạng 1 và tích luỹ 1 thế năng biến dạng đàn hồi là U. Khi có thêm lực dP K thì dầm có đờng biến dạng 2, nên trong dầm có thêm 1 thế năng biến dạng đàn hồi dU. Do dU là vi phân riêng phần của U khi riêng lực P K thay đổi 1 lợng dP K nên ta có: k k dP. P U dU = Theo định lý bảo toàn năng lợng có dA = dU. Vậy cuối cùng có: k P U K = (điều phải chứng minh). * Trình tự tính chuyển vị theo định lý Catxtigliano: + Viết phơng trình mô men uốn nội lực: M x = f(z) + Tính thế năng biến dạng đàn hồi: = l x x dz EJ M U 0 2 2 + Tính chuyển vị K: k P U K = Với các chú ý sau: + Nếu muốn tìm chuyển vị thẳng ta đạo hàm riêng U theo lực tập trung. Nếu muốn tìm góc xoay thì đạo hàm riêng U theo mô men tập trung. + Nếu cần tìm chuyển vị tại một điểm hoặc một mặt cắt nào đó mà tại đó không có lực thì ta đặt thêm vào tại đó 1 lực giả. Sau đó viết phơng trình nội lực và tính thế năng U. Cuối cùng khi đạo hàm riêng U theo lực giả thì cho lực giả bằng 0. 6.3. Công thức tích phân Mo. 82 Xét một hệ đàn hồi chịu các lực P i (i = 1 ữ n). Giả sử ta cần phải tìm chuyển vị theo một phơng K bất kỳ nào đó. Theo phơng K ta đặt thêm vào hệ đã cho 1 lực giả P k (hình vẽ). Ta coi P k cũng giống nh P i . Tại mặt cắt 1-1 có mô men uốn nội lực là: M x = M P +M PK Trong đó: + M P là mô men uốn nội lực do tải trọng thật P i gây ra. + M PK là mô men uốn nội lực do tải trọng giả P k gây ra. Bỏ qua ảnh hởng của lực dọc và lực cắt có: ( ) + == dz EJ2 MM dz EJ2 M U x 2 KP l 0 x 2 x P . ++= l 0 KP l 0 2 l 0 2 P x dzMM2dzMdzM EJ2 1 U PPK Ta có: kK P.MM = K P Trong đó K M là nội lực đơn vị do P k = 1 gây nên. Vậy có: ( ) ++= l 0 PkK l 0 2 kK l 0 2 P x dzM.P.M2dzP.MdzM EJ2 1 U Theo Catxtigliano thì chuyển vị theo phơng K là: = = = dz EJ M.M P U K l 0 x PK 0 k P k Vậy cuối cùng có: Đây chính là công thức tính chuyển vị theo Mo. 83 = l 0 x KP dz EJ M.M K P k P i Ph ơng K 1 1 * Trình tự tính chuyển vị theo Mo + Viết phơng trình mô men uốn nội lực do tải trọng thật gây ra: M P = M x = f 1 (z) + Đặt lực đơn vị P k = 1 (hoặc mô men đơn vị M k = 1) vào điểm (hoặc mặt cắt) cần tính chuyển vị (hoặc góc xoay). Sau đó viết phơng trình nội lực đơn vị do lực đơn vị gây ra: (z)fM 2K = + Thay M P và K M vào công thức Mo để tính chuyển vị K hoặc góc xoay 6.4. Phép nhân biểu đồ Veresaghin. a. Phép nhân biểu đồ: Từ công thức tích phân Mor, nếu EJ=const ta có: === l l kP kP KK dzMM EJ dz EJ MM y 0 0 1 . Đặt hàm f(z)= M P , g(z)=M k ta có: = l 0 dzg(z).f(z).I f(z) và g(z) liên tục và đạo hàm liên tục trong [0 , l]. - Hàm f(z) là hàm do tẩi trọng gây nên là hàm bất kỳ. - Hàm g(z) là hàm bậc nhất (hoặc nhỏ hơn bậc nhất), tức là hàm g(z) có dạng: g(z) = kz + b Ta có: = l 0 dzg(z).f(z).I Vì: g(z) = kz + b nên có: += l 0 l 0 dzf(z)bdzf(z).zkI Ta thấy l 0 dzf(z) là diện tích của f(z) trong [0 , l]. Tức là: dzf(z) l 0 = 84 z f(z) f(z) l g(z) b z z c z 0 dz z 0 c g(z) C o o o Mặt khác: = l 0 d.zdzf(z).z Ta lại thấy zd biểu diễn mô men tĩnh của diện tích đối với trục y c y z.zdS == Vậy ta có: ccc .b)(kz.bz kI =+=+= Từ công thức (*) và công thức Mo có: Từ công thức trên ta có phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin: Lấy diện tích của biểu đồ M P là nhân với tung độ ứng với trọng tâm của biểu đồ M P lấy trên biểu đồ M K là c b. Trình tự tính chuyển vị theo phép nhân biểu đồ + Vẽ biểu đồ do tải trọng thật gây ra. + Đặt vào điểm cần tính chuyển vị một lực đơn vị P k = 1. Vẽ biểu đồ mô men đơn vị M k + Tính chuyển vị K theo công thức: c. Một số chú ý khi nhân biểu đồ. - Phép nhân biểu đồ chỉ đợc phép thực hiện khi trên đoạn cần tính cả 2 biểu đồ và phải liên tục và đạo hàm liên tục. Nếu không thoả mãn thì phải chia nhỏ thành các đoạn để đảm bảo tính liên tục. - Trong trờng hợp biểu đồ là hình phức tạp, ta có thể chia nhỏ thành các hình đơn giản mà ta đã biết diện tích và trọng tâm của chúng (hình vẽ). 85 M P K = . = K M M P K = . = K M M P K M M P M P o o o lzhl c 8 3 ; 3 2 == C z c l h C z c z c 2 ; 12 3 l z ql c == o o o C z c l h lzhl c 4 1 ; 3 1 == o o o - Nếu biểu đồ có dạng không lớn hơn bậc 1 thì ta có thể lấy tung độ trên nhân với trên . - Khi nhân biểu đồ, nếu 2 biểu đồ và cùng phía thì mang dấu dơng (+) và ngợc lại. - Kết quả tính đợc nếu dơng thì chiều chuyển vị (góc xoay) cùng chiều với chiều của lực đơn vị (mô men đơn vị) và ngợc lại. d. Các trờng hợp mở rộng của phép nhân biểu đồ: - Muốn tính góc xoay tại điểm K 1 thì tại điểm đó ngời ta đăt 1 mô men đơn vị M k1 =1 rồi vẽ biểu đồ mô men đơn vị. - Muốn tính chuyển vị tơng đối ( hoặc góc xoay tơng đối) giữa 2 điểm( hoặc 2 mặt cắt) ngời ta đặt 2 lực đơn vị ( hoặc 2 mô men đơn vị) ngợc chiều nhau, rồi vẽ biểu đồ mô men đơn vị. - Phép nhân biểu đồ có thể ứng dụng cho tính chuyển vị khi kéo nén. 86 K M M P M P M P K M . K M M P K M M P M P o o o lzhl c 8 3 ; 3 2 == C z c l h C z c z c 2 ; 12 3 l z ql c == o o o C z c l h lzhl c 4 1 ; 3 1 == o o o - Nếu biểu đồ có dạng không lớn hơn bậc 1 thì ta có thể lấy tung độ trên nhân với trên . - Khi nhân biểu đồ, nếu 2 biểu đồ và cùng phía thì mang dấu dơng (+) và ngợc lại. - Kết quả. có: = l 0 dzg(z).f(z).I f(z) và g(z) liên tục và đạo hàm liên tục trong [0 , l]. - Hàm f(z) là hàm do tẩi trọng gây nên là hàm bất kỳ. - Hàm g(z) là hàm bậc nhất (hoặc nhỏ hơn bậc nhất), tức là hàm g(z). Chơng 6: Tính chuyển vị Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 6. 1 Khái niệm chung Trong chơng kéo nén thế năng biến dạng đàn hồi đối với