DT HSG TOÁN 12

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005 Môn : TOáN (vòng 1) Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) BàI 1: Tìm nghiệm của phơng trình : 02sin1.2cossincos =+ xxxx thỏa điều kiện : 2004 < x < 2005 . BàI 2: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác vuông ABC cố định có AB = AC. Tìm tập hợp những điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho : MCMBMCMBMA + 4 BàI 3: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 22 2 )2( 2 + + = x xx y . b) Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho với mọi số thực a, b luôn có : a + b + ab k(a 2 + 2)(b 2 + 2) . Hết UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005 Môn : TOán (vòng 2) Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) BàI 1: a) Cho hàm số ( ) ln sin cos ( ) sin 2 x x x g x x = có tập xác định là D. Tính đạo hàm của hàm số : ( ) ( ) 0 0 g x khi x D f x khi x = = b) Giải bất phơng trình : 3 )1ln()( 23 xx exxxe ++ BàI 2: Xét hai độ dài khác nhau a, b. Tìm điều kiện của a, b để tồn tại tứ diện (T) có một cạnh bằng a và các cạnh còn lại đều bằng b. Với tứ diện (T) này, hãy xác định mặt phẳng ( ) sao cho thiết diện của mặt phẳng ( ) và tứ diện (T) là một hình vuông (V). Tính diện tích của hình vuông (V) theo a và b. BàI 3: Chứng minh rằng tồn tại một tập con E của tập các số tự nhiên N thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau : a) E có 2005 phần tử . b) Với bất kì cặp số nguyên phân biệt k, h của E thì tích k.h chia hết cho (k-h) 2 . Hết Đáp án - Thang điểm vòng 1 Bài Nội dung Điểm 1 02sin1.2cossincos =+ xxxx (*) 6 . 2 3 a + x2sin1+ = xx sincos + cos2x = ( xcos - xsin ).( xcos + xsin ) + (*) ⇔ ( xcos - xsin ).{1 - ( xcos + xsin ) xx sincos + } = 0 ⇔ xcos - xsin =0 (1) hoặc ( xcos + xsin ) xx sincos + = 1 (2) + (1) ⇔ cos2x= 0 + (2) ⇔ (1+ x2sin ).(1+sin2x) = 1 ⇔ sin2x=0 (vì sin2x >0 không thể xảy ra ) Từ đó : (*) ⇔ cos2x= 0 hoặc sin2x= 0 ⇔ sin4x= 0 ⇔ x =k 4 π ; k ∈ Z + Với điều kiện 2004< x <2005 , chọn số nguyên k=2552. Vậy : x = 638 π . + MB +MC - MB-MC = 2 Min (MB; MC) 4MA ≤ MB +MC - MB-MC ⇔ 2MA ≤ MB và 2MA ≤ MC + Chän hƯ trơc Axy vµ ®¬n vÞ trªn trơc sao cho : B(3;0) ,C(0;3) . Gäi M(x;y) 2MA ≤ MB ⇔ 4MA 2 –MB 2 ≤ 0 ⇔ 4(x 2 +y 2 ) – (x-3) 2 –y 2 ≤ 0 ⇔ (x+1) 2 +y 2 ≤ 4 VËy : 2MA ≤ MB ⇔ M ë trong h×nh trßn (T) t©m I(-1;0),b¸n kÝnh 2. (kĨ c¶ biªn) T¬ng tù : 2MA ≤ MC ⇔ M ë trong h×nh trßn (S) t©m J(0;-1),b¸n kÝnh 2. (kĨ c¶ biªn) +TËp hỵp nh÷ng ®iĨn M tho¶ bµi to¸n lµ phÇn giao cđa hai h×nh trßn (T) vµ (S) . (kĨ c¶ biªn) -5 5 10 6 4 2 -2 -4 -6 y I J M A C B 22 2 )2( 2 + + = x xx y + Tập xác đònh : R 6 4 x y . 3 b + y = 32 23 )2( )223(2 + + x xxx = 2 2 3 2( 1)( 4 2) ( 2) x x x x + + + + y= 0 x=1 ; x= 22 ; y(1)= 3 1 ; y( 22 )= 16 12 ; y( 22 + )= 16 12 + ; 0lim = y x x - -2- 2 -2+ 2 1 + y ' + 0 - 0 + 0 - y 16 12 3 1 0 16 12 + 0 + Vaọy : 1 3 R Ma x y = ; Min y = 2 1 16 R Min y + + Giả sử k là số thoả bài toán. Lúc đó : k ba abba ++ ++ )2)(2( 22 đúng với mọi a,b Với a=b=1 ,ta có k 3 1 . +Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi a,b : a+b+ab 3 1 (a 2 +2)(b 2 +2). Ta có : (a 2 +2)(b 2 +2)- 3(a+b+ab) = a 2 b 2 +2a 2 +2b 2 +4-3a-3b-3ab = (ab-1) 2 + 2 1 (a-b) 2 + 2 3 [(a-1) 2 +(b-1) 2 ] 0 +Từ đó số k nhỏ nhất thoả bài toán là : 3 1 . . 4 ĐáP áN - THANG ĐIểM (Vòng 2) Bài Nội dung Điểm 1.a) 1.b) 2 + Khi 0x D x và , 4 x k k + Z và * , 2 x k k Z : 2 ln(1 sin 2 ) (sin 2 2 cos 2 ) ln(1 sin 2 ) cot 2 ( ) '( ) 2sin 2 2sin 2 1 sin 2 x x x x x x x g x f x f x x x x = = + Khi x = 0 : ( ) 0 0 ln 1 sin 2 ( ) (0) 1 lim lim '(0) 2( sin 2 ) 2 x x x f x f f x x = = = . . 3 )1ln()( 23 xx exxxe ++ (*) + Biĩu thức ln(x 2 +1) luôn xác định . + x=0 ; x=1 ; x=-1 là các giá trị thoả bất phơng trình . 3 x -x= ( 3 xx ). )( 3 2 3 2 xxxx ++ +Khi x {0;1;-1} thì x 3 x .Theo định lí Lagrange ,tồn tại số c ở giữa x và 3 x sao cho: x e - 3 x e = ( 3 xx ) c e Vậy: (*) ( 3 xx ).[ c e + )( 3 2 3 2 xxxx ++ ln(x 2 +1)] 0 3 xx 0 ( Vì [ c e + )( 3 2 3 2 xxxx ++ ln(x 2 +1)]> 0 ) 3 x -x 0 . + Nghim cđa bất phơng trình đã cho là : x ]1;0[]1;( . Điịu kin cđa a,b : +Giả s tứ din (T) tồn tại .Gọi AB là cạnh bằng a, các cạnh : AC,AD,BC,BD CD địu cùng bằng b . Gọi I là trung điĩm cạnh CD.Tam giác AIB là tam giác cân : AB=a ;AI=BI= 2 3b . Từ AB<AI+BI suy ra : 30 ba << +Ngỵc lại víi : 30 ba << .Dựng tam giác địu BCD cạnh b víiự chiịu cao BI. Dựng tam giác cân AIB có AB=a ,nằm trong mỉt phẳng chứa BI và vuông góc vói mp(BCD) .Ta có :A mp(BCD) .Tứ din ABCD thoả điịu kin bài toán . Q P M N a I D C B A Xác định mỉt phẳng ( ): + Giả s thiết din là hình vuông MNPQ. Các mỉt cđa tứ din (T) lần lỵt chứa các đoạn giao tuyến MN,NP,PQ,QM đỵc gọi tên là mỉt I, mỉt II, mỉt III, mỉt IV. Do MN//PQ;MQ//NP nên cạnh chung cđa mỉt I và mỉt III; cạnh chung cđa mỉt IIvà mỉt IV ,nằm trên hai đờng thẳng song song víi mp( ). Ngoài ra, hai đờng thẳng này vuông góc nhau,vì MN vuông góc MQ. + Do a khác b nên tứ din (T) chỉ có một cỉp cạnh đối vuông góc,đó là AB và CD . 3 4 7 6 3 Vì vậy mp( ) phải song song víi AB và CD. + Gọi giao điĩm cđa mp( ) víi AC,BC,BD,AD,lần lỵt là M,N,P,Q. Đỉt k = MC MA . Ta có :MN= k a +1 ;MQ= k kb +1 . Từ MN=MQ ta có : k = b a . + Diõn tích cđa hình vuông MNPQ là : 2 )( ba ab + + Ta xây dựng các tập En có n phần tử thỏa tính chất : Với bất kì cặp số nguyên phân biệt k ,h của En thì tích k.h chia hết cho (k-h) 2 bằng phơng pháp qui nạp theo n (n > 1) + Chọn : E 2 ={1;2} + Giả sử tập En ={a 1 ; a 2 ; ;an } với n >1 , thỏa tính chất trên . Xét tập : En +1 = F {m} với m= a 1 .a 2 an và F = {ai+ m/ i=1,2, ,n } En +1 có n+1 phần tử . Ta chứng minh En +1 thoả tính chất trên . Với k ,h là hai phần tử phân biệt của En +1 ,thì có hai khả năng : i/Chỉ một phần tử thuộc F ii/Cả hai đều thuộc F Tr ờng hợp i/ : k= ai+ m , h = m= a 1 .a 2 an Ta có : h chia hết cho ai ; k chia hết cho ai ; k.h chia hết cho :ai .ai còn (k-h) 2 = ai 2 Tr ờng hợp ii/: k= ai+ m , h= aj+ m ; ai và aj thuộc En và khác nhau. Ta có :k chia hết cho ai ;h chia hết cho aj ;k.h chia hết cho :ai.aj còn (k-h) 2 =(ai -aj) 2 Nhng ai và aj thuộc En nên tích ai.aj chia hết cho (ai -aj) 2 . Từ đó tích k.h chia hết cho (k-h) 2 . . 22 ; y(1)= 3 1 ; y( 22 )= 16 12 ; y( 22 + )= 16 12 + ; 0lim = y x x - -2- 2 -2+ 2 1 + y ' + 0 - 0 + 0 - y 16 12 3 1 0 16 12 + 0 + Vaọy : 1 3 R Ma x y = . kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005 Môn : TOán (vòng 2) Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) BàI 1: a) Cho. kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005 Môn : TOáN (vòng 1) Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) BàI 1: Tìm nghiệm