Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Bảng A (Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề). Bài1: (4 điểm) Cho hàm số f(x)=x 3 - 6x 2 +9x-1 (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Từ một điểm bất kỳ trên đờng thẳng x=2 ta có thể kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến (C). (Đại học ngoại thơng khối A năm 2000). Bài2: (4 điểm). 1. Tính I= + 3 0 23 xx2x dx. 2. Cho f(x) = 2x + m + log 2 [mx 2 - 2(m 2)x+ 2m-1]. Tìm m để f(x) có tập xác định là R. Bài3: (4 điểm). Giải phơng trình: ln(sinx+1) = e sinx-1 . Bài4: (2 điểm). Giải hệ phơng trình: = = = 1xz 1zy 1yx Bài5: (4 điểm). Cho hình lập phơng ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh bằng a. Lấy M trong đoạn AD ' , N trong đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a 2 ). 1. Chứng minh với x= 3 2a thì MN ngắn nhất. 2. Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của AD ' và DB. Bài6: (2 điểm). Cho x,y,z 2 ; 6 Chứng minh: 2 2 1 1 ysin xsinzsin xsin zsinysin zsin ysinxsin + + + + Đáp án Đề thi Học sinh giỏi lớp 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Câu Nội dung Điểm Bài1 (4điểm) 1 (2điểm) Tập xác định: x . Chiều biến thiên: y ' =3x 2 -12x+9 y ' =0 x=1, x=3 Hàm số đạt cực đại tại x=1, y=3 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3, y=-1 Tính lồi lõm và điểm uốn y '' =6x-12 Hàm số lồi x ( )2, Hàm số lõm x (2,+ ) Điểm uốn x=2, y=1 limy=+ ; limy=- x->+ x->- Bảng biến thiên Đồ thị: x=0 =>y=-1 y=0 =>x 3 -6x 2 +9x-1=0 Lấy thêm điểm phụ: x=3 =>y=3 x=0 =>y=-1 Vẽ đồ thị: Học sinh vẽ chính xác đẹp 0,5 0,5 0,5 0,5 2 (2điểm) Xét A(2,a) trên đờng x=2. Tiếp tuyến tại A có phơng trình là: y=(3x 0 2 -12x 0 +9)(x-x 0 )+x 0 3 -6x 0 2 +9x 0 -1 Tiếp tuyến này qua A khi và chỉ khi a=(3x 0 2 -12x 0 +9)(2-x 0 )+x 0 3 -6x 0 2 +9x 0 -1 2x 0 3 -12x 0 2 +24x 0 -17+a=0 (1) Số nghiệm của phơng trình (1) chính là số tiếp tuyến qua A Xét g(x)= -2x 3 +12x 2 -24x+17 g ' (x)=-6(x-2) 2 0 x g(x) luôn nghịch biến và có tập giá trị là (- ,+ ) do đó phơng trình (1) luôn có một nghiệm duy nhất Vậy từ một điểm bất kỳ trên x=2 luôn kẻ đợc đúng một tiếp tuyến đến (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 x - 1 3 + y ' + 0 - y '' 3 + - -1 Bài 2 (4điểm) 1 (2điểm) I= 3 0 2 )1x(x dx = 3 0 x 1x dx = 1 0 x ( ) x1 dx + 3 1 x ( ) 1x dx = 1 0 2 1 x dx - 1 0 2 3 x dx+ 3 1 2 3 x dx - 3 1 2 1 x dx = 15 8 + 5 38 0,5 0,5 0,5 0,5 2 (2điểm) Ta chỉ cần mx 2 -2(m-2)x+2m-1>0 x R Khi >++= > 04m3m 0m 2' > < > 1m 4m 0m =>m >1 Vậy m>1 thì f(x) có tập xác định R 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3 (4điểm) Điều kiện sinx -1, x - + 2k 2 (k Z) Đặt ln(sinx+1)=y => sinx+1=e y ta có hệ += += )2(1xsine )1(1ye y sinx Lấy (1) trừ (2) ta có phơng trình e sinx e y = y-sinx Nếu sinx > y thì e sinx > e y Phơng trình không có nghiệm Nếu sinx < y thì e sinx < e y Phơng trình không có nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm khi sinx=y thay vào (2) ta có: e sinx =sinx+1 (3) Xét f(x)= e x -x-1 với x -1 f ' (x)= e x 1=0 x=1 Vậy phơng trình (3) có nghiệm sinx=0 =>x=k (k Z) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4 (2điểm) Ta có += += += )3(x1z )2(z1y )1(y1x điều kiện x,y,z 1 Nếu (x,y,z) là một nghiệm của hệ gọi x= min(x,y,z) thì x y,x z (4) z 1+ y =x =>z x Vậy z=x x y => x y =>1+ x 1+ z z y (5) Từ (4) và (5) ta có x=y=z nên x=1+ x => x=y=z= 2 53 + 0,5 0,5 0,5 0,5 Bµi5 (4®iÓm) 1 (2®iÓm) Dùng MM ' ⊥ AD; NN ' ⊥ AD ∆ DNN ' vu«ng c©n nªn AM'=MM' Ta cã AM 2 = x 2 =2MM' 2 =>MM'=AM'= 2 2x V× ∆ N ' DN ⊥ c©n => N ' D=N ' N= 2 2x => ∆ ⊥ c©n MM'A = ∆ ⊥ c©n NN'D =>AM'=DN'=>AN'=DM' M'N'= AD - 2AN'= x 2 M'N'=a - 2(a- 2 2x )= x 2 - a ∆ MM'N ⊥ t¹i M' nªn MN 2 =M'M 2 +M'N 2 = 2 2 x +(M'N' 2 +N'N 2 )= 2 2 x +(x 2 -a) 2 + 2 2 x =3x 2 -2ax 2 +a 2 §Æt f(x)=3x 2 -2ax 2 +a 2 xÐt trªn [ ) 2,0 a f ' (x)= 6x- 2a 2 =0 <=> x= 3 2a VËy f(x) nhá nhÊt khi x= 3 2a MN 2 =3 2 3 2a - 2a 3 2a 2 +a 2 0,5 0,5 0,5 = 2 2 2 a - 3 4 2 a +a 2 = 3 2 a => MN= 3 a 0,5 2 (2®iÓm) XÐt ∆ ⊥ MM'D: MD 2 =MM' 2 +M'D 2 = 2 1 2 3 2a + 2 2 2 3 2 − a a = 9 5 9 4 9 222 aaa =+ vµ MN 2 = 3 2 a DN 2 =x 2 = 9 2 2 a =>MN 2 +DN 2 = 9 5 2 a Ta l¹i cã MD 2 =MN 2 +DN 2 = 9 5 2 a VËy ∆ MDN ⊥ t¹i N =>MN ⊥ DB XÐt ∆ ⊥ AN'N ta cã AN 2 =AN' 2 +N'N 2 = 2 2 2 3 2 − a a + 2 2 x = 9 5 2 a AM=x= 3 2a MN= 3 a nªn AM 2 +MN 2 = 9 5 2 a do ®ã AN 2 =AM 2 +MN 2 => ∆ AMN ⊥ t¹i M MN ⊥ AD VËy MN lµ ®êng vu«ng gãc chung 0,5 0,5 0,5 0,5 Bµi6 (2 ®iÓm) §Æt sinx=a; siny=b; sinz=c th× a,b,c ∈ 1, 2 1 Ta cã abc accbba b ac a cb c ba ))()(( −−− = − + − + − Ta chøng minh abc accbba ))()(( −−− 2 2 1 1 −≤ ∀ a,b,c ∈ 1, 2 1 §Æt u= c a ; v= c b ; do 2 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 th× 2 1 ≤ u ≤ v ≤ 1 ta chøng minh: uv vuuv )1)(1)(( −−− 2 2 1 1 −≤ ta cã: uv vuuv )1)(1)(( −−− v vv 2 1 )1)( 2 1 1)( 2 1 ( −−− ≤ = 1+ 2 1 -v- v v v 1 2 2 1 1 2 1 −+≤ = 2 2 1 1 − DÊu = khi u= 2 1 ; v= 2 1 hay x= 6 π ; y= 4 π ; z= 2 π 0,5 0,5 0,5 0,5 . zsinysin zsin ysinxsin + + + + Đáp án Đề thi Học sinh giỏi lớp 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Câu Nội dung Điểm Bài1 (4điểm). Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Bảng A (Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề) . Bài1: (4 điểm) Cho hàm số f(x)=x