Phần 3: Các trường hợp ước lượng khoảng pdf

3.1 Mơ tả phương pháp Giả sử tổng thể có tham số θ chưa biết Ta tìm khoảng ( G1 , G2 ) chứa θ cho P ( G1 < θ < G2 ) = − α cho trước − α Là độ tin cậy ước lượng G − G Là độ dài khoảng tin cậy Ưu điểm: làm tăng độ xác ước lượng, đánh giá mức độ tin cậy ước lượng Hạn chế: chứa đựng khả mắc sai lầm α 3.2 Ước lượng khoảng cho giá trị trung bình Giả sử trung bình tổng thể E ( X ) = µ chưa biết Ta tìm khoảng ( m1 , m2 ) chứa µ cho: P ( m1 < µ < m2 ) = − α Với − α độ tin cậy cho trước Trường hợp 1: Biết D ( X ) = δ n ≥ 30 ( n u ) = α ⇒ P ( −u < U < u ) = − α α1 1−α Thay U vào ta có: 1−α1 2` 1−α σ σ X− u1−α < µ < X + u1−α1 n n Trong thực tế ta thường sử dụng số trường hợp đặc biệt sau: Khoảng tin cậy đối xứng: chọn Ta có: X− σ σ uγ < µ < X + uγ n n α α α1 = α = , γ = − 2 hay ( X − ε , X + ε ) X Là trung bình mẫu cụ thể ε độ xác ước lượng Khoảng tin cậy bên phải (ước lượng giá tối thiểu) α = α , α1 = 0, u1−α σ   = u1 = +∞ ⇒  x − u1−α ; +∞ ÷ n   Là khoảng tin cậy bên phải µ Khoảng tin cậy bên trái (ước lượng giá tối đa) σ   α1 = α , α = 0, u1−α = −u1 = −∞ ⇒  −∞; x + u1−α ÷  n Là khoảng tin cậy bên trái µ Xác định cỡ mẫu Nếu yêu cầu chất lượng − α với ε cho trước ta chọn cỡ mẫu phù hợp: σ n = uγ ε  Ví dụ: Khối lượng sản phẩm ĐLNN có phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn σ = Cân thử 25 sản phẩm ta thu kết sau: X (khối lượng) 18 19 20 21 N i (số lượng) 15 - Hãy ước lượng trung bình khối lượng sản phẩm với độ tin cậy 95% - Nếu yêu cầu độ xác 0,1 giữ nguyên độ tin cậy 95% cỡ mẫu phù hợp? xi ni xi ni 18 19 20 21 15 54 95 300 42 ∑ 25 k 491 x = ∑ ni xi = = 19, 64kg n i =1 25 − α = 0,95 ⇔ α = 0, 05 α ⇒ γ = − = 0,975 x1 = x − ε = 19, 25 uγ = u0,975 = 1,96 σ uγ = 1,96 ≈ 0,39 n 25 x2 = x + ε = 20, 03 491 ε= Vậy khoảng tin cậy (19,25;20,03) Để độ xác 0,1 giữ nguyên độ tin cậy 95% σ2 cỡ mẫu n=u = 1,96 ≈ 384 γ ε2 0,12 Trường hợp 2: Chưa biết σ n ≥ 30 Ta dùng ước lượng S '2 thay (vì E ( S '2 ) = σ ) cho σ chưa biết Khoảng tin cậy đối xứng: ( S' x − ε , x + ε ; ε = uγ n ) Khoảng tin cậy bên phải:   S' u1−α ; +∞ ÷ x− n   Khoảng tin cậy bên trái:   S' u1−α ÷  −∞; x + n   Xác định cỡ mẫu: S' n=u ε γ Ví dụ: Người ta nghiên cứu trường đại học xem tháng sinh viên tiêu hết tiền gọi điện thoại Lấy mẫu ngẫu nhiên gồm 59 sinh viên thu kết sau: 14 127 95 30 40 27 40 79 36 58 14 47 95 30 58 26 95 85 40 58 15 147 79 36 27 79 26 63 111 36 15 40 95 27 26 36 63 14 30 26 127 47 58 111 30 36 30 85 79 40 85 26 27 14 47 15 26 36 47 Hãy ước lượng khoảng tin cậy 95% cho số tiền gọi điện thoại trung bình hàng tháng sinh viên xi ni xi ni n = 59 ni xi2 14 15 26 27 30 36 40 47 58 63 79 85 95 111 127 147 6 4 4 2 56 45 156 108 150 216 200 188 232 126 316 255 380 222 254 147 784 675 4056 2916 4500 7776 8000 8836 13456 7938 24964 21675 36100 24642 32258 21609 ∑ 59 3051 220185 k 3051 x = ∑ ni xi = = 51, n i =1 59 k S = ∑ ni xi − x n − i =1 ' 220185 S = − ( 51, ) = 33,52 58 − α = 0,95 ⇔ α = 0, 05 α γ = − = 0,975 uγ = u0,975 = 1,96 ' 33,52 ε = 1,96 = 8,56 59 (43,14;60,26) Trường hợp 3: Chưa biết phương sai D( X ) =σ n