Luyện thi Tốt nghiệp Toán 2010 số 2

http://ductam_tp.violet.vn/ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010 ĐỀ THAM KHẢO Môn: TOÁN – Giáo dục THPT Thời gian làm bài 150 phút – Không kể thời gian giao đề. SỐ 26 I. Phần dành chung cho tất cả thí sinh: ( 7 điểm) Câu I (3,0 điểm). Cho hàm số 3 2 3 2y x x= − + − (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1) 2.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 2y mx= − cắt đồ thị ( )C tại ba điểm phân biệt. Câu II (3,0 điểm ) 1.Giải bất phương trình 2 3 log ( 1) 2x + < 2. Tính tích phân 3 3 0 sinx cos I dx x π = ∫ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) x f x xe − = trên đoạn [ ] 0;2 . Câu III) ( 1 điểm ). Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a . II. Phần riêng: ( 3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IV.a ( 2,0 điểm ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 6;-1 ;0) và mặt phẳng (P) có phương trình: 4 3 1 0x y z− + + = 1. Viết phương trình tham số đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mp(P). 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm là hình chiếu H vuông góc của điểm A lên mp(P) và đi qua điểm A. Câu IVb) ( 1 điểm ) Hãy xác định phần thực, phần ảo của số phức : i i i z ++ + − = 1 21 1 B. Theo chương trình nâng cao: Câu IV a)( 2 điểm) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình: 1 2t 1 x = + y = +t z t − = − , t ∈ R và điểm M ( 2; 1; 0 ). Viết phương trình của đường thẳng qua M vuông góc và cắt d. Câu IV b) ( 1 điểm) Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm của các số phức thỏa 2 ≤− iz . (hết) http://ductam_tp.violet.vn/ ĐÁP ÁN Câu Đáp án Điểm Câu I (3 điểm) 1. (2 điểm) Tập xác định D = ¡ 0,25 Sự biến thiên: 2 ' 3 6y x x= − + 0 y'=0 2 x x =  ⇔  =  0,25 Giới hạn : lim , lim x x y y →+∞ →−∞ = −∞ = +∞ 0,25 Bảng biến thiên: 0,5 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;0)−∞ , (2; )+∞ Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y CĐ = y(2) = 2 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT = y(0) = -2 0,25 Đồ thị Giao điểm của ( )C với các trục toạ độ (0;-2),(1;0) Đồ thị ( )C nhận điểm I(1;0) làm tâm đối xứng 0,5 2 (1,0 điểm) x y’ y -∞ 0 2 +∞ 0 0- + - -2 CT CĐ +∞ -∞ 2 http://ductam_tp.violet.vn/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng 2y mx= − là: 3 2 3 2 2x x mx− + − = − 2 ( 3 ) 0x x x m⇔ − + = 2 0 3 0 x x x m =  ⇔  − + =  0,25 Đường thẳng 2y mx= − cắt đồ thị ( )C tại ba điểm phân biệt ⇔ Phương trình 2 3 0x x m− + = có 2nghiệm phân biệt, khác 0 0,25 2 9 4 0 0 3.0 0 m m ∆ = − >  ⇔  − + ≠  0,25 9 0 4 m⇔ ≠ < 0,25 Câu II (3 điểm ) 1. (1,0 điểm ) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ bất phương trình 2 2 2 ( 1) 0 ( 1) 3 x x  + >   + <   0,25 2 1 2 8 0 x x x ≠ −  ⇔  + − <  0,25 1 4 2 x x ≠ −  ⇔  − < <  0,25 4 1x⇔ − < < − hoặc 1 2x− < < 0,25 2.(1,0 điểm ) Đặt osx dt = -sinxdt sinxdx = -dtt c= ⇒ ⇒ 0,25 Đổi cận 1 0 1, 3 2 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 0,25 Do đó 1 1 3 3 1 1 2 2 1 I dt t dt t − = = ∫ ∫ 1 1 2 2 1 2t = − 0,25 3 2 = 0,25 3. (1,0 điểm ) '( ) (1 ) x x x f x e xe e x − − − = − = − 0,25 [ ] '( ) 0 1 0;2f x x= ⇔ = ∈ 0,25 2 1 (0) 0, (2) 2 , (1)f f e f e − − = = = 0,25 http://ductam_tp.violet.vn/ Suy ra [ ] -1 0;2 axf(x)=e x m ∈ tại 1x = ; [ ] 0;2 min f(x)=0 x∈ tại 0x = 0,25 Câu III (1,0 điểm )  Thể tích khôi lăng trụ 2 3 a 3 a 3 V AA'.S a. ABC 4 4 = = =  Gọi O , O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC , A'B'C'∆ ∆ thí tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm I của OO’ . Bán kính a 3 a a 21 2 2 2 2 R IA AO OI ( ) ( ) 3 2 6 = = + = + = Diện tích mặt cầu : 2 a 21 7 a 2 2 S 4 R 4 ( ) 6 3 π = π = π = 0.25 0.25 0.25 0.25 A. Chương trình chuẩn Câu IV.a 1. (1 điểm) (P) có vectơ pháp tuyến ( ) 4; 1;3n = − ur . Do d vuông góc với (P) nên d nhận ( ) 4; 1;3n = − ur làm vectơ chỉ phương. 0.25đ 0,25 đ Đường thẳng d đi qua điểm A(6;-1;0) và có vectơ chỉ phương ( ) 4; 1;3n = − ur Vậy phương trình tham số của d là 6 4 1 3 x t y t z t = +   = − −   =  0,25 đ 0,25 đ 2. (1 điểm) H là giao điểm của d và mặt phẳng (P). Toạ độ H là nghiệm của hệ: ( ) ( ) 6 4 1 4 6 4 1 9 1 0 26 26 1 3 4 3 1 0 x t y t t t t t t z t x y z = +   = − − ⇒ + − − − + + = ⇔ = − ⇔ = −   =   − + + =  Vậy H( 2; 0;-3) 0,25 đ 0,25 đ Do mặt cầu đi qua A nên có bán kính: R=AH = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 6 0 1 3 0 26− + + + − + = Vậy phương trình mặt cầu (S): ( ) ( ) 2 2 2 2 3 26x y z− + + + = 0,5 đ Câu IVb (1 điểm) + i ii z ++ −+ = 1 )21)(21( 2i)-i)(1-(1 = i i ++ −− 1 5 31 0.25đ 0.25đ http://ductam_tp.violet.vn/ = 4 2 5 5 i+ + Phần thực bằng 4/5, phần ảo bằng: 2/5 0.25đ 0.25đ B. Chương trình nâng cao: Câu IVa (2.0 điểm) + Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d. Khi đó MH qua M và cắt d + H thuộc d, suy ra: H ( 1+2t; -1+t; - t) );2;12( tttMH −+−−=⇒ + MH ⊥ d và d có VTCP )1;1;2( −= a Nên: 2(2t-1) – 2 + t + t = 0 3 2 =⇔ t ) 3 2 ; 3 4 ; 3 1 ( −−=⇒ MH Từ đó có pt MH: 2 1 4t 2t x = +t y = z = − − 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ Câu IVb (1.0 điểm) + Giả sử số phức z có dạng: z =a+bi, ta có z –i = a + (b-1)i + |z-i| ≤ 2 2)1( 22 ≤−+⇔ ba 4)1( 22 ≤−+⇔ ba Vậy tập hợp các điểm cần tìm biểu diễn số phức thỏa đề bài là hình tròn có tâm I(0;1) và bán kính R = 2 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ http://ductam_tp.violet.vn/ . 1 2 2 1 I dt t dt t − = = ∫ ∫ 1 1 2 2 1 2t = − 0 ,25 3 2 = 0 ,25 3. (1,0 điểm ) '( ) (1 ) x x x f x e xe e x − − − = − = − 0 ,25 [ ] '( ) 0 1 0;2f x x= ⇔ = ∈ 0 ,25 2 1 (0) 0, (2) 2. của OO’ . Bán kính a 3 a a 21 2 2 2 2 R IA AO OI ( ) ( ) 3 2 6 = = + = + = Diện tích mặt cầu : 2 a 21 7 a 2 2 S 4 R 4 ( ) 6 3 π = π = π = 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 A. Chương trình chuẩn Câu IV.a. ) 2 2 2 2 6 0 1 3 0 26 − + + + − + = Vậy phương trình mặt cầu (S): ( ) ( ) 2 2 2 2 3 26 x y z− + + + = 0,5 đ Câu IVb (1 điểm) + i ii z ++ −+ = 1 )21 ) (21 ( 2i)-i)(1-(1 = i i ++ −− 1 5 31 0 .25 đ 0 .25 đ http://ductam_tp.violet.vn/