101 Bài tập Hình 9 ( Ôn TS 10)

CHỦ ĐỀ :TỨ GIÁC NỘI TIẾP HINH HỌC 9 CHƯƠNG 3: TỨ GIÁC NỘI TIẾP 101 Bài (St) 1) Trên đường tròn đừơng kính AB lấy điểm M ( khác A và B ). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng MA 2 = MB.MC. 2)Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngòai đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.Chứng minh rằng MT 2 = MA.MB. 3):Qua điểm A nằm ngòai đường tròn (O), vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và Cm cắt nhau tại một điểm S nằm trong đường tròn . Chứng minh rằng cácgóc  + BSM= 2.CMN 4) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và tia phân giác góc A cắt đường tròn tại M . Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng : a) OM qua trung điểm của dây BC b) Am là tia phân giác của góc OAH 5) Cho tam giác ABC vng tại A. Trên tia AC lấy M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S, Chứng minh rằng : a) ABCD là tứ giác nội tiếp được b) Góc ABD = góc ACD c) CA là tia phân giác của góc SCB 6/Từ điểm A ở ngoài (O , R) vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC. Vẽ CH ⊥ AB cắt (O) tại E, cắt OA tại D. a/CMR: CO = CD b/CMR: OBDC là hình thoi c/Gọi M là trung điểm CE, BM cắt OH tại I . CMR: I là trung điểm của OH. d/Giả sử AB = OB. Tính C và S phần diện tích giới hạn bởi AB, AC và » BC 7/Cho ∆ABC ( = 1V). Bên ngoài tam giác vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính AC. Qua A vẽ đường thẳng xy cắt nửa đường tròn lần lượt tại D và E a/Tính : · · ADB , AEC b/CMR: BDEC là hình thang vuông c/Gọi P, Q, M là trung điểm của AB, AC, BC. CMR: MPAQ là hình chữ nhật. d/Gọi N là trung điểm DE. CMR: M, P, A, N, Q cùng nằm trên một đường tròn. 8/Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, E ∈ CD, AE cắt BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt CD tại K a/CMR: ∆AFK vuông cân b/CMR: ACFK nội tiếp, xác đònh tâm I c/CMR: ABFI nội tiếp d/Khi E di động trên CD thì I chạy trên đường nào. e/Cho DE = x . Tính C AEK theo a và x 9/Cho nữa đường tròn (O, R) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax và dây AC. Tia phân giác · CAx cắt (O) tại D, AD cắt BC tại E. a/∆ABE là tam giác gì? b/AC cắt BD tại K. CMR: AB ⊥ EK. c/BD cắt Ax tại F, tứ giác AKEF là hình gì? d/Cho biết Sin · 1 BAC 2 = . CMR: AK = 2CK. Tính S ∆AEB phần ở ngoài (O) theo R 10/Cho (O, R) có 2 đường kính AB ⊥ CD a/CMR: ABCD là hình vuông. b/Lấy E ∈ » BC nhỏ, trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB. CMR: ED là phân giác · AEB và ED // MB ; c/Khi E di chuyển trên » BC nhỏ thì M chạy trên đường nào ? THCSNT.C Đ .AG 20119 676421 -St CHỦ ĐỀ :TỨ GIÁC NỘI TIẾP 11/Cho (O, R), vẽ dây BC cố đònh, A ∈ » BC lớn sao cho ∆ABC nhọn, vẽ BB’ và CC’ là 2 đường cao của ∆ABC a/CMR: B, C’, B’, C cùng nằm trên một đường tròn. b/CMR: AB . AC’ = AC . AB’ c/Gọi M là điểm chính giữa » BC nhỏ, N là trung điểm AM. Khi A di động trên » BC lớn thì N chạy trên đường nào 12/Cho ∆ABC nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt AB tại D và cắt AC tại E. a/So sánh : · ADE và · ACB , · AED và · ABC b/BE cắt CD tại H, CMR: AH ⊥ BC c/Lấy điểm M bất kỳ trên đường tròn, AM cắt (O) tại N. Khi M chạy trên đường tròn thì trung điểm P của MN chạy trên đường nào ? 13/Cho ∆ABC cân tại A có đường cao AH = a, AB = AC = 3BC 2 . Vẽ (O) tiếp xúc với AB và AC tại B và C, AH cắt (O) tại D. a/Tính S ABC ; b/CMR: Đường tròn ngoại tiếp ∆ABC đi qua O. Tính R của đường tròn này. c/CMR: D là tâm của đường tròn nội tiếp ∆ABC . Tính bán kính r của đường tròn này. 14/Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ 2 tia di động sao cho Ax ⊥ By. Đường thẳng vuông góc với AB tại C, cắt Ax ở M và By ở N. a/CMR: AN ⊥ BM. Tìm trực tâm của ∆AMN và ∆BMN b/Gọi B’ đối xứng với B qua MN. CMR: AMB’N nội tiếp, xác đònh tâm O của đường tròn này. c/Khi Ax, By thay đổi thì điểm O chạy trên đường nào ? d/CMR: CM . CN = CA . CB e/Vẽ đường tròn đường kính MN cắt AB tại I và J. CMR: CI 2 = CJ 2 = CM . CN f/CMR: Khi Ax, By thay đổi thì I, J cố đònh 15/Cho nữa (O, R), đường kính AB và 2 điểm C, D thuộc đường tròn sao cho » AC < 90 0 và · COD = 90 0 . Lấy M ∈ (O) sao cho C là điểm chính giữa ¼ AM . Các dây AM, BM cắt OC, OD tại E và F. a/Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ? b/CMR: D là điểm chính giữa ¼ MB c/Tiếp tuyến tại M cắt các tia OC, OD tại I và K. CMR: OBKM và OAIM nội tiếp d/Tia AM cắt BD tại S. Hãy xác đònh vò trí của C và D để 5 điểm M. O, B, K, S cùng nằm trên một đường tròn. 16/Cho nữa đường tròn (O, R) đường kính AB, vẽ bán kính OC ⊥ AB. Nối A với trung điểm I của OC cắt tiếp tuyến tại B ở P. a/CMR: OBPC là hình vuông. b/Tính diện tích phần tứ giác OBPC ở ngoài đường tròn (O). 17/Cho (O , R).Từ điểm M ở ngoài (O) vẽ ø2 tiếp tuyến MA, MB. Đường trung trực của BC cắt AC tại K. a/CMR: MAOB nội tiếp. b/CMR: MKCO là hình bình hành c/CMR : MKAO nội tiếp. d/Cho OM = 2R. Tính phần diện tích của ∆MAB nằm ngoài (O) 18/ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O ). Đường tròn đường kính BC cắt AB tại E, cắt AC tại F, CE cắt BF tại K . a/Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp . b/ BF kéo dài cắt đường tròn ( O ) tại I .Chứng minh CI = CK c/ CE kéo dài cắt ( O ) tại H . Chứng minh IH // EF . d/ Chứng minh : OA ⊥ HI . 19/ Từ điểm A trên đường tròn (O ; R) đặt liên tiếp 3 điểm A. B, C sao cho sđ cung AB = 90 0 ; sđ cung BC = 30 0 . Kẻ AH vng góc với đường thẳng BC. a) Chứng minh tứ giác AHBO nội tiếp ;b) Chứng minh HA = HC c) Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AB, BH d) Trên cung lớn AC , lấy điểm D . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD . Khi điểm D chạy trên cung lớn AC thì điểm I chạy trên đường nào . THCSNT.C Đ .AG 20119 676421 -St CHỦ ĐỀ :TỨ GIÁC NỘI TIẾP 20/ Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O) . Từ A và B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn chúng cắt nhau tại S .Gọi K là một điểm lưu động trên cung nhỏ AC. Trên đoạn BK lấy một điểm H sao cho KH = KC . a)Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp . b)Tính góc ASB . c)Chứng tỏ ΔKHC đều . d) Khi điểm K chạy trên cung nhỏ AC thì điểm H chạy trên đường nào ? 21/ Cho ∆ABC có  = 90° ; AB < AC ; đường cao AH. trên HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Kẻ CE ⊥ AD ( E ∈ AD ). CMR : a/ Tứ giác AHEC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn này . b/ AB là tiếp tuyến của (O) c/ CH là phân giác của góc ACE . d/ Tính diện tích hình giới bởi các đoạn thẳng CA ; CH và cung nhỏ AH của (O). Biết AC = 8 cm ; · ACB = 30° 22/ Cho (O, R) , dây BC cố định, A là điểm chính giữa cung BC. Lấy M ∈ AC (M ≠ A ≠ C) Kẻ tia Bx ⊥ MA tại I và cắt CM tại D. a/CMR: · AMD = · ABC và MA là phân giác · BMD b/CMR: A là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD và · BDC không đổi. c/ DA cắt BC tại E cắt (O) tại F.CMR: AE . AF không đổi.Tính tích AE . AF theo R và · ABC = α 23/ Cho (O, R), dây AB. Gọi C ∈ AB, M là điểm chính giữa cung AB. Tia MC cắt (O) tại D, đường kính MN cắt AB tại I. a/ CMR: CDNI nội tiếp. ; b/ CMR: Tích: MC . MD không đổi c/ Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ACD. CMR: J nằm trên đường thẳng cố định.d/ CM: MA là tiếp tuyến của (J). 24/ Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB, vẽ bán kính OC ⊥ AB. Tiếp tuyến tại M ∈ BC cắt tiếp tuyến tại A ở P. Tia BM cắt OC tại N. a/ CMR: AONP là hình chữ nhật. ;b/ NA cắt OP tại K, OC cắt MP tại I, OM cắt PN tại J. CMR: K, I, J thẳng hàng. 25/ Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O, R), vẽ AD, BE, CF là ba đường cao. Gọi H là trực tâm. a/ Tìm tất cả các tứ giác nội tiếp. b/ CMR: BO ⊥ FD c/ Giả sử BC cố định. Khi A di động trên (O) thì H chạy trên đường nào? 26/ Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự, AC = a. Gọi I là trung điểm AC. a/ Vẽ về cùng 1 phía đường thẳng d các nửa đường tròn đường kính AC, AB, BC. Cho BC = 2 a . Tính diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn. b/ Khi AC cố định. Tìm vị trí của B để diện tích (câu a) lớn nhất. c/ Trên tia đối tia AC, lấy điểm I , từ I vẽ tiếp tuyến IM với nửa đường tròn đường kính AC. Gọi H là hình chiếu của M lên (d) . CMR: DH . DI = DA . DC 27/ Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O, R), H là trực tâm. Tia phân giác của BAC cắt BC tại I và cắt (O) tại M. a/ CMR: AM là phân giác OAH ; b/ CMR: MC 2 = MI . MA ; c/ CMR : IA . IM = R 2 – OI 2 d/ Kẽ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C lần lượt cắt AN tại P và Q. CMR: PCBQ nội tiếp. 28/ Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và AB BD⊥ . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB a/ Chứng minh FDG ∆ đồng dạng với ECG ∆ .b/ Chứng minh EGF F ⊥ 29/ Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường kính AD, tâm O. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: a/ Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được; b/ E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH; c/ Năm điểm B, C, I, O, H ở trên một đường tròn. 30/ Cho (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H ≠ A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H) THCSNT.C Đ .AG 20119 676421 -St CHỦ ĐỀ :TỨ GIÁC NỘI TIẾP a) Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH. b) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. c) Xác định vị trí điểm H để AB= R . 31) Cho ∆ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S. C/m BADC nội tiếp. BC cắt (O) ở E.Cmr:MR là phân giác của góc AED. C/m CA là phân giác của góc BCS. 32) Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. Chứng minh:BEDC nội tiếp. Chứng minh: góc DEA=ACB. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân giác của góc MAN. Chứng tỏ: AM2=AE.AB. 33) Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M là trung điểm của đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. 1.Tứ giác ADBE là hình gì? 2.C/m DMBI nội tiếp. 3.C/m B;I;C thẳng hàng và MI=MD. 4.C/m MC.DB=MI.DC 5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’) 34) Cho ∆ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM>MC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn này cắt BC tại E.Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. C/m ADCB nội tiếp. C/m ME là phân giác của góc AED. C/m: Góc ASM=ACD. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy. 35)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’. C/m AEDB nội tiếp. C/m DB.A’A=AD.A’C C/m:DE⊥AC. Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF. 36)Từ điểm A nằm ngồi đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC (B,C là các tiếp điểm) và các tuyến AMN của (O) a) Chứng minh AB 2 =AM.AN b) Gọi I là trung điểm của MN . Chứng minh 5 điểm A,I,O,B,C cùng nằm trên một đường tròn . c) Chứng minh AI là tia phân giác của góc IBC . 37)Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B , I là điểm bất kỳ trên đường thẳng AB và ở ngồi đoạn AB . THCSNT.C Đ .AG 20119 676421 -St CHỦ ĐỀ :TỨ GIÁC NỘI TIẾP a) Từ I , vẽ tiếp tuyến IC đến đường tròn (O) và tiếp tuyến ID đến (O’) . Chứng minh rằng IC 2 =ID 2 =IA.IB b) Từ I , vẽ cát tuyến IEF đến đường tròn (O) và cát tuyến IMN đến (O’) . Chứng minh rằng : + IE.IF =IM.IN=IA.IB + 4 điểm E,F,M,N luôn nắm trên đường tròn . 38)Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) .Các đường cao AD và CE cắt nhau tại H . a) Chứng minh tứ giác BEHD , AEDC nội tiếp . b) CM : AE.EB=EH.EC c) BH và ED cắt nhau tại I . Chứng minh BI.HK =BK.HI d) Cho AB =13cm,AC=20cm, BC=21cm.Tín bán kinh (O). 39)Cho đường tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA=2R .Vẽ các tiếp tuyến AB,AC (B,C là các tiếp điểm). Đường thẳng OA cắt BC tại H , cắt cung nhỏ và cung lớn BC tại I và K . a) Chứng minh OA⊥ BC và H là trung điểm OI . b) Chứng minh tam giác ABC đều . c) Chứng minh : ABKC là hình thoi . d) Từ điểm D bất kỳ trên cung nhỏ BC (D khác B và C ), vẽ tiếp tuyến cắt AB ,AC lần lượt tại M,N . OM và ON cắt BC lần lượt tại E,F .Chứng minh C ∆ ABC = 2AB . Tính góc MON . e) Chứng minh E,O,C,N cùng nằm trên một đường tròn . Suy ra OD,NE,MF đồng quy . 40)Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A và C) . a) Chứng minh AT 2 =AB.AC b) Tia phân giác góc BTC cắt BC tại D và cắt (O) tại M . Chứng minh : OM ⊥ BC c) Chứng minh AD=AT . d) Gọi H là hình chiếu của T trên OA . Chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp . 41)Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) các đường cao AD,BM,CN cắt nhau tại H .Gọi K là trung điểm của AH . a) Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp và K là tậm đường tròn ngoại tiếp ∆MHN . b) Gọi L là điểm đối xứng của H qua BC . Chứng minh AM.AC=AN.AB và L thuộc đường tròn (O) . c) Gọi I là giao điểm AH và MN . Chứng minh MB là tia phân giác góc NMD và IH.AD=AI.DH . d) Chứng minh I là trực tậm ∆BKC. 42)Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) , AH là đường cao . Vẽ đường tròn tậm H bán kính AH cắt AB tại E và cắt AC tại F . a) Chứng minh E,H,F thẳng hàng . b) Gọi AM là đường trung tuyến . Chứng minh : AB 2 +AC 2 ≥4QH.AM . c) Chứng minh · · AEF ACB= , từ đó suy ra tứ giác EBFC nội tiếp (I) . d) Chứng minh AM ⊥EF e) Chứng minh AHIM là hình bình hành . f) Cho · · 2.ABC ACB= ,AB=2cm . Tính diện tích ∆HFC . 43)Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R) ,AB= 2R ,tiếp tuyến tại A,B cắt nhau tại I . a) CHứng minh · 0 90AOB = b) Chứng minh tứ giác IAOB là hình vuông . c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây và cung nhỏ AB của đường tròn (O;R) theo R. d) Vẽ đường thẳng từ I song song với AC cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N và cắt BC tại J . Chứng minh J là trung điểm MN . 44)Cho đường tròn tâm O , bán kính 3cm và góc ở tậm AOB có số đo 600 . Tính độ dài cung lớn AB, độ dài dây AB và diện tích hình quạt trong góc ở tậm AOB . 45)Cho ∆ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) nội tiếp trong đường tròn (O) .Tia phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn (O) tại I (I khác A) THCSNT.C Đ .AG 20119 676421 -St CHỦ ĐỀ :TỨ GIÁC NỘI TIẾP a) Chứng minh : I là điểm chính giữa cung BC và OI ⊥ BC . b) Chứng minh AB.AC = AD.AI c) Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M .Chứng minh O,I ,M thẳng hàng . d) Một cát tuyến qua M và song song AB cắt đường tròn (O) tại E và E , cắt AC tại K . Chứng minh OMCK là tứ giác nội tiếp và K là trung điểm EF . 46)Cho tam giác ABC vng tại A (AB<AC) đường trung trực của cạnh huyền BC cắt BC tại M, cắt AC tại D gọi E là điểm đối xứng của D qua A và F là giao điểm của BE và MA Chứng minh : a) Tứ giác BADM nội tiếp được b) BC 2 = 2AC.CD. c) BF = AC 47) Cho (O) đường kính AB. S là một điểm bên ngòai đường tròn, SA và SB cắt đường tròn lần lượt tại Mvà N. Gọi H là giao điểm của BM và AN . a) Chứng minh : SH vng góc với AB b) Chứng minh SMHN nội tiếp được. Xác định tâm và bán kính đtròn đó 48)Cho tam giác ABC vng tại A. Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của (O) tại A. Các tiếp tuyến tại B và C cắt d theo thứ tại D và E, chứng minh rằng a) DE = BD + CE b) ∆ DOE vng c) BD . CE = R 2 49):Cho 3 điểm A, B, C cố định B nằm giữa A và C, (O) thay đổi qua B và C. Vẽ đường kính MN vng góc BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC ). Tia AN cắt (O) tại F hai dây BC và MF cắt nhau tại E.C/minh : a) Tứ giác DEFN nội tiếp được b) AD.AE = AF.AN c) Đường thẳng NF đi qua một đường thẳng cố định. 50)Cho A ∈ (O) đường kính BC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm D sao cho cung :AD = CD. Gọi E là giao điểm của AB và CD. H là giao điểm của BD và AC a) Chứng minh: ∆BEC cân, tính BE theo R b) Chứng minh: tứ giác AHDE nội tiếp, xác định tâm I c) Chứng minh : BH.BD = BA.BC 51/Cho ∆ABC nhọn có  = 45 0 , vẽ đ.tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC tại D và E. a. CMR: AE = EB b. BE cắt CD tại H. CMR: đường trung trực của DH đi qua trung điểm I của AH c. CMR: OE là tiếp tuyến của đ.tròn ngoại tiếp ∆ADE 52/Cho (O , R), đường kính AB, tiếp tuyến tại M ∈ (O) cắt hai tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. a/CMR: CD = CA + DB ; · COD = 1V. b/CMR: AC . BD = R 2 bằng 2 cách c/Cho · o BAM 60= ; chứng tỏ ∆BDM đều, tính S BDM . 53/Trên (O , R) lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự sao cho AB = R 2 , » BC = 30 0 a/Tính số đo » AB , AC b/Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BC tại D. Tính AD, DB, BC c/Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MAC. Với M là điểm di động trên » AC lớn thì I chạy trên đường nào ? 54/Cho (O, R) đường kính AB, vẽ cát tuyến MN quay quanh H là trung điểm OB. Gọi I là trung điểm MN, vẽ AA’ ⊥ MN, BI cắt AA’ tại D. a/CMR: AA’ // OI; b/CMR: DMBN là hình bình hành ; c/CMR: D là trực tâm ∆AM d/Khi MN quay xung quanh điểm H. Thì điểm I ; D chạy trên đường nào ? 55/Cho ∆ABC (AB < AC) vuông tại A và nội tiếp (O,R). Gọi P là trung điểm AC, AH là đường cao ∆ABC a/CMR: APOH nội tiếp, xác đònh tâm I ; b/AB cắt (I) tại N. CMR: N, I, P thẳng hàng THCSNT.C Đ .AG 20119 676421 -St CHỦ ĐỀ :TỨ GIÁC NỘI TIẾP c/Cho AB = R . Tính S phần giới hạn bởi » AC nhỏ của (O), cung ¼ APO của (I) và OC 56) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. 1) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp. 2) Chứng minh AD. AC = AE. AB. 3) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA ⊥ DE. 4) Cho biết OA = R , · 0 60BAC = . Tính BH. BD + CH. CE theo R 57) Cho ∆ABC (A=1v),đường cao AH.Đường tròn tâm H,bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của ∆ABC cắt DE tại I. 1. Chứng minh D;H;E thẳng hàng. 2. Chứng minh BDCE nội tiếp.Xác đònh tâm O của đường tròn này. 3. Chứng minh AM⊥DE. 4. Chứng minh tứ giác AHOM là hình bình hành. 58).Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C là điểm bất kỳ thuộc đường tròn đó, ( C≠ A&B). M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và BC. Các đường thẳng BN và AC cắt nhau tại I, các dây cung AN và BC cắt nhau ở P. Chứng minh: 1)Tứ giác ICPN nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. 2)KN là tiếp tuyến của đường tròn (O;R). 3)Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O;R) thì đường thẳng MN ln tiếp xúc với một đường tròn cố định . 59) Cho ∆ABC có 2 góc nhọn,đường cao AH.Gọi K là điểm dối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng của H qua AC.E;F là giao điểm của KI với AB và AC. 1. Chứng minh AICH nội tiếp. 2. Chứng minh AI=AK 3. Chứng minh các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn. 4. Chứng minh CE;BF là các đường cao của ∆ABC. 5. Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của ∆HFE chính là trực tâm của ∆ABC. 60)Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC = 2R, A là điểm chính giữa của nửa đường tròn, M là trung điểm AC. Đường thẳng kẻ từ A vng góc với BM ở E và cắt BC ở F. Gọi G là giao điểm của AO và BM. 1. Chứng minh tứ giác AEOB nội tiếp. 2. Tính số đo góc OEF. 3. Chứng minh BF = 2FC. 4. Tính BG. BE + AG. AO theo R. 61)Cho ∆ABC(AB=AC) nội tiếp trong (O).Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Trên tia BM lấy MK=MC và trên tia BA lấy AD=AC. 1. Chứng minh : · · 2BAC BKC= 2. Chứng minh BCKD nội tiếp.,xác đònh tâm của đường tròn này. 3. Gọi giao điểm của DC với (O) là I. Chứng minh B;O;I thẳng hàng. 4. Chứng minh DI=BI. 62) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I là điểm chính giữa cung AB(Cung AB không chứa điểm C;D).IC và ID cắt AB ở M;N. 1. Chứng minh D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn. 2. Chứng minh NA.NB=NI.NC 3. DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E.Chứng minh :EF//AB. 4. Chứng minh :IA 2 =IM.ID. THCSNT.C Đ .AG 20119 676421 -St CHỦ ĐỀ :TỨ GIÁC NỘI TIẾP 63)Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và C là điểm di chuyển trên nửa đường tròn (C khác A và B). Kẻ tia Ot vng góc AC ở K và cắt nửa đường tròn ở M. Đường thẳng kẻ từ C song song với MB cắt tia AM ở H và cắt tia OM ở E. 1. Chứng minh tứ giác CHMK nội tiếp. 2. Chứng minh EM = BC 3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AE là tiếp tuyến của nửa đường tròn. 4. Trong trường hợp AE là tiếp tuyến của (O), hãy tính phần diện tích tam giác AEC ở bên ngồi (O). 64)Cho hình vuông ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F.Kẻ trung tuyến AI của ∆AEF,AI kéo dài cắt CD tại K.qua E dựng đường thẳng song song với AB,cắt AI tại G. 1. Chứng minh AECF nội tiếp. 2. Chứng minh : AF 2 =KF.CF 3. Chứng minh :EGFK là hình thoi. 4. Chứng minh :khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi ∆CKE có giá trò không đổi. 5. Gọi giao điểm của EF với AD là J. Chứng minh :GJ ⊥ JK. 65)Cho ∆ABC.Gọi H là trực tâm của tam giác.Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao điểm của HD và BC. 1. Chứng minh :Tứ giác ABDC nội tiếp trong đường tròn tâm O;nêu cáh dựng tâm O. 2. So sánh · BAH và · OAC . 3. CH cắt OD tại E. Chứng minh AB.AE=AH.AC 4.Gọi giao điểm của AI và OH là G. Chứng minh G là trọng tâm của ∆ABC. 66): Cho đường tròn (O) và cung AB=90 o .C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB.Các đường cao AI;BK;CJ của ∆ABC cắt nhau ở H.BK cắt (O) ở N;AH cắt (O) tại M.BM và AN gặp nhau ở D. 1. Chứng minh :B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn. 2. Chứng minh : BI.KC=HI.KB 3. Chứng minh :MN là đường kính của đường tròn (O) 4. Chứng minh tứ giác ACBD là hình bình hành. 5. Chứng minh :OC//DH. 67)Cho tam giác ABC vng ở C nội tiếp trong đường tròn tâm O. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M bất kì (M khác A và C). Vẽ đường tròn tâm A bán kính AC, đường tròn này cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác C). Đoạn thẳng BM cắt đường tròn tâm A ở N. 1. Chứng minh MB là tia phân giác của · CMD . 2. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AC) 3. Chứng minh · · CNM MDN= . 4. Cho biết MC = a; MD = b. Hãy tính đoạn thẳng MN theo a và b. 68) Cho hình vuông ABCD.Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN<ND;Vẽ đường tròn tâm O đườn kính BN.(O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại E. 1. Chứng minh tam giác BFN vuông cân. 2. Chứng minh :Tứ giác MEBA nội tiếp 3. Gọi giao điểm của ME và NF là Q.MN cắt (O) ở P.Chứng minh B;Q;P thẳng hàng. 4. Chứng tỏ ME//PC và BP=BC. 5. Chứng minh ∆FPE là tam giác vuông 69) Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB và CD cắt nhau ở E.BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K. 1. Chứng minh : CB là phân giác của góc ACE. THCSNT.C Đ .AG 20119 676421 -St CHỦ ĐỀ :TỨ GIÁC NỘI TIẾP 2. Chứng minh :Tứ giác AQEC nội tiếp. 3. Chứng minh :KA.KC=KB.KD 4. Chứng minh :QE//AD. 70) Cho (O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC.Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn.CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N.Dựng hình bình hành AECD. 1. Chứng minh D nằm trên đường thẳng BF. 2. Chứng minh ADCF nội tiếp. 3. Chứng minh CF.CN=CE.CM 4. Chứng minh MN//AC. 5. Gọi giao điểm của AF với MN là I.Chứng minh DF đi qua trung điểm của NI. 71) Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuông góc với nhau.Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB 1. Chứng minh ACBD là hình vuông. 2. AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I.Gọi J là giao điểm của DM và AB. Chứng minh IB.IC=IA.IM 3. Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của · CJM 4. Tính diện tích ∆AID theo R. 72) Cho ∆ABC vng ở A.Kẻ AH ⊥ BC.Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC.Đường thẳng OO’ cắt cạnh AB;AC tại M và N. 1. Chứng minh ∆ OHO’ là tam giác vuông. 2. Chứng minh HB.HO’=HA.HO 3. Chứng minh ∆HOO’ ∆HBA. 4. Chứng minh Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp. 5. Chứng minh ∆AMN vuông cân. 73) Cho nửa đường tròn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO.Qua I dựng đường thẳng vuông góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn ở K.Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt đường thẳng IK tại D.Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N. 1. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp. 2. Chứng minh CM.CA=CI.CD. 3. Chứng minh ND=NC. 4. CB cắt AD tại E.C/m E nằm trên đường tròn (O) và C là tâm đường tròn nội tiếp ∆EIM. 5. Giả sử C là trung điểm IK.Tính CD theo R. 74)Cho ∆ABC.Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho góc PBA=PAC.Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB;AC. 1. Chứng minh tứ giác AHPK nội tiếp. 2. Chứng minh HB.KP=HP.KC. 3. Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC . Chứng minh HD=EF; DF=EK 4. Chứng minh đường trung trực của HK đi qua F. 75)Cho hình bình hành ABCD(A>90 o ).Từ C kẻ CE;Cf;CG lần lượt vuông góc với AD;DB;AB. 1. Chứng minh tứ giác DEFC nội tiếp. 2. Chứng minh CF 2 =EF.GF. 3.Gọi O là giao điểm AC và DB.Kẻ OI⊥CD. Chứng minh OI đi qua trung điểm của AG 4.Chứng tỏ EOFG là một tứ giác nội tiếp. THCSNT.C Đ .AG 20119 676421 -St CHỦ ĐỀ :TỨ GIÁC NỘI TIẾP 76) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B.Các đường thẳng AO cắt (O) lần lượt ở C và D;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở E và F. 1. Chứng minh C;B;F thẳng hàng. 2. Chứng minh CDEF nội tiếp. 3. Chứng minh û DA.FE=DC.EA 4. Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE. 5. Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O);(O’) 77) Cho (O;R).Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F.Trên xy lấy điểm A nằm ngoài đoạn EF,vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O).Gọi H là trung điểm EF. 1. Chứng tỏ 5 điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên một đường tròn. 2. Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K. Chứng minh OI.OA=OH.OK=R 2 . 3. Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào? 4. Chứng minh KE và KF là hai tiếp tyuến của (O) 78) Cho ∆ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt nhau ở D.Qua A kẻ AE và AF lần lượt vuông góc với BN và CM.Các đường thẳng AE và AF cắt BC ở I;K. 1. Chứng minh AFDE nội tiếp. 2. Chứng minh AB.NC=BN.AB 3. Chứng minh FE//BC 4. Chứng minh tứ giác ADIC nội tiếp. 79) Cho ∆ABC( µ A =1v);AB=15 cm;AC=20 cm.Dựng đường tròn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính AC.Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D. 1. Chứng tỏ D nằm trên BC. 2. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC.AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N. Chứng minh DE.AC=AE.MC 3. Chứng minh AN=NE và O;N;O’ thẳng hàng. 4. Gọi I là trung điểm MN.Chứng minh · ' OIO =90 o . 5. Tính diện tích tam giác AMC. 80)Trên (O;R),ta lần lượt đặt theo một chiều,kể từ điểm A một cung AB=60 o , rồi cung BC=90 o và cung CD=120 o . 1. Chứng minh ABCD là hình thang cân. 2. Chứng minh AC⊥DB. 3. Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD. 4. Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB.Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P;PN cắt DB tại Q. Chứng minh MN là phân giác của góc PMQ. 81)Cho ∆ đều ABC có cạnh bằng a.Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc B của tam giấcBC.Từ D dựng tia Dx vuông góc với DB.Trên Dx lấy điểm E sao cho ED = DB (D và E nằm hai phía của đường thẳng AB).Từ E kẻ EF⊥BC. Gọi O là trung điểm EB. 1. Chứng minh các tứ giác AEBC và EDFB nội tiếp,xác đònh tâm và bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a. 2. Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M.EC cắt (O) ở N.C/m EBMC là thang cân.Tính diện tích. 3. Chứng minh EC là phân giác của · DAC 4. Chứng minh FD là đường trung trực của MB. THCSNT.C Đ .AG 20119 676421 -St [...]... CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC 93 ) Cho (O) đường kính AB;P là một điểm di động trên cung AB sao cho PA . CHỦ ĐỀ :TỨ GIÁC NỘI TIẾP HINH HỌC 9 CHƯƠNG 3: TỨ GIÁC NỘI TIẾP 101 Bài (St) 1) Trên đường tròn đừơng kính AB lấy điểm M ( khác A và B ). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp. tiếp. THCSNT.C Đ .AG 201 19 676421 -St CHỦ ĐỀ :TỨ GIÁC NỘI TIẾP 76) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B.Các đường thẳng AO cắt (O) lần lượt ở C và D;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt. BI 2 =BF.BC-IF.IC 93 ) Cho (O) đường kính AB;P là một điểm di động trên cung AB sao cho PA<PB. Dựng hình vuông APQR vào phía trong đường tròn.Tia PR cắt (O) tại C. a)C/m ∆ACB vuông cân. b)Vẽ phân