3:Qua điểm A nằm ngịai đường trịn O, vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và Cm cắt nhau tại một điểm S nằm trong đường trịn.. 8/Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, E
Trang 1HINH HỌC 9 CHƯƠNG 3: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
101 Bài (St)
1) Trên đường trịn đừơng kính AB lấy điểm M ( khác A và B ) Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A Đường thẳng
BM cắt tiếp tuyến đĩ tại C Chứng minh rằng MA 2 = MB.MC.
2)Cho đường trịn (O) và điểm M nằm bên ngịai đường trịn đĩ Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.Chứng minh rằng MT 2 = MA.MB.
3):Qua điểm A nằm ngịai đường trịn (O), vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và Cm cắt nhau tại một điểm S nằm trong đường trịn Chứng minh rằng cácgĩc  + BSM= 2.CMN
4) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và tia phân giác gĩc A cắt đường trịn tại M Vẽ đường cao AH
Chứng minh rằng : a) OM qua trung điểm của dây BC
b) Am là tia phân giác của gĩc OAH
5) Cho tam giác ABC vuơng tại A Trên tia AC lấy M và vẽ đường trịn đường kính MC Kẻ BM cắt đường trịn tại D Đường thẳng DA cắt đường trịn tại S, Chứng minh rằng :
a) ABCD là tứ giác nội tiếp được b) Gĩc ABD = gĩc ACD
c) CA là tia phân giác của gĩc SCB 6/Từ điểm A ở ngoài (O , R) vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC Vẽ CH AB cắt (O) tại E, cắt OA tại D.
a/CMR: CO = CD b/CMR: OBDC là hình thoi
c/Gọi M là trung điểm CE, BM cắt OH tại I CMR: I là trung điểm của OH.
d/Giả sử AB = OB Tính C và S phần diện tích giới hạn bởi AB, AC và BC
7/Cho ABC (Â = 1V) Bên ngoài tam giác vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính AC Qua A vẽ đường thẳng xy cắt nửa đường tròn lần lượt tại D và E
a/Tính : ADB , AEC b/CMR: BDEC là hình thang vuông
c/Gọi P, Q, M là trung điểm của AB, AC, BC CMR: MPAQ là hình chữ nhật.
d/Gọi N là trung điểm DE CMR: M, P, A, N, Q cùng nằm trên một đường tròn.
8/Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, E CD, AE cắt BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt CD tại K
a/CMR: AFK vuông cân b/CMR: ACFK nội tiếp, xác định tâm I
c/CMR: ABFI nội tiếp d/Khi E di động trên CD thì I chạy trên đường nào.
e/Cho DE = x Tính C AEK theo a và x
9/Cho nữa đường tròn (O, R) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax và dây AC Tia phân giác CAx cắt (O) tại D,
AD cắt BC tại E.
a/ABE là tam giác gì? b/AC cắt BD tại K CMR: AB EK.
c/BD cắt Ax tại F, tứ giác AKEF là hình gì?
d/Cho biết Sin BAC 1
2
CMR: AK = 2CK Tính S AEB phần ở ngoài (O) theo R 10/Cho (O, R) có 2 đường kính AB CD
a/CMR: ABCD là hình vuông.
b/Lấy E BC nhỏ, trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB CMR: ED là phân giác AEB và ED // MB ; c/Khi E di chuyển trên BC nhỏ thì M chạy trên đường nào ?
Trang 211/Cho (O, R), vẽ dây BC cố định, A BC lớn sao cho ABC nhọn, vẽ BB’ và CC’ là 2 đường cao của
ABC
a/CMR: B, C’, B’, C cùng nằm trên một đường tròn b/CMR: AB AC’ = AC AB’
c/Gọi M là điểm chính giữa BC nhỏ, N là trung điểm AM Khi A di động trên BC lớn thì N chạy trên đường nào
12/Cho ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt AB tại D và cắt AC tại E.
a/So sánh : ADE và ACB , AED và ABC b/BE cắt CD tại H, CMR: AH BC
c/Lấy điểm M bất kỳ trên đường tròn, AM cắt (O) tại N Khi M chạy trên đường tròn thì trung điểm P của
MN chạy trên đường nào ?
13/Cho ABC cân tại A có đường cao AH = a, AB = AC = 3BC
2 Vẽ (O) tiếp xúc với AB và AC tại B và C,
AH cắt (O) tại D.
a/Tính S ABC ; b/CMR: Đường tròn ngoại tiếp ABC đi qua O Tính R của đường tròn này.
c/CMR: D là tâm của đường tròn nội tiếp ABC Tính bán kính r của đường tròn này.
14/Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Vẽ 2 tia di động sao cho Ax By Đường thẳng vuông góc với AB tại C, cắt Ax ở M và By ở N.
a/CMR: AN BM Tìm trực tâm của AMN và BMN
b/Gọi B’ đối xứng với B qua MN CMR: AMB’N nội tiếp, xác định tâm O của đường tròn này.
c/Khi Ax, By thay đổi thì điểm O chạy trên đường nào ? d/CMR: CM CN = CA CB
e/Vẽ đường tròn đường kính MN cắt AB tại I và J CMR: CI 2 = CJ 2 = CM CN
f/CMR: Khi Ax, By thay đổi thì I, J cố định
15/Cho nữa (O, R), đường kính AB và 2 điểm C, D thuộc đường tròn sao cho AC < 90 0 và COD = 90 0 Lấy M
(O) sao cho C là điểm chính giữa AM Các dây AM, BM cắt OC, OD tại E và F.
a/Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ? b/CMR: D là điểm chính giữa MB
c/Tiếp tuyến tại M cắt các tia OC, OD tại I và K CMR: OBKM và OAIM nội tiếp
d/Tia AM cắt BD tại S Hãy xác định vị trí của C và D để 5 điểm M O, B, K, S cùng nằm trên một đường tròn.
16/Cho nữa đường tròn (O, R) đường kính AB, vẽ bán kính OC AB Nối A với trung điểm I của OC cắt tiếp tuyến tại B ở P.
a/CMR: OBPC là hình vuông b/Tính diện tích phần tứ giác OBPC ở ngoài đường tròn (O).
17/Cho (O , R).Từ điểm M ở ngoài (O) vẽ ø2 tiếp tuyến MA, MB Đường trung trực của BC cắt AC tại K a/CMR: MAOB nội tiếp b/CMR: MKCO là hình bình hành
c/CMR : MKAO nội tiếp d/Cho OM = 2R Tính phần diện tích của MAB nằm ngoài (O)
18/ Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn ( O ) Đường trịn đường kính BC cắt AB tại E, cắt
AC tại F, CE cắt BF tại K
a/Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp b/ BF kéo dài cắt đường trịn ( O ) tại I Chứng minh CI = CK
c/ CE kéo dài cắt ( O ) tại H Chứng minh IH // EF d/ Chứng minh : OA HI
19/ Từ điểm A trên đường trịn (O ; R) đặt liên tiếp 3 điểm A B, C sao cho sđ cung AB = 90 0 ; sđ cung BC =
30 0 Kẻ AH vuơng gĩc với đường thẳng BC
a) Chứng minh tứ giác AHBO nội tiếp ;b) Chứng minh HA = HC c) Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AB,
BH
d) Trên cung lớn AC , lấy điểm D Gọi I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ACD Khi điểm D chạy trên cung lớn AC thì điểm I chạy trên đường nào
Trang 320/ Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O) Từ A và B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn chúng cắt nhau tại S Gọi
K là một điểm lưu động trên cung nhỏ AC Trên đoạn BK lấy một điểm H sao cho KH = KC
a)Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp b)Tính góc ASB c)Chứng tỏ ΔKHC đều KHC đều
d) Khi điểm K chạy trên cung nhỏ AC thì điểm H chạy trên đường nào ?
21/ Cho ABC có Â = 90 ; AB AC ; đường cao AH trên HC lấy điểm D sao cho HD = HB Kẻ CE AD ( E
AD ) CMR :
a/ Tứ giác AHEC nội tiếp Xác định tâm O của đường tròn này b/ AB là tiếp tuyến của (O)
c/ CH là phân giác của góc ACE d/ Tính diện tích hình giới bởi các đoạn thẳng CA ; CH và cung nhỏ AH của (O) Biết AC = 8 cm ; ACB = 30
22/ Cho (O, R) , dây BC cố định, A là điểm chính giữa cung BC Lấy M AC (M A C) Kẻ tia Bx MA tại I và cắt CM tại D.
a/CMR: AMD= ABC và MA là phân giác BMD
b/CMR: A là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD và BDC không đổi.
c/ DA cắt BC tại E cắt (O) tại F.CMR: AE AF không đổi.Tính tích AE AF theo R và ABC =
23/ Cho (O, R), dây AB Gọi C AB, M là điểm chính giữa cung AB Tia MC cắt (O) tại D, đường kính MN cắt AB tại I.
a/ CMR: CDNI nội tiếp ; b/ CMR: Tích: MC MD không đổi
c/ Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp ACD CMR: J nằm trên đường thẳng cố định.d/ CM: MA là tiếp tuyến của (J).
24/ Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB, vẽ bán kính OC AB Tiếp tuyến tại M BC cắt tiếp tuyến tại A ở P Tia BM cắt OC tại N.
a/ CMR: AONP là hình chữ nhật ;b/ NA cắt OP tại K, OC cắt MP tại I, OM cắt PN tại J CMR: K, I, J thẳng hàng.
25/ Cho ABC nhọn nội tiếp (O, R), vẽ AD, BE, CF là ba đường cao Gọi H là trực tâm.
a/ Tìm tất cả các tứ giác nội tiếp b/ CMR: BO FD
c/ Giả sử BC cố định Khi A di động trên (O) thì H chạy trên đường nào?
26/ Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự, AC = a Gọi I là trung điểm AC.
a/ Vẽ về cùng 1 phía đường thẳng d các nửa đường tròn đường kính AC, AB, BC.
Cho BC =
2
a
Tính diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn.
b/ Khi AC cố định Tìm vị trí của B để diện tích (câu a) lớn nhất.
c/ Trên tia đối tia AC, lấy điểm I , từ I vẽ tiếp tuyến IM với nửa đường tròn đường kính AC Gọi H là hình chiếu của M lên (d) CMR: DH DI = DA DC
27/ Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O, R), H là trực tâm Tia phân giác của BAC cắt BC tại I và cắt (O) tại M.
a/ CMR: AM là phân giác OAH ; b/ CMR: MC 2 = MI MA ; c/ CMR : IA IM = R 2 – OI 2
d/ Kẽ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C lần lượt cắt AN tại P và Q CMR: PCBQ nội tiếp 28/ Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và ABBD Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB
a/ Chứng minh FDG đồng dạng với ECG b/ Chứng minh GFEF
29/ Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường kính AD, tâm O Hai đường chéo AC
và BD cắt nhau tại E Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE Chứng minh rằng:
a/ Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được; b/ E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH;
c/ Năm điểm B, C, I, O, H ở trên một đường tròn.
Trang 430/ Cho (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A Trên d lấy điểm H ≠ A và AH <R Qua H kẻ đường thẳng vuơng gĩc với d, đường thẳng này cắt đường trịn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)
a) Chứng minh gĩc ABE bằng gĩc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH.
b) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp c) Xác định vị trí điểm H để AB= R
31) Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S
C/m BADC nội tiếp.
BC cắt (O) ở E.Cmr:MR là phân giác của góc AED.
C/m CA là phân giác của góc BCS.
32) Cho ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N.
Chứng minh:BEDC nội tiếp.
Chứng minh: góc DEA=ACB.
Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân giác của góc MAN.
Chứng tỏ: AM2=AE.AB.
33) Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M là trung điểm của đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I.
1.Tứ giác ADBE là hình gì?
2.C/m DMBI nội tiếp.
3.C/m B;I;C thẳng hàng và MI=MD.
4.C/m MC.DB=MI.DC
5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
34) Cho ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM>MC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn này cắt BC tại E.Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S C/m ADCB nội tiếp.
C/m ME là phân giác của góc AED.
C/m: Góc ASM=ACD.
Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED.
C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy.
35)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’ C/m AEDB nội tiếp.
C/m DB.A’A=AD.A’C
C/m:DEAC.
Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF.
36)Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC (B,C là các tiếp điểm) và các tuyến AMN của (O)
a) Chứng minh AB 2 =AM.AN
b) Gọi I là trung điểm của MN Chứng minh 5 điểm A,I,O,B,C cùng nằm trên một đường trịn
Trang 5c) Chứng minh AI là tia phân giác của góc IBC
37)Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B , I là điểm bất kỳ trên đường thẳng AB và ở ngoài đoạn AB
a) Từ I , vẽ tiếp tuyến IC đến đường tròn (O) và tiếp tuyến ID đến (O’) Chứng minh rằng IC 2 =ID 2
=IA.IB
b) Từ I , vẽ cát tuyến IEF đến đường tròn (O) và cát tuyến IMN đến (O’) Chứng minh rằng :
+ IE.IF =IM.IN=IA.IB + 4 điểm E,F,M,N luôn nắm trên đường tròn 38)Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) Các đường cao AD và CE cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác BEHD , AEDC nội tiếp
b) CM : AE.EB=EH.EC
c) BH và ED cắt nhau tại I Chứng minh BI.HK =BK.HI
d) Cho AB =13cm,AC=20cm, BC=21cm.Tín bán kinh (O).
39)Cho đường tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA=2R Vẽ các tiếp tuyến AB,AC (B,C là các tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt BC tại H , cắt cung nhỏ và cung lớn BC tại I và K
a) Chứng minh OA BC và H là trung điểm OI
b) Chứng minh tam giác ABC đều
c) Chứng minh : ABKC là hình thoi
d) Từ điểm D bất kỳ trên cung nhỏ BC (D khác B và C ), vẽ tiếp tuyến cắt AB ,AC lần lượt tại M,N OM
và ON cắt BC lần lượt tại E,F Chứng minh CABC = 2AB Tính góc MON
e) Chứng minh E,O,C,N cùng nằm trên một đường tròn Suy ra OD,NE,MF đồng quy
40)Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A
và C)
a) Chứng minh AT 2 =AB.AC
b) Tia phân giác góc BTC cắt BC tại D và cắt (O) tại M Chứng minh : OM BC
c) Chứng minh AD=AT
d) Gọi H là hình chiếu của T trên OA Chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp
41)Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) các đường cao AD,BM,CN cắt nhau tại H Gọi K là trung điểm của AH
a) Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp và K là tậm đường tròn ngoại tiếp MHN
b) Gọi L là điểm đối xứng của H qua BC Chứng minh AM.AC=AN.AB và L thuộc đường tròn (O) c) Gọi I là giao điểm AH và MN Chứng minh MB là tia phân giác góc NMD và IH.AD=AI.DH
d) Chứng minh I là trực tậm BKC.
42)Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) , AH là đường cao Vẽ đường tròn tậm H bán kính AH cắt AB tại E và cắt AC tại F
a) Chứng minh E,H,F thẳng hàng
b) Gọi AM là đường trung tuyến Chứng minh : AB 2 +AC 2 4QH.AM
c) Chứng minh AEF ACB, từ đó suy ra tứ giác EBFC nội tiếp (I)
d) Chứng minh AM EF
e) Chứng minh AHIM là hình bình hành
f) Cho ABC 2 ACB,AB=2cm Tính diện tích HFC
43)Cho ABC nội tiếp đường tròn (O;R) ,AB=R 2,tiếp tuyến tại A,B cắt nhau tại I
a) CHứng minh AOB 900
b) Chứng minh tứ giác IAOB là hình vuông
c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây và cung nhỏ AB của đường tròn (O;R) theo R.
d) Vẽ đường thẳng từ I song song với AC cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N và cắt BC tại J Chứng minh J là trung điểm MN
44)Cho đường tròn tâm O , bán kính 3cm và góc ở tậm AOB có số đo 600 Tính độ dài cung lớn AB, độ dài dây AB và diện tích hình quạt trong góc ở tậm AOB
Trang 645)Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn (AB<AC) nội tiếp trong đường trịn (O) Tia phân giác gĩc BAC cắt BC tại D và cắt đường trịn (O) tại I (I khác A)
a) Chứng minh : I là điểm chính giữa cung BC và OI BC
b) Chứng minh AB.AC = AD.AI
c) Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M Chứng minh O,I ,M thẳng hàng
d) Một cát tuyến qua M và song song AB cắt đường trịn (O) tại E và E , cắt AC tại K Chứng minh OMCK là tứ giác nội tiếp và K là trung điểm EF
46)Cho tam giác ABC vuơng tại A (AB<AC) đường trung trực của cạnh huyền BC cắt BC tại M, cắt AC tại D gọi E là điểm đối xứng của D qua A và F là giao điểm của BE và MA Chứng minh :
a) Tứ giác BADM nội tiếp được b) BC 2 = 2AC.CD.
c) BF = AC 47)
Cho (O) đường kính AB S là một điểm bên ngịai đường trịn, SA và SB cắt đường trịn lần lượt tại Mvà
N Gọi H là giao điểm của BM và AN a) Chứng minh : SH vuơng gĩc với AB
b) Chứng minh SMHN nội tiếp được Xác định tâm và bán kính đtrịn đĩ
48)Cho tam giác ABC vuơng tại A Gọi O là tâm đường trịn ngọai tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của (O) tại A Các tiếp tuyến tại B và C cắt d theo thứ tại D và E, chứng minh rằng
a) DE = BD + CE
b) ∆ DOE vuơng
c) BD CE = R 2
49):Cho 3 điểm A, B, C cố định B nằm giữa A và C, (O) thay đổi qua B và C Vẽ đường kính MN vuơng gĩc
BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC ) Tia AN cắt (O) tại F hai dây BC và MF cắt nhau tại E.C/minh :
a) Tứ giác DEFN nội tiếp được
b) AD.AE = AF.AN
c) Đường thẳng NF đi qua một đường thẳng cố định.
50)Cho A (O) đường kính BC Trên cung nhỏ AC lấy điểm D sao cho cung :AD = CD Gọi E là giao điểm của AB và CD H là giao điểm của BD và AC
a) Chứng minh: ∆BEC cân, tính BE theo R b) Chứng minh: tứ giác AHDE nội tiếp, xác định tâm I c) Chứng minh : BH.BD = BA.BC
51/Cho ABC nhọn có Â = 45 0 , vẽ đ.tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC tại D và E.
a CMR: AE = EB
b BE cắt CD tại H CMR: đường trung trực của DH đi qua trung điểm I của AH
c CMR: OE là tiếp tuyến của đ.tròn ngoại tiếp ADE
52/Cho (O , R), đường kính AB, tiếp tuyến tại M (O) cắt hai tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D a/CMR: CD = CA + DB ; COD = 1V b/CMR: AC BD = R 2 bằng 2 cách
c/Cho BAM 60 o ; chứng tỏ BDM đều, tính S BDM
53/Trên (O , R) lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự sao cho AB = R 2 , BC = 30 0
a/Tính số đo AB , AC
b/Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BC tại D Tính AD, DB, BC
c/Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp MAC Với M là điểm di động trên AC lớn thì I chạy trên đường nào ? 54/Cho (O, R) đường kính AB, vẽ cát tuyến MN quay quanh H là trung điểm OB Gọi I là trung điểm MN, vẽ AA’ MN, BI cắt AA’ tại D.
a/CMR: AA’ // OI; b/CMR: DMBN là hình bình hành ; c/CMR: D là trực tâm AM
d/Khi MN quay xung quanh điểm H Thì điểm I ; D chạy trên đường nào ?
Trang 755/Cho ABC (AB < AC) vuông tại A và nội tiếp (O,R) Gọi P là trung điểm AC, AH là đường cao ABC a/CMR: APOH nội tiếp, xác định tâm I ; b/AB cắt (I) tại N CMR: N, I, P thẳng hàng
c/Cho AB = R Tính S phần giới hạn bởi AC nhỏ của (O), cung APO của (I) và OC
56) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
1) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.
2) Chứng minh AD AC = AE AB.
3) Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA DE.
4) Cho biết OA = R , BAC 600 Tính BH BD + CH CE theo R
57) Cho ABC (A=1v),đường cao AH.Đường tròn tâm H,bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của ABC cắt DE tại I.
1 Chứng minh D;H;E thẳng hàng.
2 Chứng minh BDCE nội tiếp.Xác định tâm O của đường tròn này.
3 Chứng minh AMDE.
4 Chứng minh tứ giác AHOM là hình bình hành.
58).Cho đường trịn (O;R) đường kính AB.Gọi C là điểm bất kỳ thuộc đường trịn đĩ,
( C A&B) M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và BC Các đường
thẳng BN và AC cắt nhau tại I, các dây cung AN và
BC cắt nhau ở P Chứng minh:
1)Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K của đường trịn ngoại tiếp tứ giác đĩ
2)KN là tiếp tuyến của đường trịn (O;R).
3)Chứng minh rằng khi C di động trên đường trịn (O;R) thì đường thẳng MN luơn tiếp xúc
với một đường trịn cố định
59) Cho ABC có 2 góc nhọn,đường cao AH.Gọi K là điểm dối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng của
H qua AC.E;F là giao điểm của KI với AB và AC.
1 Chứng minh AICH nội tiếp.
2 Chứng minh AI=AK
3 Chứng minh các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn.
4 Chứng minh CE;BF là các đường cao của ABC.
5 Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của HFE chính là trực tâm của ABC.
60)Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC = 2R, A là điểm chính giữa của nửa đường trịn,
M là trung điểm AC Đường thẳng kẻ từ A vuơng gĩc với BM ở E và cắt BC ở F Gọi G
là giao điểm của AO và BM.
1 Chứng minh tứ giác AEOB nội tiếp.
2 Tính số đo gĩc OEF.
3 Chứng minh BF = 2FC.
4 Tính BG BE + AG AO theo R.
61)Cho ABC(AB=AC) nội tiếp trong (O).Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Trên tia BM lấy MK=MC và trên tia BA lấy AD=AC.
1 Chứng minh : BAC2BKC
2 Chứng minh BCKD nội tiếp.,xác định tâm của đường tròn này.
3 Gọi giao điểm của DC với (O) là I Chứng minh B;O;I thẳng hàng.
4 Chứng minh DI=BI.
62) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I là điểm chính giữa cung AB(Cung AB không chứa điểm C;D).IC và ID cắt AB ở M;N.
1 Chứng minh D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn.
Trang 82 Chứng minh NA.NB=NI.NC
3 DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E.Chứng minh :EF//AB.
4 Chứng minh :IA 2 =IM.ID.
63)Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R và C là điểm di chuyển trên nửa đường trịn
(C khác A và B) Kẻ tia Ot vuơng gĩc AC ở K và cắt nửa đường trịn ở M Đường thẳng kẻ
từ C song song với MB cắt tia AM ở H và cắt tia OM ở E.
1 Chứng minh tứ giác CHMK nội tiếp.
2 Chứng minh EM = BC
3 Xác định vị trí điểm C trên nửa đường trịn (O) để AE là tiếp tuyến của nửa đường trịn.
4 Trong trường hợp AE là tiếp tuyến của (O), hãy tính phần diện tích tam giác AEC ở bên ngồi (O) 64)Cho hình vuông ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F.Kẻ trung tuyến AI của AEF,AI kéo dài cắt CD tại K.qua E dựng đường thẳng song song với AB,cắt AI tại G.
1 Chứng minh AECF nội tiếp.
2 Chứng minh : AF 2 =KF.CF
3 Chứng minh :EGFK là hình thoi.
4 Chứng minh :khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi CKE có giá trị không đổi.
5 Gọi giao điểm của EF với AD là J Chứng minh :GJ JK.
65)Cho ABC.Gọi H là trực tâm của tam giác.Dựng hình bình hành BHCD Gọi I là giao điểm của HD và BC.
1 Chứng minh :Tứ giác ABDC nội tiếp trong đường tròn tâm O;nêu cáh dựng tâm O.
2. So sánh BAH và OAC
3 CH cắt OD tại E Chứng minh AB.AE=AH.AC
4.Gọi giao điểm của AI và OH là G Chứng minh G là trọng tâm của ABC.
66): Cho đường trịn (O) và cung AB=90 o C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB.Các đường cao AI;BK;CJ của ABC cắt nhau ở H.BK cắt (O) ở N;AH cắt (O) tại M.BM và AN gặp nhau ở D.
1 Chứng minh :B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn.
2 Chứng minh : BI.KC=HI.KB
3 Chứng minh :MN là đường kính của đường trịn (O)
4 Chứng minh tứ giác ACBD là hình bình hành.
5 Chứng minh :OC//DH.
67)Cho tam giác ABC vuơng ở C nội tiếp trong đường trịn tâm O Trên cung nhỏ AC lấy
điểm M bất kì (M khác A và C) Vẽ đường trịn tâm A bán kính AC, đường trịn này cắt đường trịn (O) tại điểm D (D khác C) Đoạn thẳng BM cắt đường trịn tâm A ở N.
1 Chứng minh MB là tia phân giác của CMD
2 Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường trịn (A; AC)
3 Chứng minh CNM MDN .
4 Cho biết MC = a; MD = b Hãy tính đoạn thẳng MN theo a và b.
68) Cho hình vuông ABCD.Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN<ND;Vẽ đường tròn tâm O đườn kính BN.(O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại E.
1 Chứng minh tam giác BFN vuông cân.
2 Chứng minh :Tứ giác MEBA nội tiếp
3 Gọi giao điểm của ME và NF là Q.MN cắt (O) ở P.Chứng minh B;Q;P thẳng hàng.
4 Chứng tỏ ME//PC và BP=BC.
5 Chứng minh FPE là tam giác vuông
Trang 969) Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB và CD cắt nhau ở E.BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K.
1 Chứng minh : CB là phân giác của góc ACE.
2 Chứng minh :Tứ giác AQEC nội tiếp.
3 Chứng minh :KA.KC=KB.KD
4 Chứng minh :QE//AD.
70) Cho (O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC.Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn.CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N.Dựng hình bình hành AECD.
1 Chứng minh D nằm trên đường thẳng BF.
2 Chứng minh ADCF nội tiếp.
3 Chứng minh CF.CN=CE.CM
4 Chứng minh MN//AC.
5 Gọi giao điểm của AF với MN là I.Chứng minh DF đi qua trung điểm của NI.
71) Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuông góc với nhau.Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB
1 Chứng minh ACBD là hình vuông.
2 AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I.Gọi J là giao điểm của DM và AB Chứng minh IB.IC=IA.IM
3 Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của CJM
4 Tính diện tích AID theo R.
72) Cho ABC vuơng ở A.Kẻ AH BC.Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC.Đường thẳng OO’ cắt cạnh AB;AC tại M và N.
1 Chứng minh OHO’ là tam giác vuông.
2 Chứng minh HB.HO’=HA.HO
3 Chứng minh HOO’ HBA.
4 Chứng minh Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp.
5 Chứng minh AMN vuông cân.
73) Cho nửa đường tròn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO.Qua I dựng đường thẳng vuông góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn ở K.Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt đường thẳng IK tại D.Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N.
1 Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp.
2 Chứng minh CM.CA=CI.CD.
3 Chứng minh ND=NC.
4 CB cắt AD tại E.C/m E nằm trên đường tròn (O) và C là tâm đường tròn nội
tiếp EIM.
5 Giả sử C là trung điểm IK.Tính CD theo R.
74)Cho ABC.Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho góc PBA=PAC.Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB;AC.
1 Chứng minh tứ giác AHPK nội tiếp.
2 Chứng minh HB.KP=HP.KC.
3 Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC Chứng minh HD=EF; DF=EK
4 Chứng minh đường trung trực của HK đi qua F.
75)Cho hình bình hành ABCD(A>90 o ).Từ C kẻ CE;Cf;CG lần lượt vuông góc với AD;DB;AB.
1 Chứng minh tứ giác DEFC nội tiếp.
2 Chứng minh CF 2 =EF.GF.
Trang 103.Gọi O là giao điểm AC và DB.Kẻ OICD Chứng minh OI đi qua trung điểm của AG
4.Chứng tỏ EOFG là một tứ giác nội tiếp.
76) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B.Các đường thẳng AO cắt (O) lần lượt ở C và
D;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở E và F.
1 Chứng minh C;B;F thẳng hàng.
2 Chứng minh CDEF nội tiếp.
3 Chứng minh û DA.FE=DC.EA
4 Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp BDE.
5 Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O);(O’)
77) Cho (O;R).Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F.Trên xy lấy điểm A nằm ngoài đoạn EF,vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O).Gọi H là trung điểm EF.
1 Chứng tỏ 5 điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên một đường tròn.
2 Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K.
Chứng minh OI.OA=OH.OK=R 2
3 Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào?
4 Chứng minh KE và KF là hai tiếp tyuến của (O)
78) Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt nhau ở D.Qua A kẻ AE và AF lần lượt vuông góc với BN và CM.Các đường thẳng AE và AF cắt BC ở I;K.
1 Chứng minh AFDE nội tiếp.
2 Chứng minh AB.NC=BN.AB
3 Chứng minh FE//BC
4 Chứng minh tứ giác ADIC nội tiếp.
79) Cho ABC( A =1v);AB=15 cm;AC=20 cm.Dựng đường tròn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính
AC.Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D.
1 Chứng tỏ D nằm trên BC.
2 Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC.AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N Chứng minh
DE.AC=AE.MC
3 Chứng minh AN=NE và O;N;O’ thẳng hàng.
4 Gọi I là trung điểm MN.Chứng minh OIO =90' o
5 Tính diện tích tam giác AMC.
80)Trên (O;R),ta lần lượt đặt theo một chiều,kể từ điểm A một cung AB=60 o , rồi cung BC=90 o và cung CD=120 o
1 Chứng minh ABCD là hình thang cân.
2 Chứng minh ACDB.
3 Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD.
4 Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB.Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P;PN cắt DB tại
Q Chứng minh MN là phân giác của góc PMQ.
81)Cho đều ABC có cạnh bằng a.Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc B của tam
giấcBC.Từ D dựng tia Dx vuông góc với DB.Trên Dx lấy điểm E sao cho ED = DB
(D và E nằm hai phía của đường thẳng AB).Từ E kẻ EFBC Gọi O là trung điểm EB.
1 Chứng minh các tứ giác AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a.
2 Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M.EC cắt (O) ở N.C/m EBMC là thang cân.Tính diện tích.