CĐ: Nhị thức Niu-tơn và tam giác Pát-can

Chuyên đề: Nhị thức Niu-tơn và tam giác Pat-can ************************************************************* Nhị thức Niu-tơn và tam giác Pat-can Triển khai (A+B) n để viết dới dạng một đa thức với lũy thừa giảm dần của A lần lợt với n = 1, 2, 3, 4, 5, ta đợc: (A+B) 0 =1 (A+B) 1 =A+1B (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 (A+B) 3 =A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3 (A+B) 4 =A 4 +4A 3 B+6A 2 B 2 +4AB 3 +B 4 (A+B) 5 =A 5 +5A 4 B+10A 3 B 2 +10A 2 B 3 +5AB 4 +B 5 Viết riêng các hệ số của các đa thức ở vế phải các đẳng thức trên thành bảng có dạng tam giác nh sau: ứng với n = 0 1 ứng với n = 1 1 1 ứng với n = 2 1 2 1 ứng với n = 3 1 3 3 1 ứng với n = 4 1 4 6 4 1 ứng với n = 5 1 5 10 10 5 1 Nhận xét các số của mỗi dòng của bảng ta thấy: * Mỗi dòng bắt đầu bằng số 1 và kết thúc bởi số 1. * Mỗi số của một dòng (trừ số đầu và số cuối) đều bằng tổng số liền trên nó cộng với số ngay bên trái số liền trên đó. Ví dụ 10 = 6 + 4 ứng với n = 4 1 4 1 ứng với n = 5 1 5 10 5 1 *********************************************************** Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh 1 4 6 10 Chuyên đề: Nhị thức Niu-tơn và tam giác Pat-can ************************************************************* Các quy tắc nêu trong nhận xét trên đợc chứng minh một cách tổng quát, theo đó khi đã biết các hệ số nằm trong dòng thứ k ta xác định đợc các hệ số trong dòng k+1 Ví dụ: ứng với n = 5 1 5 10 10 5 1 ứng với n = 6 1 6 15 20 15 6 1 Nhờ đó ta viết đợc: (A+B) 6 =A 6 +6A 5 B+15A 4 B 2 +20A 3 B 3 +15A 2 B 4 +6 AB 5 +B 6 Bảng các hệ số thành lập theo quy tắc nêu trên gọi là tam giác Pát-can mang tên nhà bác học Pháp Pát-can (1623-1662). Nhà bác học Anh Niu-tơn (1643-1727) đã cho công thức tổng quát sau: (A+B) n =A n +nA n-1 B+ 2.1 )1( nn A n-2 B 2 + 3.2.1 )2)(1( nnn A n-3 B 3 + + 2.1 )1( nn A 2 B n-2 +nAB n-1 +B n . NVYên 4/2010 *********************************************************** Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh 2 . Chuyên đề: Nhị thức Niu-tơn và tam giác Pat-can ************************************************************* Nhị thức Niu-tơn và tam giác Pat-can Triển khai (A+B) n để viết dới dạng một đa thức. 1 *********************************************************** Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh 1 4 6 10 Chuyên đề: Nhị thức Niu-tơn và tam giác Pat-can ************************************************************* Các quy. thành lập theo quy tắc nêu trên gọi là tam giác Pát-can mang tên nhà bác học Pháp Pát-can (1623-1662). Nhà bác học Anh Niu-tơn (1643-1727) đã cho công thức tổng quát sau: (A+B) n =A n +nA n-1 B+ 2.1 )1(