bai toan dung hinh.

Trang 1 LỜI NÓI ĐẦU Dựng hình là một dạng bài tập khó đối với hoc sinh THCS.Thông thường các em chưa hiểu một cách đầy đủ về các kiến thức cơ bản, các suy luận để giải một bài toán dựng hình. Còn đối với sinh viên sắp vào nghề cũng gặp khó khăn trong việc hướng dẫn, gợi ý giúp học sinh tìm ra các yếu tố có liên quan để dựng được hình thoả mãn yêu cầu bài toán. Vì vậy chúng tôi làm bài tiểu luận này với hy vọng giúp cho các em hiểu rõ hơn cách giải một bài toán dựng hình qua một số ví dụ cụ thể và mong góp một phần nhỏ cho các bạn sinh viên sư phạm toán sắp ra trường có thêm tư liệu để làm tốt công việc giảng dạy. Chúng tôi thực hiện tiểu này với cả sự cố gắng, tìm tòi, tham khảo ý kiến của một số thầy cô bậc trung học cơ sở và các tư liệu có liên quan. Đồng thời có trình bày thêm những quan điểm nhận xét riêng của mình. Phần tiểu luận gồm hai chương: Chương I : Kiến thức cơ bản về dựng hình. - Thế nào là dựng một hình, thế nào là một hình được dựng. - Các phép dựng hình cơ bản bằng thước và compa. - Các bài toàn dựng hình cơ bản - Các bước giải một bài toán dựng hình. - Dựng hình bằng các dụng cụ khác. Chương II: Các phương pháp dựng hình bằng thước và compa. - Điều kiện giải được các bài toán dựng hình bằng thước và compa - Giải các bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao. - Giải các bài toán dựng hình bằng phương pháp biến hình. - Các bài tập dựng hình bằng phương pháp tương giao, bằng phương pháp biến hình và hướng dẫn giải. Hệ thống bài tập theo mức độ từ dễ đến khó, từ lớp 6 đến lớp 9, phần hướng dẫn được trình bày rõ ràng, cụ thể có phần mở rộng, phát triển và một vài đề nghị nhỏ đối với người dạy và học sinh Lần đầu tiên làm bài tập tiểu luận chắc rằng chúng tôi khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, mong các thầy cô cùng các bạn nghiên cứu đóng góp ý kiến , để chúng tôi hoàn chỉnh , khắc phục những khuyết điểm và lấy nó làm kinh nghiệm cho việc dạy học. Xin cảm ơn thầy cô giáo hướng dẫn giúp đỡ chúng em hoàn thành phần tiểu luận này. Cảm ơn tất cả c ác bạn sinh viên trong lớp đã đọc và nghiên cứu phần tiểu luận. Mong rằng, sẽ giúp các bạn nắm vững được phần nào mấu chốt các bài tập. Bích Diễm - Khánh Vân. Trang 2 MỤC LỤC Lời nói đầu. trang 1. Nội dung chính của tiểu luận. trang 3. Chương 1: Kiến thức cơ bản về dựng hình. trang 5. Thế nào là dựng một hình , thế nào là một hình được dựng . trang 5. Các phép dựng hình cơ bản bằng thước và compa. trang 5. Các bài tập dựng hình cơ bản. trang 5. Các bước giải bài toán dựng hình. trang 7. Dựng hình bằng các dụng cụ khác. trang 9. . Chương 2: Phương pháp dựng hình bằng thước và compa. trang 10. Điều kiện giải được một bài toán dựng hình bằng thước và compa. trang 10. Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao. trang 10. Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp biến hình. trang 15. Các bài tập áp dụng. trang 23. Các bài tập dựng hình bằng phương pháp tương giao. trang 24. Các bài tập dựng hình bằng phương pháp biến hình . trang 25. Bích Diễm - Khánh Vân. Trang 3 NỘI DUNG CHÍNH CỦA TIỂU LUẬN. - Tiểu luận này hệ thống lại các kiến thức cơ bản về dựng hình, các bài tập cơ bản về dựng hình bằng phương pháp tương giao, phương pháp biến hình. Ở sau mỗi bài tập chúng tôi có nhận xét, đưa ra những đề nghị, bài tập mở rộng giúp sinh viên sư phạm khi đi thực tập và bắt đầu bước vào nghề có thể lưu ý hơn trong cách dạy, rèn luyện tư duy cho học sinh. Đồng thời giúp cho học sinh tránh được những khó khăn, sai lầm trong quá trình làm bài tập dựng hình. -Nội dung nghiên cứu : Tiểu luận gồm hai chương: Chương I: Các kiến thức cơ bản về dựng hình. Chương II: Các phương pháp dựng hình bằng thước và compa 2.1 Dựng hình bằng phương pháp tương giao: Các ví dụ từ đó nhận xét, khuyến cáo, mở rộng, rèn luyện tư duy cho học sinh. 2.2 Dựng hình bằng phương pháp biến hình: Các ví dụ từ đó nhận xét, khuyến cáo, mở rộng, rèn luyện tư duy cho hoc sinh . 2.3 Các bài tập áp dụng và hướng dẫn giải có nhận xét khuyến cáo. - Kết quả nghiên cứu: Kiến thức về dựng hình ở cấp trung học cơ sở không được sách giáo khoa đi sâu về lý thuyết và bài tập. Đây là dạng bài tập khó. Sách giáo khoa đã đưa ra một số bài tập cơ bản, đơn giản. Bước đầu cho các em làm quen với dựng hình. Các bài tập về dựng hình có tác dụng tốt trong việc phát triển khả năng phân tích, suy luận, dự đoán các khả năng xảy ra và rèn luyện tư duy sáng tạo của hoc sinh. Vì vậy trong tiêủ luận này, chúng tôi xin trình bày rõ ràng, chi tiết các kiến thức cơ bản về dựng hình: 1. Thế nào là dựng một hình, thế nào là một hình được dựng. 2. Các phép dựng hình cơ bản bằng thước và compa ( 5 tiên đề về dựng hình ). 3. Các bài tâp dựng hình cơ bản (25 bài tập). 4. Các bước giải và dạy bài toán dựng hình ( thường 4 bước). 5. Dựng hình bằng các dụng cụ khác ( êke, thước chia độ ). 6. Lý do dựng hình bằng thước và compa. 7. Cơ sở lý thuyết của dựng hình bằng phương pháp tương giao và 5 ví dụ cụ thể có nhận xét, mở rộng. 8.Cơ sở lý thuyết của dựng hình bằng phương pháp biến hình và 5 ví dụ cụ thể có nhận xét, mở rộng. 9. Có 7 bài tập áp dụng 2 phương pháp dựng hình trên. Những ví dụ và bài tập mà chúng tôi lựa chọn trình bày, đều mang tính chủ quan, nó chưa đặc trưng hết những gì chúng tôi muốn nói. Chúng tôi nghĩ rằng Bích Diễm - Khánh Vân. Trang 4 người đọc có thể tìm thêm những cách giải khác tốt hơn và hay hơn. Dù vậy, v ới lòng mong mỏi được tập dượt nghiên cứu . Chúng tôi mạnh dạn thực hiện ti ểu luận này. Do lần đầu thực hiện công việc nghiên cứu, chắc chắn sẽ không tr ánh khỏi những nhận xét chủ quan. Kính mong quí thầy cô và các bạn góp ý. Xin chân thành cảm ơn. Bích Diễm - Khánh Vân. Trang 5 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DỰNG HÌNH 1.1 THẾ NÀO LÀ DỰNG MỘT HÌNH, THẾ NÀO LÀ MỘT HÌNH ĐƯỢC DỰNG: 1.1.1 Thế nào là dựng một hình ; Dựng một hình H là chỉ rõ một dãy thứ tự hữu hạn ,các phép cơ bản dựng hình cơ bản để tạo ra hình ấy. 1.1.2 Thế nào là một hình được dựng; Một hình H gọi là được dựng nếu ta đã chỉ rõ được một dãy thứ tự, hữu hạn,các phép dựng hình cơ bản để tạo ra hình ấy. Chú ý: Ta cần phân biệt được việc vẽ hình mà chúng ta thường làm trước đây với dựng hình mới vừa nêu trên. - Vẽ hình là ta có thể sử dụng bất kỳ dụng cụ nào ( thước kẻ, compa, êke, thước đo góc ) để vẽ hình ấy trên giấy. - Dựng hình là ta phải nêu được một dãy thứ tự, các phép dựng hình cơ bản để tạo ra hình ấy chỉ với hai dụng cụ là thước kẻ và compa. 1.2 CÁC PHÉP DỰNG HÌNH CƠ BẢN BẰNG THƯỚCVÀ COMPA: 1) Các hình đã cho là dựng được. 2) Đường thẳng đi qua hai điểm dựng được là dựng được (tiên đề về thước) 3) Đường tròn (hoặc cung tròn) có tâm dựng được và bán kính bằng đoạn thẳng dựng được là dựng được (tiên đề về compa). 4) Giao điểm (nếu có) của hai hình dựng được (của hai đường thẳng, của đường thẳng với đường tròn, của hai đường tròn ) là dựng được. 5) Những điểm tuỳ ý trên mặt phẳng thuộc hay không thuộc hình đã dựng là dựng được. 1.3 CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH CƠ BẢN: Có nhiều bài toán dựng hình cơ bản, song chúng ta có thể sắp xếp lại và phân ra các loại sau: 1.3.1 Liên quan đường thẳng: 1) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng đã cho. 2) Dựng một góc bằng một góc đã cho. 3) Dựng một đoạn thẳng bằng tổng (hiệu) của hai đoạn thẳng đã cho. 4) Dựng một góc bằng tổng (hiệu) của hai góc đã cho. 5) Tìm trung điểm của một đoạn thẳng đã cho. 6) Dựng đường phân giác của một góc đã cho. 7) Dựng trung trực của đoạn thẳng đã cho. Bích Diễm - Khánh Vân. Trang 6 8) Dựng đường thẳng đi qua một điểm đã cho và song song với một đường thẳng khác đã cho. 9) Dựng đường thẳng đi qua một điểm đã cho và vuông góc với một đường thẳng đã cho. 10) Dựng tam giác biết ba cạnh . 11) Dựng tam giác biết hai cạnh và góc nằm giữa. 12) Dựng tam giác một cạnh kề hai góc. 13) Dựng tam giác vuông biết cạnh huyền và cạnh góc vuông. 14) Dựng tam giác vuông biết cạnh góc vuông và góc nhọn 15) Dựng đoạn thẳng mà bình phương của nó bằng tổng (hiệu) các bình phương của hai đoạn đẳng đã cho. 1.3.2 Liên quan đường tròn: 16) Dựng tiếp tuyến của hai đường tròn cho trước. 17) Dựng cung chứa góc α cho trước có hai điểm mút là A và B. 18) Chia đôi một cung đã cho. 19) Từ một điểm cho trước ở ngoài hoặc ở trên đường tròn, vẽ tiếp tuyến của đường tròn đó. 20) Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho. 21) Dựng đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. 22) Lấy một đoạn thẳng làm đường kính, dựng một đường tròn. 1.3.3 Liên quan tỷ lệ: 23) Chia đoạn thẳng thành những phần tỷ lệ với những đoạn thẳng đã cho. 24) Dựng đoạn thẳng trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước. 25) Cho ba đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng thứ tư. Ví dụ: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy dựng đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Giải: 1) - Dựng điểm A( phép dựng hình cơ bản 1 và 5). - Dựng điểm B (phép dựng hình cơ bản 1 và 5) - Dựng điểm C ) phép dựng hình cơ bản 1 và 5). 2) - Dựng đoạn thẳng AB (phép dựng hình cơ bản 2). - Dựng đoạn thẳng AC (phép dựng hình cơ bản 2). - Dựng đoạn thẳng BC(phép dựng hình cơ bản 2). 3)- Dựng đường phân giác d của góc ABC (bài toàn dựng hình cơ bản 6) - Dựng đường phân giác d' của góc BAC (bài toán dựng hình cơ bản 6) 4) - Dựng giao điểm O của d và d' (phép dựng hình cơ bản 4). 5) - Dựng đường tròn tâm O , bán kính OA (phép dựng hình cơ bản 3). Đường tròn ( O,OA) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Bích Diễm - Khánh Vân. Trang 7 A O B d' C 1.4 CÁC BƯỚC GIẢI VÀ DẠY BÀI TOÁN DỰNG HÌNH : Nghiệm của bài toán dựng hình là hình thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán đó. Giải một bài toán dựng hình là tìm tất cả các nghiệm của nó. Sơ đồ giải một bài toán dựng hình thông thường gồm 4 bước:phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận. Bước 1: phân tích: - Giả sử đã dựng được hình thoã mãn các yêu cầu bài toán. - Tìm ra các bộ phận của hình đã dựng được ngay ( có thể vẽ thêm hình phụ ). - Đưa việc dựng các yếu tố còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản đã biết. Bước 2: cách dựng: - Dựa vào kết quả của phần phân tích, ta trình bày trình tự các phép dựng hình cơ bản để tạo ra hình cần dựng. Bước 3: chứng minh: - Chứng minh rằng với cách dựng như trên, hình đã dựng được thoã mãn các yêu cầu bài toán. Bước 4: biện luận: - Kiểm tra lại xem với những điều kiện nào của các giả thiết thì bài toán giải được và khi giải được thì có bao nhiêu hình dựng được gọi là số nghiệm hình. - Biện luận phải theo sát từng bước: + Nếu bài toán không qui định vị trí của hình phải tìm đối với hình đã cho thì những hình bằng nhau ( chỉ khác nhau về vị trí ) thoã mãn điều kiện đầu bài được xem là một nghiệm. + Nếu bài toán có qui định vị trí của hình phải tìm đối với hình đã cho thì mỗi vị trí được tính là một nghiệm. Bích Diễm - Khánh Vân. Trang 8 + Nếu có tất cả n nhóm hình thoã mãn điêù kiện bài toán, mỗi nhóm hình gồm nhiều hình bằng nhau nhưng hình của nhóm này không bằng hình của nhóm kia hoặc kiểu khác thì bài toán có n nghiệm. Lời giải đầy đủ của bài toán dựng hình bao gồm 4 bước trên, cốt yếu là bước dựng,quan trọng là bước phân tích, nhưng trong khi dạy, người dạy nên sử dụng linh hoạt các bước giải của một bài toán dựng hình.Tùy theo từng bài tập cụ thể, người dạy có thể hướng dẫn học sinh rút gọn bớt bước hoặc thêm một số bước khác như giả thiết, kết luận để giúp học sinh nắm rõ đề bài cần dựng cái gì và cái gì đã cho để dựng được hình. Ví dụ: Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết AB = a, BC = b, AD = c, AC = e. - Phân tích: Giả sử hình thang ABCD đã dựng được có đáy AB = a, cạnh bên BC = b, AD = c và đường chéo AC = e. Ta thấy ∆ ABC xác định được ngay, cần xác định điểm D. Đỉnh D thoả mãn 2 điều kiện: D thuộc Cx (Cx //AB). D cách A một đoạn AD = c. - Cách dựng: + Dựng tam giác ABC biêt AB = a, BC = b, AC = e. + Trên nữa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng Cx //AB. + Dựng đường tròn (A,c). + Dựng D là giao điểm của (A,c) với Cx. A a B C e b D H C - Chứng minh: Theo các bước dựng ta có: AB = a BC = b AC = e AD = c AB //CD Suy ra ABCD là hình thang cần dựng. Bích Diễm - Khánh Vân. Trang 9 - Biện luận: Với ba − < e < a+b thì tam giác ABC luôn dựng được. Gọi AH là khoảng cách từ A tới Cx, để dựng được thì c >AH. Vậy: c >AH thì bài toán có 2 nghiệm hình. c = AH thì bài toán có 1 nghiệm hình. c < AH thì bài toán vô nghiệm. Mở rộng: Người dạy có thể đưa ra một số bài tập về dựng hình thang từ việc thay đổi một vài dữ diệu của đề bài: 1) Dựng hình thang cân ABCD ( AB//CD). Biết AB = a, BC = b, AC = d. 2) Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD). Biết AB = a,BC = b, góc B = α. 3) Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD) . Biết AB = a, đường chéo AC = m, góc giữa hai đường chéo là α. Nhận xét: Khi hướng dẫn học sinh giái bài tập này, phân tích rõ ràng giúp học sinh thấy được tam giác ABC có đủ ba yêú tố về cạnh nên trước hết ta dựng được ngay tam giác ABC. Vậy vấn đề đặt ra là chỉ cần xác định đỉnh D. Đỉnh D phải thoả mãn những yêu cầu nào của bài toán, suy ra cách dựng điểm D . 1.5 DỰNG HÌNH BẰNG CÁC DỤNG CỤ KHÁC: Ngoài hai dụng cụ thước và compa (ở đây là thước thẳng, một lề không chia khoảng) ta còn có nhiều dụng cụ khác trong dựng hình như êke, thước đo góc, thước thẳng một lề chia khoảng, thước thẳng hai lề chia khoảng và một số dụng cụ vẽ kỹ thuật khác. Với êke thì góc vuông xem như dựng được, góc của êke xem như dựng được. Với thước đo góc thì góc có số đo cho trước xem như dựng được. Với thước thẳng một lề có chia khoảng thì đoạn thẳng có độ dài cho trước coi như dựng được. Ví dụ: Dựng tam giác vuông có một cạnh góc vuông dài 4 cm và cạnh huyền dài 7cm. Giải: - Dựng góc vuông đỉnh A (dùng êke). - Trên một cạnh góc vuông dựng AB = 4cm (thước thẳng chia khoảng). - Dựng đường tròn tâm B, bán kính 7 cm (dùng thước có chia khoảng và phépdựng cơ bản 3). - Dựng giao điểm C của đường tròn (B,7cm) và cạnh góc vuông kia. - Dựng đoạn thẳng BC (phép dựng cơ bản 2 ) Tam giác ABC là tam giác vuông cần dựng. Bích Diễm - Khánh Vân. Trang 10 C A B Nhận xét: Tuy có nhiều dụng cụ dựng hình trong hình học nhưng để giảm đến mức thấp nhất những sai sót và có được hình dựng tương đối hoàn thiện ta nên hạn chế việc sử dụng nhiều công cụ dựng hình, chỉ nên dùng thước thẳng và compa. Sau này khi nói đến dựng hình mà không nói đến dụng cụ thì ta hiểu là phải dựng hình bằng thước và compa. CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA 2.1 Điều kiện giải được bài toán dựng hình bằng thước và compa: Không phải mọi bài toán dựng hình đều có thể dựng được bằng thước và compa (mặc dù có thể dựng bằng các dụng cụ khác). Trước hết ta thấy rằng một bài toán dựng hình đều qui về việc dựng một số đoạn thẳng mà độ dài biểu thị qua các đoạn thẳng đã cho. Định lý sau cho thấy phạm vi giải được bài toán dựng hình bằng thước và compa. Định lý: Điệu kiện cần và đủ để một đoạn thẳngdựng được bằng thước và compa là độ dài của nó biểu thị được qua các độ dài đoạn thẳng đã cho nhờ một số hữu hạn các phép tính: cộng, trừ, nhân, chia và căn bậc 2 ( khi phép toán có nghĩa ). (để hiểu rõ cách chứng minh định lý này, mời các bạn đọc thêm sách hình học 3-giáo trình đào tạo giáo viên THCS hệ cao đẳng sư phạm ). 2.2 GiảI bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao: 2.2.1Cơ sở lý thuyết: Mọi hình hình học đơn giản đều được xác định bởi một số hữu hạn điểm nên ta có thể đưa bài toán dựng hình về việc dựng một số điểm nhất định. Thông thường bao giờ cũng có hai điều kiện đã cho, với mỗi điều kiện chúng ta lần lượt dựng quỹ tích tương ứng. Vì những điểm nằm trên quỹ tích thoã mãn điều kiện thứ nhất, những điểm nằm trên quỹ tích thứ hai thoả mãn điệu kiện thứ hai, cho nên giao điểm của hai quỹ tích đồng thời thoã mãn cả hai điều kiện, đó là điểm cần tìm. Phương pháp dựng hình dựa vào giao điểm của hai quỹ tích như vậy gọi là phương pháp tương giao. 2.2.2 Các ví dụ cụ thể và từ đó mở rộng, nhận xét, đề nghị, rèn luyện tư duy cho học sinh: Ví dụ1: Dựng tam giác ABC biết AB = c, BC = a, AC = b Phân tích: Giả sủ dựng được tam giác ABC thoả yêu cầu bài toán: AB = c, BC = a, AC = b,. Ta thấy: Điểm a thuộc (C,b). Bích Diễm - Khánh Vân. . phần nào mấu chốt các bài tập. Bích Diễm - Khánh Vân. Trang 2 MỤC LỤC Lời nói đầu. trang 1. Nội dung chính của tiểu luận. trang 3. Chương 1: Kiến thức cơ bản về dựng hình. trang 5. Thế nào là. 24. Các bài tập dựng hình bằng phương pháp biến hình . trang 25. Bích Diễm - Khánh Vân. Trang 3 NỘI DUNG CHÍNH CỦA TIỂU LUẬN. - Tiểu luận này hệ thống lại các kiến thức cơ bản về dựng hình, các bài. cho học sinh tránh được những khó khăn, sai lầm trong quá trình làm bài tập dựng hình. -Nội dung nghiên cứu : Tiểu luận gồm hai chương: Chương I: Các kiến thức cơ bản về dựng hình. Chương