ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN Tìm điều kiện phương trình, bất phương trình có nghiệm Nguyễn Lái GV.THPT Chuyên Lương Văn Chánh A.PHƯƠNG TRÌNH. PHƯƠNG PHÁP .Cho phương trình có chứa tham số m : h(x,m) = g(x,m). Biến đổi phương trình về dạng f(x) = m (1) ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ )( )()( bmy a x f y (2) Số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị (a) và (b). Lập bảng biến thiên của đồ thị (a) suy ra kết quả. +Nhiều khi cần đặt ẩn phụ )( x t α = ïrồi đưa về phương trình dạng (1) kèm theo điều kiện . Tìm điều kiện để phương trình mới có nghiệm là tìm giá trị của hàm số )( x t α = . Có ba phương pháp cơ bản để tìm giá trị : 1) Dùng bảng biến thiên; 2)Dùng bất đẳng thức ; 3)Dùng điều kiện p/t có nghiệm . Các bài tập minh hoạ. Bài 1. Chứng minh rằng phương trình sau đây có ba nghiệm phân biệt : x 3 -3x 2 +3 = 0 . HD :Cách 1. Phương trình trên là phương trình hoành độ giao điểm của trục hoành y = 0 và đường cong y = x 3 -3x 2 + 3 là một hàm số xác định trong tập R đạo hàm y’ = 3x 2 – 6x khi y’ = 0 thì x = 0 ; x = 2 có x 0 2 ∞− ∞ + y’ + 0 - 0 + y 3 ∞ + -1 ∞− Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm nên phương trình trên có ba nghiệm. Cách 2 .Đặt f(x) = x 3 -3x 2 + 3 là một hàm số xác định trong tập R có đạo hàm f’(x) = 3x 2 – 6x khi f’(x) = 0 ⇒ x = 0 ; x = 2 và min ax . m f f = f(0).f(2) =-3 < 0 Suy ra phương trình luôn có ba nghiệm phân biệt. Bài 2 :Chứng minh đường cong y = (m+1)x 3 – (3m – 1)x 2 – x +3m luôn qua ba điểm cố định. HD :Phương trình hàm số viết lại :m(x 3 -3x 2 +3) = y – x 3 +x 2 + x. Để đường cong qua điểm cố định thì thỏa ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−= =+− xxxy xx 23 23 033 Đặt f(x) =x 3 -3x 2 +3 . Ta chứng minh phương trình này có ba nghiệm .(theo cmt) Bài 3 : Định m để phương trình : x 3 -3x 2 + 3 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 . HD :Phương trình trên tương đương x 3 -3x 2 +1 = m ⎩ ⎨ ⎧ = +−= ⇔ my xxy 33 23 Số nghiệm phương trình trên là số giao điểm của đồ thị và đồ thị y = m 33 23 +−= xxy Ta có y(1) = 1, dựa vào bảng biến thiên suy ra kết quả – 1 < m < 1 . Bài 4 : Định tham số k để phương trình sau đây có đúng một nghiệm 27 x - 3 2x+1 + 2 – k = 0 . HD : Phương trình tương đương 27 x -3.9 x +2 = k Đặt t = 3 x (đk t > 0 ) . Phương trình trở thành t 3 -3.t 2 +2 = k .Lập bảng biến thiên ⇒ kết quả. Bài 5 .Định a để phương trình sau đây có hai nghiệm trong khoảng ( 0 ; 180 0 ) 3sinx – sin3x + 6cos2x +6 – a = 0. HD : Phương trình tương đương 3sinx – 3sinx +4sin 3 x+6 – 12sin 2 x +6 = a ⇒ sin 3 x – 3sin 2 x + 3 = 4 a .Đặt t = sinx . Vì x thuộc ( 0 ; 180 0 ) nên 0 < t <1 ,và ứng với 1 giá trị 0 < t < 1 ta có 2 giá trị x thuộc ( 0 ; 180 0 ). Vậy để phương trình trên có hai nghiệm thuộc ( 0 ; 180 0 ) thì tương đương phương trình t 3 – 3t 2 +3 = 4 a có đúng 1 nghiệm 0 < t < 1 . Bài 6.Tìm k để phương trình : xxx kk 2124)1( −=+−+ có nghiệm. HD.Đặt t = 2 x ; đk 10 ≤ < t )( 1 1 2 tf t t k = + − =⇒ . .10)0()()1(]1;0(0 )1( 12 )(' 22 2 <≤⇒<≤⇒∈∀< + −− =⇒ kftfft t tt tf Bài 7 : Định k để phương trình sau đây có nghiệm 031863 2 =−−+−−++ mxxxx . HD Phương trình tương đương : =−+−−++ )6)(3(63 xxxx m Điều kiện để phương trình có nghiệm khi x ∈ [-3 ;6]. Đặt xxt −++= 63 , 2 3 0', 3.62 36 62 1 32 1 ' =⇔= +− +−− = − − + = xtkhi xx xx xx t ta có t(-3) = 3;2323) 2 3 (,3)6(,3 minmax ==⇒== tttt ]32;3[∈⇒ t Để phương trình có nghiệm thì phương trình m t t = − − 2 9 2 có nghiệm trong ]32;3[ . Lập bảng xét dấu suy ra kết quả. Bài 8 : Định m để hệ phương trình sau có nghiệm: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+ =−+ mxy myx 32 32 HD :Trừ hai vế phương trình ta có: yyxx −−=−− 3232 Đặt f(t) = tt −− 32 .Hàm số xác định trong [0 ; 3 ] Chứng minh hàm số đồng biến ,suy ra x = y. Thế y = x vào 1 trong 2 phương trình trên ta có xx −+ 32 = m ⎩ ⎨ ⎧ = −+= ⇔ my xxy 32 .Lập bảng biến thiên suy ra kết quả. Bài 9: Tìm m để hệ sau có nhiều hơn hai nghiệm ⎩ ⎨ ⎧ +=++ =+ )2()1( 2 ymxyyx myx HD :Thế x = m – y vào phương trình thứ hai ta có (m – y +1 )y 2 +(m – y).y = my+2m ⇔ y 3 - my 2 – 2m = 0 (1). Đặt f (y) = y 3 - my 2 – 2m = 0 là hàm số xác định trong tập R có đạo hàm f’(y) = 3y 3 – 2my , khi f’(y) = 0 thì 3 2 ,0 m yy == Lập bảng xét dấu ,để hệ phương trình có nhiều hơn hai nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 3 nghiệm phân biệt . Suy ra min f < m < max f Bài tập đề nghị : Bài 1 . Đinh k để phương trình sau có nghiệm 2 cos 1 sin 1 cossin 22 22 −+=+ x x xkx . Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm xmtg x x xx 22 sincos sincos 44 66 = − + Bài 3 . Tìm a để phương trình sau có nghiệm )1(22log) 2 1 22(log ) 2 1 22( 2 2 2 −=+++− ++− aaxx xx Bài 4 .Tìm m để phương trình có nghiệm 4(sin 4 x+cos 4 x) - 4(sin 6 x+cos 6 x)-sin 2 2x = m . Bài 5.Định tham số m để phương trình sau có nghiệm : sin 2 3x = 4cos4x + m Bài 6.Cho phương trình () 222 16165sincos32cos43cos xmxxxxx −=−−++− . Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn ] 2 ;0[ π . Bài 7.Cho phương trình: () .042sincoslog4 4 coslog 2 2 2 2 =−−+− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − mxxx π Định tham số m để phương trình có nghiệm. Bài 8 .Tìm m để phương trình :4 1+x +4 1-x = (m+1)(2 2+x – 2 2-x ) + 2m có nghiệm thuộc [ ] 1;0 . Bài 9 .Định tham số m để phương trình mxx =−+ 4 sin(222sin π có nghiệm. Bài 10.Tìm m để phương trình tgxxmx += 1)(cos2cos 2 có nghiệm thuộc . 3 ;0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ π Bài 11.Định m để phương trình log 3 (x 2 +6x+8)+log 3 (x 2 +14x+48) = m có 3 nghiệm phân biệt. Bài 12.Định k để p/t () ( 4 4 1 log 11. 2 −=− − xxk x ) có hai nghiệm phân biệt thoa :2<x 1 <3<x 2 <5 B.Bất phương trình . PHƯƠNG PHÁP .Cho bất phương trình có chứa tham số m : h(x,m) < g(x,m). Biến đổi bất phương trình về dạng m < f(x) (3). Để bất phương trình (3) có nghiệm với D x ∈ ∀ (Tập miền D cho trước) )( x f M inm Dx∈ <⇒ . Để bất phương trình (3) có nghiệm trong D (Tập miền D cho trước) )( x f M axm Dx∈ <⇒ Từ đó tìm )( x f M in Dx∈ hoặc )( x f M ax Dx∈ suy ra kết quả. +Nhiều khi cần đặt ẩn phụ )( x t α = ï mới đưa về bất phương trình dạng (3). Bài tập minh hoạ : Bài 1 .Định m để bất phương trình có nghiệm mxxxx ≥++++ )64)(3)(1( 2 R x ∈∀ . HD : Bất p/t viết lại . Đặt t = x mxxxx ≥++++ )64)(34( 22 2 +4x +3 = (x+2) 2 – 1 1 − ≥ . Bất phương trình trở thành . (4) mtttf ≥+= 3)( 2 Để thoả mãn ycđt bất phương trình (4) có nghiệm ⇔ [ ) + ∞ − ∈ ∀ ;1 t )(min 1 t f m t −≥ ≤⇒ . Ta có f’(t) = 2t+3 , lập bảng xét dấu ta có 2)1()(min 1 − = − = −≥ f t f t . Do đó khi m thì bất phương trình trên có nghiệm mọi x thuộc tập R. 2−≤ Bài 2 : Cho hàm số f(x) = x 3 – 2x 2 –(m – 1)x + m .Định tham số m để 2, 1 )( ≥∀≥ x x xf . HD : ta có 2, 1 )( ≥∀≥ x x xf )2(,01)1(2 234 ≥∀≥−+−−−⇔ xmxxmxx 2 2 2 22 2 234 )(min)2(),( 1 )( 1)( )( 12 ≥ ≤⇔≥∀= − = − −− = − −+− ≤⇔ t xgmttg t t xx xx xx xxx m Lập bảng biến thiên ta tìm kết quả . Bài 3 . Tìm m để bất phương trình sau đây có nghiệm : 012 2 <+−+ xmx . HD .Bất phương trình tương đương )(min)( 1 2 12 2 2 xfmxf x x mxmx >⇔= + + >⇔+<+ Ta có f’(x) = 2 1 0)(', )1( 21 1 1 . 1 )2( 1 32 2 2 2 =⇔= + − = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + −+ xxf x x x x xx x Lập bảng xét dấu ta có fmin 1−→ 1 − >⇒ m . Bài 4 . Xác định m để nghiệm bất phương trình 2)1( 222 +≤++ xxmx thỏa . ]1;0[∈∀x HD : Vì nghiệm ,nên bất phương trình tương đương ]1;0[∈x .212 2424 xxmxx +≤+++ Đặt 24 2xxt += , ]3;0[]1;0[ ∈⇒∈∀ tx . Bất phương trình viết lại . Để bất phương trình thỏa tương đương bất phương trinh có nghiệm )(1 2 tfttm =−−≤ ]1;0[∈∀x )(1 2 tfttm =−−≤ ) 2 1 ()(min]3;0[ ]30[ ftfmt t =≤⇔∈∀ ∈ . Bài 5 :Tìm m để hàm số 3 1 )2(3)1( 3 1 23 +−+−−= xmxmmxy đồng biến trong khoảng [2 ; ∞ + ). HD :Ta có đạo hàm y’=mx 2 -2(m-1)x+3(m-2) . ycbt 2x0 2)-3(m1)x-2(m-mxy' 2 ≥∀≥+=⇔ 3 2 )2()(2 32 26 )( 2 2 ==≥⇔≥∀ +− − =≥ ≥ gxgMaxmx x x x xgm x . Bài 6 . Tìm m để hàm số xa aaxx y − +− = 2 32 22 nghịch biến trong (1 ; ∞ + ). HD : Ta có đạo hàm 2 22 )2( 4 ' xa aaxx y − ++− = Ycbt ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≥ ↔ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ >∀≥−−= ↔>∀≤ − ++− =⇔ ≥ 12 0)( 12 104)( 10 )2( 4 ' 1 22 2 22 a x g M in a xaaxxxg x xa aaxx y Xét g’(x)=2(x-2a) suy ra 32 12 014)1()( 1 2 −≤⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≥+−== ≥ a a aagxMing x . Bài 7 .Tìm a để hệ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤+++ =+ ayx yx 35 3 có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện . 4≥x HD: Đặt 2 )3( −=⇒= tytx . Vì . Hệ trên có nghiệm khi bất phương trình 24 ≥⇒≥ tx f(t)= attt ≤+−++ 1265 22 có ít nhất một nghiệm thỏa 2≥t a t f t ≤ ⇔ ≥ )(min 2 . Ta có f’(t) = 1262 62 5 22 +− − + + tt t t t > 0 mọi t thuộc [2; ) ∞ + suy ra hàm số f(t) luôn đồng biến trong [2; . Do đó )∞+ 5)2()(min 2 = = ≥ f t f t . 5≥⇒ a Bài tập đề nghị : Bài 1 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <++ <−+ 013 0123 3 2 mxx xx Bài 2.Định tham số m để bất phương trình sau đây có nghiệm 27 x - 3 2x+1 + 2 – k > 0 . Bài 3.Tìm k để bất phương trình sau đây có nghiệm : 012 2 <+−+ xkx . Bài 4.Định tham số m để bất phương trình ( ) 421 2 2 2 ++≤++ xxmx có nghiệm [ ] .1;0 ∈ ∀ x . Bài 5. Định m để bất phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) 021log22log 2 2 2 ≤−++++ mxxx Bài 6.Định k để bất phương trình lg( - 2x 2 – x +2)≥lg(-x 2 +x –k) có nghiệm 0≥ x . ( Chắc có điều thiếu sót, mong các bạn góp ý trao đổi. Chân thành cảm ơn!) . ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN Tìm điều kiện phương trình, bất phương trình có nghiệm Nguyễn Lái GV.THPT. xác định trong [0 ; 3 ] Chứng minh hàm số đồng biến ,suy ra x = y. Thế y = x vào 1 trong 2 phương trình trên ta có xx −+ 32 = m ⎩ ⎨ ⎧ = −+= ⇔ my xxy 32 .Lập bảng biến thiên suy ra kết quả. Bài. phương pháp cơ bản để tìm giá trị : 1) Dùng bảng biến thiên; 2)Dùng bất đẳng thức ; 3)Dùng điều kiện p/t có nghiệm . Các bài tập minh hoạ. Bài 1. Chứng minh rằng phương trình sau đây có ba nghiệm