SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẬU GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN VỊ THANH KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - 4 LẦN THỨ XVI ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; KHỐI: 10 ĐỀ THI CÂU HỎI 1: ( 3.0 điểm) Giải phương trình sau: 25x53x36x85x3 23 3 −+−=− ĐÁP ÁN CÂU HỎI 1 Phương trình 25x53x36x85x3 23 3 −+−=− ( ) 3 3 3 5 2 3 2x x x ⇔ − = − − + 0.5 đ Đặt 3 5x33y2 −=− ( ) ( ) 1 5x33y2 3 −=−⇔ 0.25 đ Suy ra: ( ) 3y22x3x2 3 −=+−− ( ) ( ) 2 5y2x3x2 3 −+=−⇔ 0.5 đ Lấy ( ) 1 trừ ( ) 2 : ( ) ( ) 223232 33 yxxy −=−−− 0.25 đ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] y2x23x23x23y23y2x2y2 22 −=−+−−+−−⇔ 0.5 đ Suy ra xy = 0.25 đ Thay xy = vào ( ) 1 ta được: ( ) 5x33x2 3 −=− ( ) ( ) 011x20x82x 2 =+−−⇔ . 0.25 đ Phương trình có ba nghiệm 2x = ; 4 35 x ± = . 0.25 đ Thử lại nhận thấy cả ba nghiệm đều thỏa. 0.25 đ Số phách Số phách CÂU HỎI 2: (4.0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất sau: có thể chia tập hợp 6 số { } 2015n 2014;n 2013;n 2012;n 2011;n ;2010n ++++++ thành hai tập hợp, sao cho tích tất cả các số của tập hợp này bằng tích tất cả các số của tập hợp kia. ĐÁP ÁN CÂU HỎI 2: Nhận thấy trong 5 số nguyên liên tiếp phải có một và chỉ một số chia hết cho 5. 0.5 đ Vì vậy nếu tập hợp 6 số { } 2015n 2014;n 2013;n 2012;n 2011;n ;2010 ++++++n thỏa yêu cầu thì trong tập hợp đó phải có đúng hai số chia hết cho 5, hai số đó chỉ có thể là 2015n ;2010 ++n , còn các số 2014n 2013;n 2012;n ;2011 ++++n không chia hết cho 5. 0.5 đ Chý ý rằng: nếu trong 6 số của tập hợp trên có một số chia hết cho số nguyên tố 7≥p thì trong 5 số còn lại sẽ không chia hết cho p khi đó tập hợp không có tính chất đã nêu. 0.5đ Từ đây suy ra các số 2014n 2013;n 2012;n ;2011 ++++n chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 và 3, 0.5 đ tức là: 11 3.22011 mk n =+ ; 22 3.22012 mk n =+ ; 33 3.22013 mk n =+ ; 44 3.22014 mk n =+ trong đó 43214321 ;;;;;;; mmmmkkkk là các số nguyên không âm. 0.5đ Nếu 32011+n khi đó 32014+n thì 2013n 2012;n ++ không chia hết cho 3, do đó 0 32 == mm cho ta 3 2 22013n ;22012n k k =+=+ điều này là vô lý vì hai số nguyên liên tiếp là số chẵn. 0.5đ Lập luận tương tự, ta thấy nếu n + 2012 chia hết cho 3 hoặc n + 2013 chia hết cho 3 thì ta vẫn gặp điều mâu thuẫn. 0.5đ Do đó không có số nguyên nào thỏa yêu cầu. 0.5đ CÂU HỎI 3: ( 3.0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ là các điểm bất kỳ trên cạnh BC, AC, AB sao cho các đường thẳng AA’ , BB’ CC’ đồng qui. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = AB’.CA’.BC’ ĐÁP ÁN CÂU 3: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, AC, AB. Ta có: 2 ' ' '. ' '. ' 2 AB B C AB B C AN AB B C AN + ≤ = ⇔ ≤ 0.5 đ Tương tự ta có: 2 2 '. ' '. ' CA A B CM BC C A BP ≤ ≤ 0.5 đ 2 ( '. '. ')( ' . ' . ' ) ( . . )AB CA BC B C A B C A AN CM BP⇒ ≤ 0.5 đ Theo định lí Ceva, ta có: ' ' ' . . 1 '. '. ' ' . ' . ' ' ' ' AB CA BC AB CA BC B C A B C A B C A B CA = ⇒ = 0.5 đ Suy ra '. '. ' . . 8 abc AB CA BC AN CM BP≤ = 0.5 đ Vậy T Max = (AB’.CA’.BC’ ) Max = 8 abc 0.5 đ CÂU HỎI 4: (4.0 điểm) Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau: ba c ac b cb a ac c cb b ba a + + + + + < + + + + + ĐÁP ÁN CÂU HỎI 4: Trước hết ta chứng minh rằng: cba ca ba a ++ + < + ( ) 1 0.5đ Thật vậy, do các số a, b, c đều dương nên ( ) ( ) ( )( ) bacacbaa1 ++<++⇔ bcacabaacaba 22 +++<++⇔ ( ) đúng 0.25đ Tương tự ta có các bất đẳng thức sau: acb ab cb b ++ + < + , bac bc ac c ++ + < + 0.5đ Cộng vế theo vế ( ) 1 và hai bất đẳng thức trên, ta được: ( ) 2 cba cba2 ac c cb b ba a = ++ ++ < + + + + + ( ) 2 0.5đ Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ( ) ( ) cba 2 1 cba ++≤+ 0.5đ ( ) cba a2 cba 1 a cb a ++ ≥ + = + ⇒ ( ) 3 0.5đ Tương tự ta được hai bất đẳng thức sau: cba b2 ac b ++ ≥ + và cba c2 ba c ++ ≥ + 0.5đ Cộng vế theo vế bất đẳng thức ( ) 3 và hai bất đẳng thức trên ta được: ( ) 2 2 = ++ ++ ≥ + + + + + cba cba ba c ac b cb a ( ) 4 0.5đ Từ ( ) 2 , ( ) 4 suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 0.25đ CÂU HỎI 5: (3.0 điểm) Trong thư viện có 12 bộ sách gồm 3 bộ sách Toán giống nhau, 3 bộ sách Vật lý giống nhau, 3 bộ sách Hóa học giống nhau và 3 bộ sách Sinh học giống nhau được xếp thành một dãy sao cho không có ba bộ nào cùng một môn đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy ? ĐÁP ÁN CÂU 5: Gọi A là tập hợp các cách xếp 12 bộ thành một dãy tùy ý. Gọi 1 A là tập hợp các cách xếp 3 bộ sách Toán đứng kề nhau. Gọi 2 A là tập hợp các cách xếp 3 bộ sách Lý đứng kề nhau. Gọi 3 A là tập hợp các cách xếp 3 bộ sách Hóa đứng kề nhau. Gọi 4 A là tập hợp các cách xếp 3 bộ sách Sinh đứng kề nhau. Gọi * A là tập hợp các cách xếp thỏa yêu cầu đề bài. 0.5đ Ta có 4 1 * \ = = i i AAA 0.5 đ 4 1 * = −=⇒ i i AAA 0.5đ Mà 369600 )!3( !12 4 ==A 0.5đ 60936 )!3( !4 )!3( !6 )!3( !8 )!3( !10 0 4 4 1 3 4 2 2 4 3 1 4 4 1 =+++= = CCCCA i i 0.5đ 30866460936369600 * =−=⇒ A 0.5đ CÂU HỎI 6: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến và phân giác kẻ từ A theo thứ tự cắt cạnh BC tại M, N. Từ N kẻ đường vuông góc với NA, đường này cắt MA và AB tường ứng tại Q và P. Từ P kẻ đường vuông góc với BA, đường này cắt NA tại O. Chứng minh rằng BCOQ ⊥ ĐÁP ÁN CÂU HỎI 6: Ta chọn hệ trục tọa độ vuông góc như sau: gốc tọa độ là N, NO là trục hoành và PN là trục tung. 0.25đ Khi đó phương trình đường thẳng AB có dạng: baxy += 0.25 đ Vì trục hoành Ox là phân giác trong của góc A nên đường thẳng AC đối xứng với AB qua trục hoành, do vậy ( ) baxy:AC −−= . 0.25 đ Theo giả thiết ABPO ⊥ và nhận thấy ( ) 0; bP nên ( ) bx a 1 y:PO +−= . 0.25đ Gọi ( ) cxy:BC = . Ta tìm được + − + − −− ac bc ; ac b C ; ac bc ; ac b B 0.5đ Suy ra trung điểm M của BC có tọa độ là −− 2222 ac abc ; ac ab . 0.25đ Từ phương trình của các đường thẳng AB, PO cho ta − 0; a b A ; ( ) 0;abO . 0.25đ Lập phương trình đường thẳng AM: 0y a c a b xa =− + . 0.25đ Q là giao điểm của AM và trục tung nên c ab ;0Q . 0.25đ Hệ góc cuả đường thẳng BC là c và của đường thẳng OQ là c 1− nên BCOQ ⊥ . 0.5đ . DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẬU GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN VỊ THANH KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - 4 LẦN THỨ XVI ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; KHỐI: 10 ĐỀ THI CÂU HỎI 1: ( 3.0 điểm) Giải phương trình sau: 25x53x36x85x3 23 3 −+−=− . ba nghiệm đều thỏa. 0.25 đ Số phách Số phách CÂU HỎI 2: (4.0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất sau: có thể chia tập hợp 6 số { } 2015n 2014;n 2013;n 2012;n 2011;n ;2010n ++++++ . } 2015n 2014;n 2013;n 2012;n 2011;n ;2 010 ++++++n thỏa yêu cầu thì trong tập hợp đó phải có đúng hai số chia hết cho 5, hai số đó chỉ có thể là 2015n ;2 010 ++n , còn các số 2014n 2013;n 2012;n