GA BDHSG toán 8

Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 Tuần 3: Tiết : 1+2+3 ÔN TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. MỤC TIÊU: Ôn tập +Hằng đẳng thức. +Phân tích đa thức thành nhân tử. +Rút gọn biểu thức. +Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. B. TIẾN TRÌNH: Bài 1: So sánh các cặp số sau: 1. A= 1999. 2001 và B= 2000 2 2. C=3 n+1 +4.2 n-1 -81.3 n-3 -8.2 n-2 +1 và D = (2 n +1) 2 +(2 n -1) 2 -2(4 n +1) ( Với n nguyên dương.) Giải 1. A=1999.2001=(2000-1) (2000+1)=2000 2 -1<2000 2 ⇒ A<B 2. C=3 n+1 + 2 2 . 2 n-1 - 3 4 . 3 n-3 - 2 3 . 2 n-2 +1 C=3 n+1 + 2 n+1 - 3 n+1 - 2 n+1 + 1 = 1 D=(2 n ) 2 +2.2 n + 1 +(2 n ) 2 - 2.2 n + 1 - 2.(2 2 ) n - 2 =2 2n + 2 n+1 + 1 + 2 2n - 2 n+1 + 1 -2.2 2n - 2 = 2.2 2 n - 2.2 2n = 0 ⇒ C > D Bài 2:Chứng minh rằng: 1. a 2 +b 2 +c 2 = ab+ac+bc ⇔ a = b = c 2. (5x-3y+4z)(5x-3y-4z)=(3x-5y) 2 ⇔ x 2 =y 2 +z 2 Giải 1.a 2 +b 2 +c 2 =ab+ac+bc ⇔ 2a 2 +2b 2 +2c 2 -2ab-2ac-2bc=0 ⇔ (a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 =0 a-b = 0 ⇔ b-c = 0 c-a = 0 ⇔ a = b = c GV: Đỗ Thị Thơm 1 Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 2.(5x-3y+4z)(5x-3y-4z) = (3x-5y) 2 ⇔ (5x-3y) 2 - 16z 2 = (3x-5y) 2 ⇔ (5x-3y) 2 - (3x-5y) 2 = 16z 2 ⇔ (8x-8y)(2x+2y) = 16z 2 ⇔ 16(x 2 - y 2 ) = 16z 2 ⇔ x 2 = y 2 +z 2 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 1. A = x 2 +5y 2 - 2xy+4y+3 2. B = (x 2 -2x) (x 2 -2x+2) Giải 1. A= x 2 - 2xy + y 2 + 4y 2 + 4y + 1 + 2 = (x-y) 2 + (2y+1) 2 + 2 Vì (x-y) 2 ≥ 0, (2y+1) 2 ≥ 0 với mọi x, y ⇒ A ≥ 2. Đẳng thức xảy ra x-y =0 x = y ⇔ 2y+1=0 ⇔ y= 2 1− Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 ⇔ x = y = 2 1− 2. B = (x 2 -2x)(x 2 -2x + 2) Đặt t = x 2 - 2x ⇒ B = t(t +2) = (t+1) 2 -1 ≥ -1 Đẳng thức xảy ra ⇔ t+1 =0 ⇔ x 2 -2x +1 = 0 ⇔ (x-1) 2 = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -1 ⇔ x = 1 ******************************* GV: Đỗ Thị Thơm 2 Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 Tiết 4 +5 + 6 Bài 4 Giải phương trình: 5x 2 +5y 2 +8xy -2x + 2y +2 =0 Giải 5x 2 +5y 2 +8xy -2x +2y +2 =0 ⇔ 4x 2 +8xy +4y 2 +x 2 -2x +1+y 2 +2y +1=0 ⇔ 4(x+y) 2 +(x-1) 2 +(y+1) 2 = 0 x+y =0 x = 1 ↔ x-1=0 ⇔ y+1=0 y=-1 Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) -x 4 + 2x 3 -2x 2 + 2x -1 b) -2x 2 - y 2 + 2xy + 4x - 40 Giải a) -x 4 +2x 3 -2x 2 +2x -1 = -x 4 + 2x 3 -x 2 -x 2 + 2x - 1 = -x 2 (x 2 -2x +1) - (x 2 -2x +1) = -(x-1) 2 (x 2 +1) Vì x 2 +1>0,(x -1) 2 ≥ 0 với mọi x ⇒ -(x-1) 2 (x 2 +1) ≤ 0 với mọi x Đẳng thức xảy ra ⇔ (x-1) 2 =0 ⇔ x=1 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 0 khi x=1 b) -2x 2 - y 2 + 2xy + 4x - 40 = -x 2 + 2xy - y 2 - x 2 + 4x- 4 - 36 =-(x-y) 2 - (x-2) 2 - 36 = -36 -(x-y) 2 - (x-2) 2 ≤ -36 Đẳng thức xảy ra ⇔ x=y=2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thứclà -36 khi x=y=2 Bài 6: Cho x 2 =a 2 +b 2 +ab và a+b=c. Chứng minh rằng: 2x 4 =a 4 +b 4 +c 4 Giải Ta có: x 2 =a 2 +b 2 +ab ⇒ x 4 =a 4 +b 4 +a 2 b 2 +2a 2 b 2 +2a 3 b+2ab 3 x 4 =a 4 +b 4 +a 2 b 2 +2ab(a 2 +b 2 +ab) =a 4 +b 4 +a 2 b 2 +2abx 2 (1) GV: Đỗ Thị Thơm 3 Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 Mà c=a+b ⇒ c 2 =a 2 +2ab+b 2 ⇒ c 2 =x 2 +ab ⇒ c 4 =x 4 +2abx 2 +a 2 b 2 (2) Từ (1) và (2) ⇒ 2x 4 =x 4 +a 4 +b 4 +2abx 2 +a 2 b 2 ⇒ 2x 4 =a 4 +b 4 +c 4 (đpcm). Bài 7: Cho x, y là 2 số khác nhau thoả mản x 2 +y = y 2 +x Tính giá trị của biểu thức sau: A = 1 22 − ++ xy xyyx Giải Ta có: x 2 +y = y 2 +x ⇔ x 2 -y 2 +y-x = 0 ⇔ (x-y)[(x+y)-1] = 0 Vì x ≠ y nên x+y-1 = 0 ⇔ x+y = 1 Từ đó ta có: A = 1 22 − −+ xy xyyx = 1 )( 2 − −+ xy xyyx = 1 1 − − xy xy = -1 Vậy A= -1 Bài 8: Phân tích các đa thưc sau thành nhân tử: a) (x-y) 3 +(y-z) 3 +(z-x) 3 b) x(y 2 -z 2 )+y(z 2 -x 2 )+z(x 2 -y 2 ) Giải a) (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 =(x - y + y - z)[(x - y) 2 -(x - y)(y - z) + (y - z) 2 ] + (z - x) 3 =(x - z)[(x - y) 2 - (x - y)(y - z) + (y - z) 2 - (z - x) 2 ] =(x - z)[(x - y)(x - y - y + z) + (y - z + z - x)(y - z - z + x)] =(x - z)(x - y)(x - 2y + z - y + 2z - x) =3(x - z)(x - y)(z - y) b) x(y 2 - z 2 ) + y(z 2 - x 2 ) + z(x 2 - y 2 ) = x(y 2 - x 2 + x 2 - z 2 ) + y(z 2 - x 2 ) + z(x 2 - y 2 ) = x(y 2 - x 2 ) + x(x 2 - z 2 ) + y(z 2 - x 2 ) + z(x 2 - y 2 ) = (x 2 - y 2 )(z - x) + (x 2 - z 2 )(x - y) =(x - y)(z - x)(x + y - x - z) =(x - y)(z - x)(y - z) GV: Đỗ Thị Thơm 4 Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 Bài 9: Cho cạnh của hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB,AD lấy các điểm P và Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng 2.Chứng minh rằng góc PCQ = 45 0 Giải Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE =BP Ta có CBPCDE ∆=∆ (c.g.c) Suy ra CE = CP và ∠ ECD = ∠ PCB Ta có ∠ ECP = ∠ ECD+ ∠ DCP = ∠ PCB+ ∠ DCP=90 0 Chu vi tam giác APQ bằng: 2 = AP+ PQ + QA = AB + AD =AP+ PB + AQ + QD ⇒ PQ =PB +QD =DE + QD = QE Hai tam giác CEQ và CQP có: EC = PC ; PQ = QE và QC chung ⇒ CQPCEQ ∆=∆ (c.c.c) Từ đó suy ra ∠ PCQ = 2 1 ∠ ECP = 2 90 0 = 45 0 GV: Đỗ Thị Thơm 5 A D B C E P Q Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 Tiết 7 +8 +9 Bài 10: Cho hình thang ABCD (AB//CD) và O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: a) S (AOD) = S (COD). b)S (AOB) . S (COD) = [S (BOC) ] 2 Giải a. Kẻ đường cao AH và BH', ta có: AH=BH' Ta có: S (ADC) = 2 1 AH.DC S (BDC = 2 1 BH'.DC Suy ra: S (ADC) = S (BDC) Hay S (AOD) + S (COD). = S (BOC) +S (COD) Suy ra: S (AOD) = S (BOC) b. Kẻ đường cao KB của tam giác ABC Ta có: S(BOC) S(AOB) = OC.BK 2 1 AO.BK 2 1 = OC OA (1) Tương tự kẻ đường cao DLcủa tamgiác ADC Ta có: S(DOC) S(AOD) = OC.DL 2 1 .DL AO 2 1 = OC OA (2) Từ (1) và (2) suy ra: S(BOC) S(AOB) = S(DOC) S(AOD) Hay S (AOB) . S (COD) = [S (BOC) ] 2 Bài 11: Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD và E là trung điểm CD. Gọi M là giao điểm của AE và BD, N là giao điểm của BE và AC. Chứng minh rằng MN song song vớiAB và tính MN biết AB = a, CD= b. Giải Xét tam giác AMB có AB//DE nên: GV: Đỗ Thị Thơm 6 O B A D C H L K H' Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 AB ED MA ME = Mà ED =EC nên: AB EC MA ME = (1) Xét tam giác ANB có: AB//CE nên AB EC NB NE = (2) Từ (1) và (2) suy ra MA ME = NB NE Áp dụng định lý Talet đảo trong tam giác AEB ta suy ra MN // AB * Tính MN theo a và b Xét tam giác AEC có MN // EC nên: EC MN = CA NA (1) Xét tam giác ANB có AB // EC nên: NC AN = CE AB suy ra: ECAB AB NCAN AN + = + hay CA AN = 2 b a a + = ba a +2 2 (2) So sánh (1) và (2) ta có: EC MN = ba a +2 2 Mà EC= 2 b do đó MN = ba ab +2 Bài 12: Cho hình bình ABCD. Một đường thẳng l cắt AB ở E, cắt AD ở F và cắt đường chéo AC ở G. Chứng minh rằng: AE AB + FA AD = GA AC . Giải Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Kẻ BM//EF và DN //EF với M,N trên AC Xét tam giác ABM có EG // BM nên AE AB = GA AM (1) Xét tam giác ADN có FG // DN nên AF AD = GA AN (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có GV: Đỗ Thị Thơm 7 N M D A B C E F G O E B C A D M N Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 AE AB + FA AD = GA ANAM + (3) Mặt khác: ∆ ABM= ∆ CDN(g.c.g) Suy ra AN =NC (4) . Thay (4) vào (3) ta được: AE AB + FA AD = GA ANNC + = AG AC (đpcm) Bài 13: Cho tam giác đều ABC. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các cạnh AB và AC sao choBM=BN. Gọi G là trọng tâm tam giác BMN và I là trung điểm của AN. Tính các góc của tam giác GIC. Giải Ta có BMN là tam giác đều nên G là tâm của tam giác BMN. Gọi P là trung điểm của MN thì GN GP = 2 1 (tính chất trọng tâm của tam giác đều) Ta lại có: MA PI = NC PI = 2 1 Suy ra GN GP = NC PI = 2 1 (1) Mặt khác ∠ GPI = ∠ GPM + ∠ MPI = 90 0 +60 0 =150 0 Do đó ∠ GPI = ∠ GNC (2) Từ (1) và (2) suy ra ∆ GPI ~ ∆ GNC Từ đó ta có: ∠ PGI = ∠ NGC và GI = 2 1 GC Suy ra ∠ IGC = 60 0 (vì ∠ IGC = ∠ PGN = 60 0 ) Gọi K là trung điểm GC thì ∆ GIK đều nên IK = 2 1 GC Điều đó chứng tỏ ∆ GIC vuông tại I. Vậy ∠ GIC = 90 0 , ∠ IGC = 60 0 , ∠ GCI = 30 0 GV: Đỗ Thị Thơm 8 I P K B A C G M N Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 Tiết 10 +11+12 Bài 14: Cho a+b+c =0 .Tính giá trị biểu thức: A = (a-b)c 3 +(c-a)b 3 +(b-c)a 3 Giải Xét A =(a-b)c 3 +(c-a)b 3 +(b-c)a 3 =(a-c+c-b)c 3 +(c-a)b 3 +(b-c)a 3 =(a-c)c 3 +(c-b)c 3 +(c-a)b 3 +(b-c)a 3 =(a-c) 3 (c 3 -b 3 )(c-b)(c 3 -a 3 ) =(a-c)(c-b)(c 2 +bc+b 2 -c 2 -ac-a 2 ) =(a-c)(c-b)[c(b-a)+b 2 -a 2 ] =(a-c)(c-b)(b-a)(c+b+a) Do a+b+c=0 Suy ra A=0 Bài 15: Cho các số x,y,z thoả mãn điều kiện x+y+z=1 và x 3 +y 3 +z 3 =1. Tính giá trị biểu thức: A=x 2001 +y 2001 +z 2001 Giải Ta có: x+y+z=1 ⇔ (x+y+z) 3 =1 Mà x 3 +y 3 +z 3 =1 nên (x+y+z) 3 - x 3 -y 3 -z 3 =0 ⇔ [(x+y+z) 3 - x 3 ]-(y 3 +z 3 )=0 ⇔ (x+y+z-x)[(x+y+z) 2 +(x+y+z)x+x 2 ]-(y+z)(y 2 -yz+z 2 )=0 ⇔ (y+z)[(x+y+z) 2 +(x+y+z)x+x 2 -y 2 +yz-z 2 ]=0 ⇔ (y+z)[(x+y+z) 2 -z 2 +(x+y)(x-y)+(x+y)x+(x+y)z]=0 ⇔ (x+y)(y+z)(x+y+2z+x-y+x+z)=0 ⇔ 3(y+z)(x+y)(x+z)=0 Mà x+y+z=1 nên: y=-z x=-y x=-z x=1 z=1 y=1 Do đó trong mọi trường hợp ta có: A=x 2001 +y 2001 +z 2001 =1 Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A có góc A <90 0 . Từ B kẻ BM vuông góc với AC tại M. Chứng minh: MC MA +1= 2( BC AB ) 2 Giải Gọi D là điểm đối xứng của C qua A GV: Đỗ Thị Thơm 9 Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 Suy ra BDC∆ vuông tại B ⇒ BC 2 = CD.CM = 2AB.CM Hay CM= AB BC 2 2 Vì góc A nhọn nên M nằm giữa A và C ⇒ AM = AC - CM = AB - AB BC 2 2 = AB BCAB 2 2 22 − ⇒ CM AM = 2 22 2 BC BCAB − =2( BC AB ) 2 -1 (đpcm) GV: Đỗ Thị Thơm 10 D B C A M . Thị Thơm 2 Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 Tiết 4 +5 + 6 Bài 4 Giải phương trình: 5x 2 +5y 2 +8xy -2x + 2y +2 =0 Giải 5x 2 +5y 2 +8xy -2x +2y +2 =0 ⇔ 4x 2 +8xy +4y 2 +x 2 -2x +1+y 2 +2y. Đỗ Thị Thơm 1 Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 2.(5x-3y+4z)(5x-3y-4z) = (3x-5y) 2 ⇔ (5x-3y) 2 - 16z 2 = (3x-5y) 2 ⇔ (5x-3y) 2 - (3x-5y) 2 = 16z 2 ⇔ (8x-8y)(2x+2y) = 16z 2 ⇔ 16(x 2 -. AF AD = GA AN (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có GV: Đỗ Thị Thơm 7 N M D A B C E F G O E B C A D M N Giáo án bồi dưỡng: Toán 8 AE AB + FA AD = GA ANAM