+Rút gọn biểu thức.. +Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức... Bài 9: Cho cạnh của hình vuông ABCD có độ dài là 1... Gọi M là giao điểm của AE và BD, N là giao điểm của BE và AC.. Chứng min
Trang 1Tuần 3:
Tiết : 1+2+3
A MỤC TIÊU: Ôn tập
+Hằng đẳng thức
+Phân tích đa thức thành nhân tử
+Rút gọn biểu thức
+Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B TIẾN TRÌNH:
Bài 1: So sánh các cặp số sau:
1 A= 1999 2001 và B= 20002
2 C=3n+1 +4.2n-1-81.3n-3-8.2n-2+1 và D = (2n+1)2+(2n-1)2 -2(4n+1)
( Với n nguyên dương.)
Giải
1 A=1999.2001=(2000-1) (2000+1)=20002-1<20002
⇒A<B
2 C=3n+1+ 22 2n-1- 34 3n-3 - 23 2n-2 +1
C=3n+1+ 2n+1 - 3n+1 - 2n+1 + 1 = 1
D=(2n)2 +2.2n + 1 +(2n)2 - 2.2n + 1 - 2.(22)n - 2
=22n + 2n+1 + 1 + 22n - 2n+1 + 1 -2.22n - 2
= 2.22 n - 2.22n = 0
⇒C > D
Bài 2:Chứng minh rằng:
1 a2+b2+c2 = ab+ac+bc ⇔a = b = c
2 (5x-3y+4z)(5x-3y-4z)=(3x-5y)2 ⇔x2=y2+z2
Giải
1.a2+b2+c2=ab+ac+bc
⇔2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
⇔(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
a-b = 0
⇔ b-c = 0
c-a = 0
⇔
Trang 22.(5x-3y+4z)(5x-3y-4z) = (3x-5y)2
⇔(5x-3y)2 - 16z2 = (3x-5y)2
⇔(5x-3y)2 - (3x-5y)2 = 16z2
⇔(8x-8y)(2x+2y) = 16z2
⇔16(x2 - y2) = 16z2
⇔x2 = y2+z2
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
1 A = x2+5y2- 2xy+4y+3
2 B = (x2-2x) (x2-2x+2)
Giải
1 A= x2 - 2xy + y2 + 4y2 + 4y + 1 + 2
= (x-y)2 + (2y+1)2 + 2
Vì (x-y)2 ≥0, (2y+1)2 ≥0 với mọi x, y
⇒A≥2 Đẳng thức xảy ra x-y =0 x = y
⇔ 2y+1=0 ⇔ y=
2
1
−
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 ⇔x = y =
2
1
−
2 B = (x2-2x)(x2-2x + 2)
Đặt t = x2 - 2x ⇒B = t(t +2) = (t+1)2 -1≥-1
Đẳng thức xảy ra ⇔t+1 =0 ⇔x2 -2x +1 = 0⇔(x-1)2 = 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -1⇔x = 1
*******************************
Trang 3Tiết 4 +5 + 6
Bài 4 Giải phương trình:
5x2 +5y2 +8xy -2x + 2y +2 =0
Giải
5x2 +5y2 +8xy -2x +2y +2 =0
⇔4x2 +8xy +4y2 +x2 -2x +1+y2+2y +1=0
⇔4(x+y)2+(x-1)2 +(y+1)2 = 0
x+y =0 x = 1
↔ x-1=0 ⇔
y+1=0 y=-1
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) -x4 + 2x3 -2x2 + 2x -1
b) -2x2- y2 + 2xy + 4x - 40
Giải
a) -x4 +2x3 -2x2 +2x -1 = -x4 + 2x3 -x2 -x2 + 2x - 1
= -x2(x2-2x +1) - (x2-2x +1) = -(x-1)2 (x2+1)
Vì x2 +1>0,(x -1)2 ≥0 với mọi x
⇒-(x-1)2 (x2 +1) ≤0 với mọi x
Đẳng thức xảy ra ⇔(x-1)2=0⇔ x=1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 0 khi x=1
b) -2x2- y2 + 2xy + 4x - 40 = -x2 + 2xy - y2- x2 + 4x- 4 - 36
=-(x-y)2- (x-2)2 - 36 = -36 -(x-y)2 - (x-2)2 ≤ -36
Đẳng thức xảy ra ⇔x=y=2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thứclà -36 khi x=y=2
Bài 6: Cho x2=a2+b2 +ab và a+b=c Chứng minh rằng:
2x4 =a4+b4+c4
Giải
Ta có: x2 =a2+b2+ab
⇒x4=a4 +b4 +a2b2 +2a2b2+2a3b+2ab3
x4 =a4+b4+a2b2 +2ab(a2+b2+ab)
Trang 4Mà c=a+b ⇒c2=a2+2ab+b2 ⇒c2=x2 +ab
⇒c4=x4 +2abx2+a2b2 (2)
Từ (1) và (2)⇒2x4=x4+a4 +b4+2abx2+a2b2
⇒2x4=a4+b4+c4 (đpcm)
Bài 7: Cho x, y là 2 số khác nhau thoả mản x2+y = y2+x
Tính giá trị của biểu thức sau:
A =
1
2 2
−
+ +
xy
xy y x
Giải
Ta có: x2+y = y2+x ⇔x2-y2+y-x = 0
⇔(x-y)[(x+y)-1] = 0
Vì x≠y nên x+y-1 = 0⇔x+y = 1
Từ đó ta có: A =
1
2 2
−
− +
xy
xy y x
) ( 2
−
− +
xy
xy y x
= 1xy−−xy1 = -1 Vậy A= -1
Bài 8: Phân tích các đa thưc sau thành nhân tử:
a) (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3
b) x(y2-z2)+y(z2-x2)+z(x2-y2)
Giải
a) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
=(x - y + y - z)[(x - y)2 -(x - y)(y - z) + (y - z)2] + (z - x)3
=(x - z)[(x - y)2 - (x - y)(y - z) + (y - z)2 - (z - x)2]
=(x - z)[(x - y)(x - y - y + z) + (y - z + z - x)(y - z - z + x)]
=(x - z)(x - y)(x - 2y + z - y + 2z - x)
=3(x - z)(x - y)(z - y)
b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
= x(y2 - x2 + x2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
= x(y2 - x2) + x(x2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
= (x2 - y2)(z - x) + (x2 - z2)(x - y)
=(x - y)(z - x)(x + y - x - z)
=(x - y)(z - x)(y - z)
Trang 5Bài 9: Cho cạnh của hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh
AB,AD lấy các điểm P và Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng 2.Chứng minh rằng góc PCQ = 450
Giải
Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE =BP
Ta có ∆CDE = ∆CBP(c.g.c)
Suy ra CE = CP và ∠ ECD = ∠ PCB
Chu vi tam giác APQ bằng:
2 = AP+ PQ + QA = AB + AD
Hai tam giác CEQ và CQP có:
EC = PC ; PQ = QE và QC chung
⇒∆CEQ= ∆CQP (c.c.c)
Từ đó suy ra ∠PCQ =
2
1
2
90 0
= 450
A
D
B
C
E
P
Q
Trang 6Tiết 7 +8 +9
Bài 10: Cho hình thang ABCD (AB//CD) và O là giao điểm hai đường chéo
AC và BD Chứng minh rằng:
a) S(AOD) = S(COD).
b)S(AOB) S(COD) = [S(BOC)]2
Giải
a Kẻ đường cao AH và BH', ta có:
AH=BH'
Ta có: S(ADC) =
2
1
AH.DC
S(BDC =
2
1
BH'.DC
Suy ra: S(ADC) = S(BDC)
Hay S(AOD) + S(COD). = S(BOC) +S(COD)
Suy ra: S(AOD) = S(BOC)
b Kẻ đường cao KB của tam giác ABC
Ta có: S(BOC)S(AOB) =
OC.BK 2
1
AO.BK 2
1
=
OC
OA
(1)
Tương tự kẻ đường cao DLcủa tamgiác ADC
Ta có: S(AOD)S(DOC) =
OC.DL 2
1
.DL AO 2
1
=
OC
OA
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: S(BOC)S(AOB) = S(DOC)S(AOD)
Hay S(AOB) S(COD) = [S(BOC)]2
Bài 11: Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD và E là trung điểm CD Gọi
M là giao điểm của AE và BD, N là giao điểm của BE và AC Chứng minh rằng MN song song vớiAB và tính MN biết AB = a, CD= b
Giải
Xét tam giác AMB có AB//DE nên:
O
B A
H
L
K
H'
Trang 7
AB
ED
MA
ME =
Mà ED =EC nên:
AB
EC
MA
ME = (1)
Xét tam giác ANB có:
AB//CE nên
AB
EC NB
NE = (2)
Từ (1) và (2) suy ra
MA
ME
=
NB NE
Áp dụng định lý Talet đảo trong tam giác AEB ta suy ra MN // AB
* Tính MN theo a và b
Xét tam giác AEC có MN // EC nên:
EC
MN
=
CA
NA
(1) Xét tam giác ANB có AB // EC nên:
NC
AN
=
CE
AB
suy ra:
EC AB
AB NC
AN
AN
+
=
AN
=
2
b a
a
+ = a b
a
+ 2
2
(2)
So sánh (1) và (2) ta có:
EC
MN
=
b a
a
+ 2 2
Mà EC=
2
b
do đó MN =
b a
ab
+ 2
Bài 12: Cho hình bình ABCD Một đường thẳng l cắt AB ở E, cắt AD ở F và cắt đường chéo AC ở G Chứng minh rằng:
AE
AB
+
F
A
AD
=
G
A
AC
Giải
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD Kẻ BM//EF và DN //EF
với M,N trên AC
Xét tam giác ABM có EG // BM nên
AE
AB
=
G
A
AM
(1) Xét tam giác ADN có FG // DN nên
AD = AN (2)
N M
D
C E
F
G
O E
M N
Trang 8
AE
AB
+
F
A
AD
=
G
A
AN
AM +
(3) Mặt khác:∆ABM=∆CDN(g.c.g)
Suy ra AN =NC (4) Thay (4) vào (3) ta được:
AE
AB
+
F
A
AD
=
G
A
AN
NC+
=
AG
AC
(đpcm) Bài 13: Cho tam giác đều ABC Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các cạnh
AB và AC sao choBM=BN Gọi G là trọng tâm tam giác BMN và I là trung điểm của AN Tính các góc của tam giác GIC
Giải
Ta có BMN là tam giác đều nên G là tâm của
tam giác BMN Gọi P là trung điểm của MN thì
GN
GP
=
2
1
(tính chất trọng tâm của tam giác đều)
Ta lại có:
MA
PI
=
NC
PI
=
2 1
Suy ra
GN
GP
=
NC
PI
=
2
1
(1) Mặt khác ∠GPI =∠GPM +∠MPI = 900 +600 =1500
Do đó ∠GPI = ∠GNC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∆GPI ~ ∆GNC
Từ đó ta có:∠PGI = ∠NGC và GI =
2
1
GC Suy ra ∠IGC = 600 (vì ∠IGC = ∠PGN = 600)
Gọi K là trung điểm GC thì ∆GIK đều nên IK =
2
1
GC Điều đó chứng tỏ ∆GIC vuông tại I
Vậy ∠GIC = 900 , ∠IGC = 600 , ∠GCI = 300
I
B
G
Trang 9Tiết 10 +11+12
Bài 14: Cho a+b+c =0 Tính giá trị biểu thức:
A = (a-b)c3 +(c-a)b3 +(b-c)a3
Giải
Xét A =(a-b)c3 +(c-a)b3 +(b-c)a3
=(a-c+c-b)c3+(c-a)b3 +(b-c)a3
=(a-c)c3+(c-b)c3+(c-a)b3 +(b-c)a3
=(a-c)3(c3-b3)(c-b)(c3-a3)
=(a-c)(c-b)(c2+bc+b2-c2-ac-a2)
=(a-c)(c-b)[c(b-a)+b2-a2]
=(a-c)(c-b)(b-a)(c+b+a)
Do a+b+c=0 Suy ra A=0
Bài 15: Cho các số x,y,z thoả mãn điều kiện x+y+z=1 và x3+y3+z3=1
Tính giá trị biểu thức:
A=x2001+y2001+z2001
Giải
Ta có: x+y+z=1 ⇔ (x+y+z)3=1
Mà x3+y3+z3=1 nên (x+y+z)3- x3-y3-z3=0
⇔[(x+y+z)3- x3]-(y3+z3)=0
⇔(x+y+z-x)[(x+y+z)2+(x+y+z)x+x2]-(y+z)(y2-yz+z2)=0
⇔(y+z)[(x+y+z)2+(x+y+z)x+x2-y2+yz-z2]=0
⇔(y+z)[(x+y+z)2-z2+(x+y)(x-y)+(x+y)x+(x+y)z]=0
Mà x+y+z=1 nên:
y=-z x=-y x=-z
x=1 z=1 y=1
Do đó trong mọi trường hợp ta có:
A=x2001+y2001+z2001=1
Bài 16:
Cho tam giác ABC cân tại A có góc A <900 Từ B kẻ BM vuông góc với
AC tại M Chứng minh:
MC
MA
+1= 2(
BC
AB
)2
Giải
Trang 10Suy ra ∆BDCvuông tại B
Hay CM=
AB
BC
2
2
Vì góc A nhọn nên M nằm giữa A và C
-AB
BC
2
2
=
AB
BC AB
2
2 2 − 2
⇒
CM
AM =
2
2 2
2
BC
BC
AB − =2(
BC
AB)2 -1 (đpcm)
D
A
M