CHƯƠNG I : VECTƠ 1. Hai vecto bằng nhau : a vaø b cuøng höôùng a b a b = ⇔ = r r r r r r 2. Quy tắc 3 điểm : • Với 3 điểm bất kì A, B, C ta luôn có : AB BC AC+ = uuur uuur uuur . • Nếu MN uuuur là một vecto đã cho thì với điểm O bất kì ta luôn có : MN ON OM= − uuuur uuur uuuur . 3. Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành ta luôn có : AB AD AC+ = uuur uuur uuur . Chú ý : • M là trung điểm của AB khi và chỉ khi : 0MA MB+ = uuur uuur r hoặc 2.OA OB OM+ = uuur uuur uuuur ( với O bất kì) hoặc AM MB= uuuur uuur . • Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì : 0 3.GA GB GC OA OB OC OG+ + = ⇔ + + = uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur . (với điểm O bất kì) CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Chứng minh hai vecto bằng nhau : • Chứng tỏ hai vecto có giá song song hoặc trùng nhau. • Chứng tỏ hai vecto cùng hướng. • Độ dài hai vecto bằng nhau. BÀI TẬP: 1. Cho hình thoi ABCD.A’B’C’D’ Các đẳng thức sau đúng hay sai ? a) AB AD= uuur uuur b) AB CD= uuur uuur c) AD BC= uuur uuur d) AD CB= uuur uuur Giải: a) Sai, do hai vecto đó không cùng phương. b) Sai, do hai vecto đó ngược hướng. c) Đúng. d) Đúng, do AD = BC. 2. Cho tam giác ABC có trực tâm là H. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, AC, HB, HC. Chứng minh : EFMN = uuuur uuur . Giải : MN là trung điểm AB , AC ⇒ MN là đtb của tam giác ABC ⇒ MN =1/2.BC Và EF là đtb của tam giác HBC ⇒ EF = ½.BC. Vậy : MN = EF ⇒ EFMN = uuuur uuur . 3. Cho tam giác ABC. Từ trung điểm M, N của các cạnh AB, AC. Vẽ ME ⊥ BC, NF ⊥ BC. Chứng minh : ME NF= uuur uuur . Giải: Theo gt ta có : ME //= ½.AH A D B C F E N M H B A C E F H N M B A C NF //= ½.AH ⇒ ME //= NF ⇒ ME uuur = NF uuur và ME uuur và NF uuur cùng hướng. Do đó ME NF= uuur uuur . Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vecto : Sử dụng quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành. BÀI TẬP: 4. Cho 4 điểm bất kì M, N, P, Q. Chứng minh các đẳng thức sau : a) PQ NP MN MQ+ + = uuur uuur uuuur uuuur b) NP MN QP MQ+ = + uuur uuuur uuur uuuur c) MN PQ MQ PN+ = + uuuur uuur uuuur uuur Giải : a) Ta có : ( )PQ NP MN MN NP PQ MP PQ MQ+ + = + + = + = uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur . b) 0 ( ) ( ) ( )NP MN NQ QP MQ QN QP MQ NQ QN QP MQ MP+ = + + + = + + + = + = r uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur 1 4 2 43 . c) ( ) ( )MN PQ MQ QN PN NQ MQ PN+ = + + + = + uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur 5. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. a) Chứng minh : OF 0OA OB OC OD OE+ + + + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur r b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, CD, AF, DE. Chứng minh : MN PQ= uuuur uuur . Giải: a) Theo hình vẽ ta thấy : OF ( ) ( ) ( OF) 0OA OB OC OD OE OA OD OB OE OC + + + + + = + + + + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r b) Vì M, N lần lượt là trung điểm AB, CD nên MN là đtb của hình thang cân ABCD ⇒ MN //AD và MN = (BC + AD)/2. Tương tự, ta có : QP // AD và QP = (EF + AD)/2 = (BC + AD)/2 = MN Suy ra MNQP là hình bình hành. Vậy : MN PQ= uuuur uuur . 6. Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thỏa mãn điều kiện 0MA MB M C− + = uuur uuur uuuur r Giải : Ta cần biểu diễn vecto MA uuur theo các vecto cố định. Ta có : ( ) ( ) 0MA MB MC MA MA AB MA AC− + = − + + + = uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur r Hay : 0AB MA AC hay AM AC AB BC− + + = = − = uuur uuur uuur r uuuur uuur uuur uuur Vậy M hoàn toàn xác định. Cách khác : 0 0MA MB MC BA MC CM BA− + = ⇔ + = ⇔ = uuur uuur uuuur r uuur uuuur r uuur uuur ⇒ M hoàn toàn xác định. 7. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng : AFAD BE CF AE BF CD BD CE+ + = + + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Giải : Gọi O là điểm tùy ý. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ ta được điều phải chứng minh. BÀI TẬP VỀ NHÀ: 8. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng : AB CD AD CB+ = + uuur uuur uuur uuur 9. Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng : a) Tứ giác BDCH là hình bình hành. b) OA OB OC OH+ + = uuur uuur uuur uuur . Q P N M C B F A E O D . cho thì với điểm O bất kì ta luôn có : MN ON OM= − uuuur uuur uuuur . 3. Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành ta luôn có : AB AD AC+ = uuur uuur uuur . Chú ý : • M là trung điểm. điểm AB, CD nên MN là đtb của hình thang cân ABCD ⇒ MN //AD và MN = (BC + AD)/2. Tương tự, ta có : QP // AD và QP = (EF + AD)/2 = (BC + AD)/2 = MN Suy ra MNQP là hình bình hành. Vậy : MN PQ= uuuur. Do đó ME NF= uuur uuur . Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vecto : Sử dụng quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành. BÀI TẬP: 4. Cho 4 điểm bất kì M, N, P, Q. Chứng minh các đẳng thức sau : a) PQ