tichphan.pdf

nguyên hàm, tích phân

Trần Só Tùng Tích phân Trang 1 Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt: a) ®=x0sinxlim1x Hệ quả: ®=x0xlim1sinx ®=u(x)0sinu(x)lim1u(x) ®=u(x)0u(x)lim1sinu(x) b) xx1lim1e,xRx®¥ỉư+=Ỵç÷èø Hệ quả: 1xx0lim(1x)e.®+= x0ln(1x)lim1x®+= xx0e1lim1x®-= 2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (c)’ = 0 (c là hằng số) 1(x)'xaa-=a 1(u)'uu'aa-=a 211'xxỉư=-ç÷èø 21u''uư=-ç÷èø ( )1x'2x= ( )u'u'2u= xx(e)'e= uu(e)'u'.e= xx(a)'a.lna= uu(a)'a.lna.u'= 1(lnx)'x= u'(lnu)'u= a1(logx')x.lna= au'(logu)'u.lna= (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 221(tgx)'1tgxcosx==+ 22u'(tgu)'(1tgu).u'cosu==+ 221(cotgx)'(1cotgx)sinx-==-+ 22u'(cotgu)'(1cotgu).u'sinu-==-+ 3. Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x(a;b)Ỵ . Cho số gia Dx tại x sao cho xx(a;b)+DỴ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Tích phân Trần Só Tùng Trang 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1. Đònh nghóa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: F'(a)f(x)vàF'(b)f(b)+-== 2. Đònh lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số. Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f(x)dx.ò Do đó viết: f(x)dxF(x)C=+ò Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. 3. Các tính chất của nguyên hàm: · ( )f(x)dx'f(x)=ò · af(x)dxaf(x)dx(a0)=¹òò · [ ]f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx+=+òòò · [ ] [ ]f(t)dtF(t)Cfu(x)u'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x))=+Þ=+=+=òò 4. Sự tồn tại nguyên hàm: · Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. §Bài 1: NGUYÊN HÀM Trần Só Tùng Tích phân Trang 3 BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u = u(x)) dxxC=+ò duuC=+ò 1xxdxC(1)1a+a=+a¹-a+ò 1uuduC(1)1a+a=+a¹-a+ò dxlnxC(x0)x=+¹ò dulnuC(uu(x)0)u=+=¹ò xxedxeC=+ò uuedueC=+ò xxaadxC(0a1)lna=+<¹ò uuaaduC(0a1)lna=+<¹ò cosxdxsinxC=+ò cosudusinuC=+ò sinxdxcosxC=-+ò sinuducosuC=-+ò 22dx(1tgx)dxtgxCcosx=+=+òò 22du(1tgu)dutguCcosu=+=+òò 22dx(1cotgx)dxcotgxCsinx=+=-+òò 22du(1cotgu)ducotguCsinu=+=-+òò dxxC(x0)2x=+>ò duuC(u0)2u=+>ò 1cos(axb)dxsin(axb)C(a0)a+=++¹ò 1sin(axb)dxcos(axb)C(a0)a+=-++¹ò dx1lnaxbCaxba=+++ò axbaxb1edxeC(a0)a++=+¹ò dx2axbC(a0)aaxb=++¹+ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 4 Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) Xác đònh F’(a+) Xác đònh F’(b–) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x),x(a;b)F'(a)f(a)F'(b)f(b)+-="Ỵìï=íï=ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: 2F(x)ln(xxa)=++ với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số 21f(x)xa=+ trên R. Giải: Ta có: 222222x1(xxa)'2xaF'(x)[ln(xxa)]'xxaxxa++++=++==++++ 2222xax1f(x)xa(xxa)xa++===++++ Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Ví dụ 2: CMR hàm số: x2ekhix0F(x)xx1khix0ì³ï=í++<ïỵ Là một nguyên hàm của hàm số xekhix0f(x)2x1khix0ì³=í+<ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x0¹, ta có: xekhix0F'(x)2x1khix0ì>=í+<ỵ b/ Với x = 0, ta có: Trần Só Tùng Tích phân Trang 5 · Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0. 20x0x0F(x)F(0)xx1eF'(0)limlim1.x0x---®®-++-===- · Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0. x0x0x0F(x)F(0)eeF'(0)limlim1.x0x+++®®--===- Nhận xét rằng F'(0)F'(0)1F'(0)1.-+==Þ= Tóm lại: xekhix0F'(x)f(x)2x1khix0ì³==í+<ỵ Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Bài toán 2: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b). PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trò tham số. Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) Xác đònh F’(a+) Xác đònh F’(b–) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F'(x)f(x),x(a;b)F'(a)f(a)F'(b)f(b)+-="Ỵìï=íï=ỵ Þ giá trò của tham số. Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C. Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm. Tích phân Trần Só Tùng Trang 6 Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số: 2xkhix1F(x)axbkhix1ì£=í+>ỵ là một nguyên hàm của hàm số: 2xkhix1f(x)2khix1£ì=í>ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x1¹ , ta có: 2xkhix1F'(x)2khix1<ì=í>ỵ b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do đó : x1x1limF(x)limF(x)f(1)ab1b1a(1)-+®®==Û+=Û=- · Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1. 2x1x1f(x)F(1)x1F'(1)=limlim2.x1x1-®®--==-- · Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0 = 0. x1x1x1F(x)F(1)axb1ax1a1F'(1)limlimlima.x1x1x1++++®®®-+-+--====--- Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F'(1)F'(1)a2.-+Û=Û= (2) Thay (2) vào (1), ta được b = –1. Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1. Khi đó: F’(1) = 2 = f(1) Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số: -=++22xF(x)(axbxc)e là một nguyên hàm của 22xF(x)(2x8x7)e-=--+ trên R. Giải: Ta có: 2x22xF'(x)(2axb)e2(axbxc)e--=+-++22x2ax2(ab)xb2ce-éù=-+-+-ëû Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R F'(x)f(x),xRÛ="Ỵ Û-+-+-=-+-"Ỵ222ax2(ab)xb2c2x8x7,xR a1a1ab4b3b2c7c2==ììïïÛ-=Û=-ííïï-=-=ỵỵ Vậy -=-+22xF(x)(x3x2)e . Trần Só Tùng Tích phân Trang 7 BÀI TẬP Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số xF(x)lntg24pỉư=+ç÷èø Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số 1f(x)cosx= . Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số 2ln(x1),x0F(x)x0,x0ì+¹ï=íï=ỵ là một nguyên hàm của hàm số 2222ln(x1),x0f(x)x1x1,x0ì+-¹ï=+íï=ỵ Bài 3. Xác đònh a, b, c sao cho hàm số 2xF(x)(axbxc).e-=++ là một nguyên hàm của hàm số 2xf(x)(2x5x2)e-=-+ trên R. ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. Bài 4. a/ Tính nguyên hàm 322x3x3x7F(x)củaf(x)vàF(0)8.(x1)++-==+ b/ Tìm nguyên hàm F(x) của 2xf(x)sinvàF.224ppỉư==ç÷èø ĐS: a/ 2x8F(x)x;2x1=+++ b/ 1F(x)(xsinx1)2=-+ Bài 5. a/ Xác đònh các hằng số a, b, c sao cho hàm số: 2F(x)(axbxc)2x3=++- là một nguyên hàm của hàm số: 220x30x73f(x)trênkhoảng;22x3-+ỉư=+¥ç÷èø- b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0. ĐS: a/ a4;b2;c1;==-= b/ 2G(x)(4x2x10)2x322.=-+-- Tích phân Trần Só Tùng Trang 8 Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SƯÛ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Ví dụ 1: CMR , nếu f(x)dxF(x)C=+ò thì 1f(axb)dxF(axb)Cvớia0.a+=++¹ò Giải: Ta luôn có: 1f(axb)dxf(axb)d(axb)vớia0.a+=++¹ Áp dụng tính chất 4, ta được: 11f(axb)dx(axb)d(axb)F(axb)C(đpcm)aa+=++++òò. Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp: f(t)dtF(t)Cf(u)duF(u)C,vớiuu(x)=+Þ=+=òò Ví dụ 2: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 3(2x3)dx+ò b/4cosx.sinxdxò c/xx2edxe1+ò d/2(2lnx1)dxx+ò Giải: a/ Ta có: 443311(2x3)(2x3)(2x3)dx(2x3)d(2x3).CC.2248+++=++=+=+òò b/ Ta có: 544cosxcosx.sinxdxcosxd(cosx)C5=-=-+òò c/ Ta có: xxxxx2ed(e1)dx22ln(e1)Ce1e1+==++++òò d/ Ta có: 223(2lnx1)11dx(2lnx1)d(2lnx1)(2lnx1)C.x22+=++=++òò Ví dụ 3: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 2x2sindx2ò b/2cotgxdxò c/tgxdxò d/3tgxdxcosxò Giải: a/ Ta có: 2x2sindx(1cosx)dxxsinxC2=-=-+òò b/ Ta có: 221cotgxdx1dxcotgxxCsinxỉư=-=--+ç÷èøòò c/ Ta có: sinxd(cosx)tgxdxdxlncosxCcosxcosx==-=-+òòò Trần Só Tùng Tích phân Trang 9 d/ Ta có: 33443tgxsinxd(cosx)11dxdxcosxCC.cosxcosxcosx33cosx-==-=-+=-+òòò Ví dụ 4: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 2xdx1x+ò b/ 21dxx3x2-+ò Giải: a/ Ta có: 2222x1d(1x)1dxln(1x)C1x21x2+==++++òò b/ Ta có: 21111dxdxdxx3x2(x1)(x2)x2x1ỉư==-ç÷-+----èøòòò x2lnx2lnx1ClnC.x1-=---+=+- BÀI TẬP Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số: a/ 2xf(x)cos;2= b/ 3f(x)sinx. ĐS: a/ 1(xsinx)C;2++ b/ 31cosxcosxC.3-++ Bài 7. Tính các tích phân bất đònh : a/ xxe(2e)dx;--ò b/ xxedx;2ò c/ 2xxxx2.3.5dx10ò. d/ 25xxe1dx;e-+ò e/ xxedxe2+ò ĐS: a/ x2exC;-+ b/ xxeC;(1ln2)2+- c/ x6Cln6+ d/ 26xx1eeC;6----+ e/ xln(e2)C++. Bài 8. Tính các tích phân bất đònh : a/ 44xx2dx-++ò; b/ 35xxdxò ; c/ 2xx1dx+ò; d/ 2001(12x)dx;-ò e/ 34lnxdxx-ò ĐS: a/ 3x1C;3x-+ b/ 575xC;7+ c/ 221(x1)x1C3+++ ; d/ 20021(12x).C;22002--+ e/ 1(34lnx)34lnxC.6+++ Tích phân Trần Só Tùng Trang 10 Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết. Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng mình từ một vài minh hoạ sau: · Với 3263f(x)(x2)thìviếtlạif(x)x4x4.=-=-+ · Với 2x4x52f(x)thìviếtlạif(x)x3x1x1-+==-+--. · Với 2111f(x)thìviếtlạif(x)x5x6x3x2==--+-- · Với 11f(x)thìviếtlạif(x)(32x2x1)22x132x==--+++- · Với xx2xxxf(x)(23)thìviếtlạif(x)42.69.=-=-+ · Với 3f(x)8cosx.sinxthìviếtlạif(x)2(cos3x3cosx).sinx==+ 2cos3x.sinx6cosx.sinxsin4xsin2x3sin2xsin4x2sin2x.=+=-+=+ · 22tgx(1tgx)1=+- · 22cotgx(1cotgx)1=+- · n2n22x(1x)11x1x1x++=+++. Đó chỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình. Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: 2002Ix(1x)dx.=-ò Giải: Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x) ta được: 2002200220022003x(1x)[1(1x)](1x)(1x)(1x).-=---=--- Khi đó: 200220032002200320032004I(1x)dx(1x)dx(1x)d(1x)(1x)d(1x)(1x)(1x)C.20032004=---=---+----=-++òòòò Tổng quát: Tính tích phân bất đònh: Ix(axb)dx,vớia0a=+¹ò Sử dụng đồng nhất thức: 11x.ax[(axb)b]aa==+-