TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU GIÁO ÁN: TỰ CHỌN ĐẠI SỐ 9 Chuyên Đề I: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH TÍCH VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN A/ MỤC TIÊU : Đây là một dạng toán quan trọng trong hệ thống toán bậc phổ thông trung học . Giúp hs : +Rèn luyện tư duy logich ( tách , nhóm , thêm , bớt )và hằng đẳng thức . +Giúp học sinh thêm một phương tiện giải toán phương trình và bất phương trình. B/ CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO : 1) Phân tích đa thức thành nhân tử của Tôn Thân. 2) Những Bài toán biến đổi căn thức của nhóm giáo viên trường Lê Hồng Phong thành phố Hồ Chí Minh . C/ NỘI DUNG : I) Ôn lại một số phương pháp phân tích biểu thức thành tích : Phân tích các biểu thức sau thành tích : 1/ (x 2 +y 2 -5) 2 -4 x 2 y 2 -16xy-16 =(x 2 +y 2 -5) 2 -y(x 2 y 2 +4xy+4) =(x 2 +y 2 -5) 2 -[2(xy+2)] 2 =(x+y+1)(x+y-1)(x-y+3)(x-y-3) 2/x 2 y 2 (y-x)+y 2 z 2 (z-y) -x 2 z 2 (x-z)=A Nhận xét : z-x= (z-y)+(y-x) ⇒ A = x 2 y 2 (y-x)+y 2 z 2 (z-y) -x 2 z 2 [(z-y)+(y-x)] = x 2 y 2 (y-x)+y 2 z 2 (z-y) -x 2 z 2 (z-y)- x 2 z 2 (y-x) = (y-x) x 2 (y-z)(y+z) - (y-z) z 2 (y-x)(y+x) =( y-x)(y-z)(x-z)(xy+yz+xz) 3/ x 3 –7x-6= x 3 -x-6x-6=(x+1)(x 2 -x-6)=(x+1)(x+2)(x-3) Hay x 3 –7x-6= x 3 +8–7x+14 =(x+2)(x 2 -2x+4)-7(x+2) =(x+2)(x 2 -2x-3)= (x+1)(x+2)(x-3) 4/ (x 2 +x+1) 2 (x 2 +x+2)-12 Đặt x 2 +x+1=y . Ta có : y(y+1)-12= y 2 +y-12= (y-3)(y+4) Ta có : A = (x 2 +x+2) (x 2 +x+5)= (x-1)(x+2)( x 2 +x+5) II) Một số bài toán liên quan : Bài 1: Cho a là một số nguyên .CMR: M=(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)+1 là bình phương của một số nguyên Giải: M=[(a+1) (a+4)][ (a+2)(a+3)]+1= (a 2 +5a+4) (a 2 +5a+6)+1 Đặt a 2 +5a+4 =x ⇒ M =x(x+2)+1=x 2 +2x+1=(x+1) 2 =k 2 với x+1=k , x z k z∈ ⇒ ∈ Bài 2: CMR: A ≥ 0 với ∀ x ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 2 2 2 1 9 1 21 1 31A x x x x= + + + + + − − GIÁO VIÊN: LÝ VĂN TÀI Trang 1 TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU GIÁO ÁN: TỰ CHỌN ĐẠI SỐ 9 Đặt 2 1x y+ = , ta có : 4 3 2 9 21 31 ( 1)( 2)( 3)( 5)A y y y y y y y y= + + − − = − + + + 2 2 2 2 ( 3)( 4)( 6) 0,x x x x x= + + + ≥ ∀ Bài 3: CMR: 3 2 5 15 10 30,P n n n n z= + + ∀ ∈M 5 ( 1)( 2)P n n n= + + trong đó ( 1)( 2) 6n n n+ + M (tích của 3 số nguyên liên tiếp ) Bài 4: Tìm n ∈ Z sao cho 3 2 2P n n n= − − − là số nguyên tố 3 2 2 2 ( 2)( 1)P n n n n n n= − − − = − + + Với n ∈ Z thì 2 1 2n n n+ + > − ⇒ P là số nguyên tố ⇔ n-2=1 ⇒ n=3 Vậy P=13 III) Phân tích thành tích các biểu thức có chứa căn bậc hai: 2 2 1) (1 ) 2) ( 1) 3) ( )( ) x y x y x y x y xy x x y ay ax bx by x y a b + − − = + − − − = − + + + = + + 4)Rút gọn 3 3 ) . ( 0) a b a b a ab a b a b a b − − + > > ÷ ÷ − + ĐS: a b+ *Chú ý: ( ) ( ) 3 3 a b a b a b ab− = − + + ( ) ( ) ( 0)a b a b a b a b− = − + > > ( ) 2 1 1 ) 1 : 1 1 1 x x x x b B x x x x x − + = − + − + ÷ ÷ ÷ ÷ − + ĐS: 2 1 B x = − *Chú ý: ( ) 2 2 1 1x x x+ + = + ******************** Chủ Đề II: PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRONG CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA CĂN THỨC A/ MỤC TIÊU : -Rèn kó năng phân tích thành nhân tử để rút gọn các biểu thức có chứa căn thức bậc hai . -Sử dung kết quả rút gọn để chứng minh đẳng thức , so sánh giá trò của biểu thức với một hằng số , giải phương tình …và các bài toán có liên quan . B/ CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO : -Bài tập Đại số 9 (Ngô hữu Dũng –Trần Kiếu –Tôn Thân Đào Ngọc Nam) -Nâng cao và phát triển toán 9-Tập 1-Vũ Hữu Bình C/ NỘI DUNG : GIÁO VIÊN: LÝ VĂN TÀI Trang 2 TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU GIÁO ÁN: TỰ CHỌN ĐẠI SỐ 9 Dạng 1: phân tích thành nhân tử trong các bài toán rýt gọn biểu thức , chứng minh đẳng thức , so sánh giá trò của biểu thức , với 1 hằng số , tìm x… và các bài toán liên quan . VD1: Rút gọn biểu thức : 1 ) : ( 0; 0; ) ) 1 . 1 ( 0; 1) 1 1 a b b a a a b a b ab a b a a a a b a a a a + > > ≠ − + − + − > ≠ ÷ ÷ ÷ ÷ + − Giải : 1 ( ) ) : .( ) ( 1) ( 1) ) 1 . 1 1 1 (1 )(1 ) 1 1 1 1 1 a b b a ab a b a a b a b ab a b ab a a a a a a a a b a a a a a a a + + = − = − − + − + − + − = + − = + − = − ÷ ÷ ÷ ÷ + − + − VD2: Cho 0a ≥ chứng minh rằng : 2 2 2 1 ( 1) 1 1 a a a a a a a a a a − + − + + = − + + − + Giải : ta có : ( ) ( ) 2 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + + − − = = = − = − + + + + + + + − + + + = = = + = + − + − + − + ( ) 1 2 1 ( 1)VT a a a a a a a a⇒ = − − + + + = − + = − VD3: Cho biểu thức : 3 9 3 2 1 1 2 1 2 a a a P a a a a + − − = − + − + − − + Tìm a để 1P = Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 9 3 2 1 1 2 1 2 3 3 3 2 1 1 2 1 2 3 3 3 4 1 1 1 2 2 4 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 a a a P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a P P P a a a + − − = − + − + − − + + − − = − + − + − − + + − − + + − = − − + + + = − = − = − − − + ≠ ⇒ = ⇔ = − ⇔ + = − ⇔ = Bài tập tương tự : 1) Chứng minh đẳng thức : GIÁO VIÊN: LÝ VĂN TÀI Trang 3 TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU GIÁO ÁN: TỰ CHỌN ĐẠI SỐ 9 2 2 1 2 ) . ( 0; 1) 1 1 2 1 1 2 3 6 9 ) 9 2 3 6 2 3 6 a a a a a a a a a a a a b ab a b a ab a b ab a b + − + − = > ≠ ÷ ÷ − − + + − + − + − = − + − − + + + HD: phân tích thành thừa số : 2 3 6 ( 3)( 2) 2 3 6 ( 3)( 2) ab a b a b ab a b a b + − − = − + + + + = + + Mẫu chung là : ( 3)( 3)( 2)a a b+ − + 2) Cho biểu thức: 1 2 1 : 1 1 1 a a A a a a a a a = + − ÷ ÷ ÷ ÷ + − + − − a)Rút gọn A. b)Tìm các giá trò của a sao cho A>1 HD: a)ĐK: 1 0; 1; 1 a a a a A a + + ≥ ≠ = − b) 1 1A a > ⇔ > (Thỏa ĐK) 3) Cho biểu thức : 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x P x x x x − − + = + − + − − + a)Rút gọn P. b)Tìm các giá trò của x sao cho 1 2 P = c)So sánh P với 2 3 HD: a)DK: 0; 1; : 2 3 ( 1)( 3) 2 5 3 x x MSC x x x x x P x ≥ ≠ + − = − + − = + 1 1 ) 2 121 b P x= ⇔ = 2 ) 3 c P ≤ , dấu “=” xảy ra khi x=0 Dạng 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai để sử dụng hằng đẳng thức 2 A A= trong việc rút gọn các biểu thức , so sánh các số , giải phương trình chứa căn thức : VD1: Rút gọn biểu thức: 11 2 10− Giải : 2 11 2 10 10 2 10 1 ( 10 1) 10 1 10 1− = − + = − = − = − VD2: So sánh các cặp số sau: 4 7 4 7 2 & 0+ − − − Giải : Đặt P= 4 7 4 7 2+ − − − , ta có : GIÁO VIÊN: LÝ VĂN TÀI Trang 4 TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU GIÁO ÁN: TỰ CHỌN ĐẠI SỐ 9 ( ) ( ) 2 2 2 8 2 7 8 2 7 7 1 7 1 7 1 ( 7 1) 2 2 P P = + − − = + + − = + − − = ⇒ = Vậy : 4 7 4 7 2 0+ − − − = VD3: Cho a,b,c là các số khác 0 sao cho a+b+c=0 a) Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + b) Rút gọn biểu thức : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 4 1 99 100 S = + + + + + + + + + Giải : 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 2 2 a b c a a b c a b c ab ac bc a b c abc + + + + = + + + + + = + + + ÷ ÷ ÷ 2 2 2 1 1 1 a b c = + + Do đó : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c + + = + + + + ÷ b)Ta có : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1k k k k k k + + = + + = + − + − − + Do đó : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 98 98,99 2 3 3 4 99 100 2 100 S = + + + + − + + + − = + − = ÷ ÷ ÷ VD4: Giải pương trình : 1 1 2 ( )(1) 2 x y z x y z+ − + − = + + Giải: Với 0; 1; 2x y z≥ ≥ ≥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (1) 2 2 1 2 2 ( 2 1) ( 1 2 1 1) ( 2 2 2 1) 0 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 2 1 x y z x y z x x y y z z x y z x x y y z z ⇔ + − + − = + + ⇔ − + + − − − + + − − − + = ⇔ − − − − − = = = ⇔ − = ⇔ = = − = Các bài tập tương tự : 1) Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) ) 4 2 3 4 2 3 ) 4 15 10 6 4 15 a b + − − + − − ĐS: a) 2 b)2 2) Cho các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : xy+yz+zx=1 , tính giá trò biểu thức : GIÁO VIÊN: LÝ VĂN TÀI Trang 5 TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU GIÁO ÁN: TỰ CHỌN ĐẠI SỐ 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y z z x x y A x y z x y z + + + + + + = + + + + + ĐS: 2 3) Rút gọn các biểu thức sau về dạng không chứa căn thức : ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 2 2 1 1 1 1 1 M a b a b a b a b = + + + + + + + HD: p dụng kết quả của VD 3a ĐS: 1 1 1 M a b a b = + − + ******************** Chủ Đề III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI . A/ MỤC TIÊU : -Dựa vào đònh nghóa và tính chất căn bậc hai giúp hs giải một số dạng phương trình và bất phương trình có chứa căn thức bậc hai . -Giúp cho hs tăng khả năng tư duy lôgich và phân tích tổng hợp qua một số bài tập B/ CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO : -Bài tập Đại số 9 (Ngô hữu Dũng –Trần Kiếu –Tôn Thân Đào Ngọc Nam) -Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 9 của Nguyễn Hạnh Uyên Minh. C/ NỘI DUNG : I/ Phương trình chứa căn thức bậc hai : Dạng 1: A B= Cách giải : vận dụng phép biến đổi tương đương : 0A B A B= ⇔ = ≥ Giải các phương trình sau: ( ) ) 2 5 2 5 7 ) 9 9 1 2 6 3 1 1 2 6 1 0 1 1 2 1 2 6 1 4 1 2 6 2 2 1 2 4 0 2 ) 4 2 2 4 4 2 2 4 1 a x x x b x x x x x x x x x x x x x x x x x x c x x x x x − = ⇔ − = ⇔ = + − + = + ⇔ + − + = + + ≥ ≥ ≥ ⇔ + = + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + = + = = − ≥ ≥ − = − ⇔ ⇔ − = − = − Vậy phương trình vô nghiệm Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau: 2 2 1) 3 2 15 2) 2 1 1 3) 5 3 2 x x x x x − = + = − − = + Dạng 2: 2 0B A B A B ≥ = ⇔ = GIÁO VIÊN: LÝ VĂN TÀI Trang 6 TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU GIÁO ÁN: TỰ CHỌN ĐẠI SỐ 9 Cách giải :Bình phương cà 2 vế để mất dấu căn thức bậc hai . Trước khi trả lời thử lại để nhận nghiệm phù hợp . Giải các phương trình sau: ( ) 2 2 2 2 2 1 0 1 1 ) 5 1 2 2 5 2 1 5 1 x x x a x x x x x x x x x + ≥ ≥ − ≥ − + = + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = + = + + + = + Thử lại : 2 5 4 5 3; 1 2 1 3VT x VF x= + = + = = + = + = Vậy x=3 là nghiệm cuả phương trình . ( ) 2 2 2 2 0 2 ) 2 4 2 0 6 0 2 4 2 x x b x x x x x x x x − ≥ ≥ − + + = − ⇔ ⇔ ⇔ = = + + = − Thử lại : 2 2 4 4 2; 2 2VT x x VF x= + + = = = − = − Vậy phương trình vô nghiệm . ( ) ( ) ( ) 2 5 0 5 ) 2 5 5 10 2 0 2 5 5 x x c x x x x x x − ≥ ≤ + = − ⇔ ⇔ − − = + = − 5 2 10 2 x x x x ≤ ⇔ ⇔ = = ∨ = Thử lại : 2 5 4 5 3; 5 5 2 3VT x VF x= + = + = = − = − = Vậy phương trình có nghiệm là x=2 Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau: ( ) ( ) 2 2 1) 3 12 2 1 2) 3 3 3) 3 4 3 x x x x x x + − = − − = − + − = Dạng 3: −== ≥ ⇔= BBhayAA B BA 0 Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 5 2 =x b) ( ) 21 2 =−x c) 12 2 −= xx d) 244 2 +=+− xxx II/ Bất phương trình chứa căn thức bậc hai : A B> Cách giải : vận dụng phép biến đổi tương đương : 0B A B A B ≥ > ⇔ > Giải các bất phương trình sau: 2 2 0 2 1) 3 2 5 3 2 2 5 2 x x x x x x x x x ≤ − ≥ ≤ − > − ⇔ ⇔ ⇔ − > − > > Vậy bất phương trình vô nghiệm ( ) ( ) 2 2 2) 5 3 4 5 3 4x x x x− + − ≥ ⇔ − + − ≥ (1) Lập bảng xét dấu : x 3 5 GIÁO VIÊN: LÝ VĂN TÀI Trang 7 TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU GIÁO ÁN: TỰ CHỌN ĐẠI SỐ 9 x-5 - - 0 + 3-x + 0 - - *Với x<3 : (1) 5 3 4 2x x x⇔ − + − ≥ ⇔ ≤ (nhận ) *Với 3 5 : (1) 5 3 4 0 2x x x x≤ < ⇔ − + − ≥ ⇔ ≥ (vô nghóa) *Với 5 : (1) 5 3 4 6x x x x≥ ⇔ − + − ≥ ⇔ ≥ (nhận ) Vậy bất phương trình có nghiệm với 2 & 6x x ≤ ≥ Bài tập tương tự : Giải các bất phương trình sau ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1) 2 5 3 2) 1 3 2 3 x x x x x − ≥ + − + − ≥ + GIÁO VIÊN: LÝ VĂN TÀI Trang 8 . 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1k k k k k k + + = + + = + − + − − + Do đó : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 98 98 ,99 2 3 3 4 99 100 2 100 S = + + + + − + + + − = + − = ÷ ÷ ÷ VD4: Giải. : GIÁO VIÊN: LÝ VĂN TÀI Trang 3 TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU GIÁO ÁN: TỰ CHỌN ĐẠI SỐ 9 2 2 1 2 ) . ( 0; 1) 1 1 2 1 1 2 3 6 9 ) 9 2 3 6 2 3 6 a a a a a a a a a a a a b ab a b a ab a b ab a b + − + −. ) ( ) 4 3 2 2 2 2 2 1 9 1 21 1 31A x x x x= + + + + + − − GIÁO VIÊN: LÝ VĂN TÀI Trang 1 TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU GIÁO ÁN: TỰ CHỌN ĐẠI SỐ 9 Đặt 2 1x y+ = , ta có : 4 3 2 9 21 31 ( 1)( 2)( 3)(