BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Biên soạn: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá (Thời gian 180 phút). Đề số: Họ tên: Lớp: Trường: Ngày: Câu I: Cho (C m ): y = 1 3 x 3 – mx 2 – x + m + 1. 1. Khảo sát khi m = 0. 2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là nhỏ nhất. Câu II: Giải các phương trình và bất phương trình: 1. 2 2 x xπ x sin sin x cos sin x 1 2cos 2 2 4 2 − + = − ÷ . 2. 3 1 3 x 2x 7 2x 2 x + < + − . Câu III: 1. Giải hệ: 2 2 2 2 2 6 1 5 + = + = y xy x x y x 2. Tìm m để phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 log x log x m 2 2 2m 6 x 2 m 1 0 − − + − − + = có hai nghiệm phân biệt thuộc 1 ;2 2 ÷ . Câu IV: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. 1. Cho ( ) I 1;1;1 và đường thẳng x 2y z 9 0 d : 2y z 5 0 − + − = + + = . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho (S) cắt d tại hai điểm A, B thoả mãn AB = 16. 2. Cho hai điểm ( ) ( ) A 3;1;0 ,B 9;4;9 − và mặt phẳng ( ) P : 2z y z 1 0 − + + = . Tìmtoạ độ điểm M trên (P) sao cho: MA MB − lớn nhất Câu V: 1. Tính hệ số của x 4 trong khai triển về dạng đa thức của: ( ) 10 2 1 2x 3x+ + . 2. Tính: 10 2 1 I x lg xdx = ∫ . /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/thi-htu-dai-hoc-khoia-0- 14044032243102/acc1382462717.doc - 1 - BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Biên soạn: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá (Thời gian 180 phút). Hết LỜI GIẢI Câu I: Cho (C m ): y = 1 3 x 3 – mx 2 – x + m + 1. 1. Khảo sát khi m = 0. 2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là nhỏ nhất. Giải: 1. Khi m = 0, ta có y = 1 3 x 3 – x + 1. • TXĐ: D = ¡ . • SBT: y’ = x 2 – 1; y’ = 0 ⇔ x = ± 1. Khoảng đồng biến ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1;+∞ ; khoảng nghịch biến ( ) 1;1− . Điểm cực đại của đồ thị 5 A 1; 3 − ÷ ; điểm cực tiểu B(1; 1 B 1; 3 ÷ . Giới hạn vô cực x x lim y ; lim y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ . Bảng biến thiên • Đồ thị: (h.1). 2. (C m ): y = 1 3 x 3 – mx 2 – x + m + 1. Với mọi m, ta có y’(x) = x 2 – 2mx – 1, y’(x) = 0 (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . ⇒ (C m ) luôn có hai điểm cực trị A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ). /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/thi-htu-dai-hoc-khoia-0- 14044032243102/acc1382462717.doc - 2 - –2 50 27 − −∞ +∞ y’ – 0 + 0 – x 1 y y x O 1 3 –2 1 (h.1) (C) 50 27 − BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Biên soạn: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá (Thời gian 180 phút). Ta cũng có: ( ) ( ) 2 1 m 2 2m y x y' x m 1 x 1 3 3 3 3 = − − + + + ÷ . Suy ra phương trình (AB): ( ) 2 2 2m y m 1 x 1 3 3 = − + + + . Áp dụng Viet đối với (1) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 AB x x y y x x m 1 x x 9 = − + − = − + + − ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 4 1 m 1 x x 4x x 9 = + + + − ( ) ( ) 2 2 2 4 4 1 m 1 m 1 9 = + + + . Đặt 2 t m 1= + , t ≥ 1. Ta được: ( ) 2 2 3 4 16 AB 4t t 1 t 4t f t 9 9 = + = + = ÷ ; ( ) 2 16 f ' t t 4 0, t 1 3 = + > ∀ ≥ . Suy ra ( ) ( ) 2 52 AB f t f 1 9 = ≥ = . Vậy max 2 13 AB 3 = , khi t = 1 hay là m = 0. Câu II: Giải các phương trình và bất phương trình: 1. 2 2 x xπ x sin sin x cos sin x 1 2cos 2 2 4 2 − + = − ÷ . 2. 3 1 3 x 2x 7 2x 2 x + < + − . Giải: 1. Ta có: 2 2 x xπ x sin sin x cos sin x 1 2cos 2 2 4 2 − + = − ÷ 2 x xπ sin sin x cos sin x cos x sin x 2 2 2 − = − = ÷ ( ) ( ) sin x 0 1 x x sin x sin cos sin x 1 0 x x 2 2 sin cos sin x 1 2 2 2 = ⇔ − − = ⇔ ÷ − = Ta có (1) ⇔ sinx = 0 ⇔ x = k π . và x x sin cos sin x 2 2 − ≤ 1, nên (2) cần x sin 2 = 1, khi đó x cos 2 = 0, suy ra (2) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = k π . /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/thi-htu-dai-hoc-khoia-0- 14044032243102/acc1382462717.doc - 3 - BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Biên soạn: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá (Thời gian 180 phút). 2. 3 1 3 x 2x 7 2x 2 x + < + − (1). (1) ⇔ 1 1 3 x 2 x 7 4x 2 x + < + − ÷ ÷ . Đặt ( ) 2 1 1 t x t x 1,t 2 * 4x 2 x = + ⇒ = + + ≥ Khi đó (1) trở thành: ( ) 2 2 3t 2 t 1 7 2t 3t 9 0 < − − ⇔ − − < . Kết hợp (*) ta được: 2 2 2 4x 4x 1 0,x 0 1 2 t 3 2 t 9 2 x 1 9 4x 4x 32x 1 0 − + ≥ > ≤ < ⇔ ≤ < ⇒ ≤ + + < ⇔ − + < 2 4x 32x 1 0 8 3 7 8 3 7 x 2 2 x 0 − + < − + ⇔ ⇔ < < > . Câu III: 1. Giải hệ: 2 2 2 2 2 6 1 5 + = + = y xy x x y x 2. Tìm m để phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 log x log x m 2 2 2m 6 x 2 m 1 0 − − + − − + = có hai nghiệm phân biệt thuộc 1 ;2 2 ÷ . Giải: 1. Do x = 0 không thoả mãn hệ, ta có được: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 6 5 12 6 1 5 1 2 2 1 5 5 + = + − + = ÷ ÷ ÷ + = ⇔ ⇔ + = + − = ÷ = + − ÷ y y y y x x x x y xy x x y x y y y y x x x x ( ) ( ) ( ) 1 1 ; 1;2 3 1; 2 1 1 1 ; ;1 . 2 2; 1 2 = + = = = ⇔ ⇔ ⇔ = ÷ = = = x y y y x x x y y y x x 2. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 log x log x m 2 2 2m 6 x 2 m 1 0 − − + − − + = (1). Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 log 2 2 log x log x t 2 2 2 2 1 1 x t log x log t log x log 2 2 t t − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = = . /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/thi-htu-dai-hoc-khoia-0- 14044032243102/acc1382462717.doc - 4 - BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Biên soạn: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá (Thời gian 180 phút). Với điều kiện x ∈ 1 ;2 2 ÷ ⇒ 1 t 1 2 < ≤ (*). (1) trở thành: ( ) ( ) m 2 2m 6 t 2 m 1 0 t − − + − + = (2). Gọi ( ) ( ) ( ) m 2 f t 2m 6 t 2 m 1 t − = − + − + ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 m 3 t m 2 m 2 f ' t 2m 6 t t − − − − = − − = + m = 3, (1) ⇒ 2 2 log x 2 3 2 2 2 8 0 log x 3 log x 3 x 2 − = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = hoặc 3 1 x 2 = , không thoả mãn (*). + m = 2, (1) ⇒ 2 log x x 3 0 − + = vô nghiệm, không thoả mãn (*). + Khi m ≠ 3 và m ≠ 2 ta có ( ) ( ) 2 m 2 f ' t 0 t 2 m 3 − = ⇔ = − . Nhận xét với mỗi t thoả mãn (*) luôn có hai giá trị x thoả mãn (*). /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/thi-htu-dai-hoc-khoia-0- 14044032243102/acc1382462717.doc - 5 - . xdx = ∫ . /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document /thi- htu- dai- hoc- khoia- 0- 14044032243102/acc1382462717.doc - 1 - BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Biên soạn: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên. /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document /thi- htu- dai- hoc- khoia- 0- 14044032243102/acc1382462717.doc - 2 - –2 50 27 − −∞ +∞ y’ – 0 + 0 – x 1 y y x O 1 3 –2 1 (h.1) (C) 50 27 − BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Biên. k π . /storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document /thi- htu- dai- hoc- khoia- 0- 14044032243102/acc1382462717.doc - 3 - BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Biên soạn: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên