CHủ Đề Tự CHọN MÔN TOáN 6 LOạI NÂNG CAO ** TíNH CHIA HếTƯớC Và BộI ** Tr ờng THCS NGUYễN TRãI CĐ (2007-2008) A . MụC TIÊ U : Học xong bài này, học sinh có khả năng: +Biết cách ứng dụng các tính chất chia hết của tổng của hiệu, của tích vào giải bài tập, nhận dạng để giải các bài toán liên quan +Biết vận dụng cách tìm ớc và bội, cách xác định số lợng các ớc của một số vào giải bài tập +Hiểu sâu thêm các tính chất chia hết, cách tính sộ các ớc của một số+Rèn luyện cho học sinh tính chính xác khi vận dụng các tính chất chia hết và các cách tìm ớc và bội +Rèn luyện khả năng t duy, vận dụng kiến thức vào thực tế B . THờI LƯợNG : 4 tiết C. TàI LIệU THAM KHả O +Bài tập nâng cao toán 6-NXB.Giáo dục 2003 + ể học tốt toán 6 D. GợI ý THựC HIệ N *Lý thuyết (1 tiết 1) I -Tính chất chia hết của tổng, của hiệu, của tích +Kiến thức cơ bản: 1)Tính chất 1: , ; ( )a m b m a b m a b m a b + M M M M 2)Tính chất 2: ( ) , ;a m b m a b m a b m a b + M M M M 3)Tính chất 3: . ( )a m k a m k N M M 4)Tính chất 4: , .a m b m a b m M M M - ặc biệt; n n a b a b M M +Nâng cao: (1) Các tính chất 1 và 2 cũng đúng nếu tổng có nhiếu số hạng (2) 1 2 , . .a m b m k a k b m + M M M (3) , ;a m b m a b c m c m + + M M M M , ;a m b m a b c m c m + + M M M M (4)Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a pM hoặc b pM - ặc biệt: n a p a p M M II - ƯớC và BộI : *Kiến thức cơ bản: a b M a là bội của b b là ớc của a *Cách tìm:+Muốn tìm bội của một số ta nhân số đó lấn lợt với 0;1;2;3; Bội của b có dạng tổng quát là b.k với k N +Muốn tìm ớc của một số a ta lần lợt chia số a cho 1;2;3; ; a để xét xem a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ớc của a *Cách viết:+Tập hợp các ớc của a là: Ư(a)= } { * x N a x M +Tập hợp các bội của b là:B ( b )= } { x N x b M Hoặc B ( b ) = } { .b n n N hoặc B ( b)= { } 0; ;2 ;3 ; b b b *Nâng cao:Xác định số lợng các ớc của một số m ( m> 1): ta phân tích số m ra thừa số nguyên tố Nếu m = . . x y z a b c thí m có ( x+1).(y+1).(z+1) ớc * áP DụNG (3 tiết 3) Tùy theo tình hình học sinh, có thể chọn một số bài nh sau Bài 1)Tìm số tự nhiên n, để: a) n+4 M n+1 ; b) n 2 +n M n 2 +1 Hớng dẫn giải: a) n+4 M n+1 ( n+1)+3 M (n+1) 3 M (n+1) Vì n N , nên n+1 1, do đ ó: +nếu n +1=1 thì n =0 +nếu n +1=3 thì n =2 b) n 2 +n M n 2 +1 n 2 +1+n-1 M n 2 +1 n-1 M n 2 +1 (n-1)(n+1) M n 2 +1 n 2 -1 M n 2 +1 n 2 +1 -2 M n 2 +1 2 M n 2 +1 Vì n N , nên n+1 1, do đ ó: +Nếu n 2 +1 =1 thì n 2 =0 n=0 +Nếu n 2 +1 =2 thì n 2 =1 n=1 Bài 2:Chứng tỏ rằng: a) (5+5 2 +5 3 +5 4 ++5 29 +5 30 ) M 6 b) (5+5 2 +5 3 +5 4 ++5 8 ) M 30 c) ( 1+5+5 2 +5 3 + +5 403 +5 404 ) M 31 d) (a + a 2 +a 3 +a 4 ++a 29 +a 30 ) M (a+1) (với a N) e) (3+3 2 +3 3 +3 4 ++3 2n-1 +3 2n ) M 4 HD: a) (5+5 2 )+(5 3 +5 4 )++(5 29 +5 30 )=5(1+5)+5 3 (1+5)++5 29 (1+5) M b) (5+5 2 )+5 2 (5+5 2 )+5 4 (5+5 2 )+5 6 (5+5 2 )=30+5 2 .30+5 4 .30+5 6 .30= =30(1+5 2 +5 4 +5 6 ) M 30 n ch s 1 n ch s 1 n ch s 1 n ch s 1 n ch s 1 c)(1+5+5 2 )+(5 3 +5 4 +5 5 )++(5 402 +5 403 +5 404 ) =31+5 3 (1+5+5 2 )++5 402 (1+5+5 2 ) =31+5 3 .31+ +5 402 .31=31.(1+5 3 + +5 402 ) M 31 d)a(a+1)+a 3 (1+a)++a 29 (1+a) M (a+1) e)3(1+3)+3 3 (1+3)++3 2n-1 (1+3) M 4 Bài 3)Cho C=1+3+3 2 +3 3 ++3 11 .Chứng minh rằng a) C M 13 b) C M 40 HD: a)C=(1+3+3 2 )+(3 3 +3 4 +3 5 )+ +(3 9 +3 10 +3 11 ) =(1+3+3 2 )+3 3 (1+3+3 2 )+ +3 9 (1+3+3 2 )=13.(1+3 3 ++3 9 ) M 13 b)C=(1+3+3 2 +3 3 )+( 3 4 +3 5 +3 6 +3 7 )+(3 8 +3 9 +3 10 +3 11 ) = ( 1+3+3 2 +3 3 ) +3 4 (1+3+3 2 +3 3 ) +3 8 (1+3+3 2 +3 3 ) =40. ( 1+3+3 2 +3 3 ) M 40 Bài 4)Cho A=8n+ 111 1 1 42 4 3 (n * N ).Cmr : A M 9 HD: A=8n+ 111 1 1 42 4 3 A=9n+( 111 1 1 4 2 43 -n) Vì 111 1 1 4 2 43 có tổng các chữ số là n nên: ( 111 1 1 4 2 43 - n) M 9 Mà 9n M 9 .Vậy A M 9 Bài 5)Chứng minh rằng: nếu số abcd 99M thì 99ab cd+ M và ngợc lại HD: 100 99 99 ( )abcd ab cd ab ab cd ab ab cd= + = + + = + + Suy ra +nếu abcd 99M thì 99ab cd+ M + ngợc lại, nếu 99ab cd+ M thì abcd 99M BàI 6:Cho biểu thức A=1494.1495.1496 Không thực hiện phép tính, hãy giải thích vì sao: a) A M 180 ; b) A M 495 HD: a)Có 1494 M 9 ;1495 M 5 ;1496 M 4 =>A M 9.5.4=180 b) Có:1494 M 9 ;1495 M 5 ; 1496 M 11 =>A M 9.5.11=495 Bài 7)Tìm n N sao cho (27-5n) M n HD: Vì 5n<27 =>n<6 (1) Có 5n M n nên (27-5n) M n khi 27 M n Ta lại có 27 chia hết cho các số 1,3,9,27 (2) Từ (1) và (2) =>n { } 1;3 Bài 8) Chứng minh rằng: nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1) (p+1) chia hết cho 24 HD:Ta có (p-1). p.(p+1) M 3 ; mà ( p;3)=1 =>(p-1). (p+1) M 3 (1) Ví p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p là số lẻ =>p-1;p+1 là số chẵn (2) Từ (1) và (2) => (p-1). p.(p+1) chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau 3 và 8. Vậy (p-1). p.(p+1) M 24 Bài 9: Một số tự nhiên a và 5 lần số tự nhiên đó có tổng các chữ số nh nhau . Cmr a chia hết cho 9 HD: Hai số a và 5a có tổng các chữ số nh nhau, nên a và 5a chia cho 9 có cùng số d =>(5a-a) 9M hay 4a M 9 Mà (4;9) =1 . Vậy a M 9 Bài 10:Chứng minh rằng: Tích các ớc của 50 lả 50 3 HD: 50=2.5 2 ; 50 có 6 ớc là:1,2,5,10,25,50 Tích các ớc của 50 là:1.2.5.10.25.50=(1.50).(2.25).(5.10)=50 3 Bài 11: Cho a là một hợp số, khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa hai thừa số nguyên tố khác nhau là 1 p và 2 p .Biết a 3 có tất cả 40 ớc, hỏi a 2 có bao nhiêu ớc? HD: A= 3 3 3 1 2 1 2 . . m n m n p p a p p = Số ớc của a là: (3m+1) (3n +1)=40 =>m=1 ; n=3 (hoặc m =3 ; n=1) Số a = 2 2 2 1 2 . m n a p p= có số ớc là (2m+1) (2n+1)= 3.7 = 21 (ớc) Bài 12: Một trờng có 1015 học sinh, cần phải xếp vào mỗi hàng bao nhiêu học sinh để số học sinh mỗi hàng là nh nhau và không quá 40 hàng nhng cũng không ít hơn 10 hàng HD: Gọi x là số hàng xếp đợc. Theo bài 1025 M x và 10 40x hay x Ư(1015) và 10 40x Ư (1015)= { } 1;5;7;29;35;145;203;1015 , mà 10 40x =>x { } 29;35 Vậy+nếu xếp 29 hàng thì mỗi hàng có 1025:29=35 (hs) +Nếu xếp 35 hàng thì mỗi hàng có 1015:35=29 (hs) Bài 13: Tìm số tự nhiên x, biết rằng trong ba số 36; 45 và x thì bất cứ số nào cũng là ớc của tích hai số kia HD: Ta có 36x M 45 =>4x M 5 45x M 36 =>5x M 4 Do đó x M 20. ặt x =20 a (a=1;2;3; ) Ta có 36.45 M x hay 36.45 M (20a) Do đó 81 M a a Ư (81) Vậy a { } 1;3;9;27;81 => x { } 20;60;180;540;1620 Bài 14:Cho a và b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau; a=4n+3; b=5n+1 (n N).Tìm (a , b) HD: Theo bài, ta có (4n+3,5n+1)= d với d 1 Suy ra (4n+3) M d =>5(4n+3) M d (5n+1) M d =>4(5n+1) M d Vậy ( ) ( ) 5 4 3 4 5 1n n d+ + M hay 11 M d , mà d 1, nên d=11.Do đó (a,b)=11 Bài 15: Tìm hai số a và b, biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27 HD: Giả sử a b.Vì ƯCLN (a,b)= 27 nên a=27m;b=27n Trong đó (m,n)= 1 và m n Ta có a.b =27m.27n = 8748 => m.n =12.Chọn cặp số m, n nguyên tố cùng nhau có tích là 12 và m n, ta đợc m n a b 1 12 27 324 3 4 81 108 Bài 16:Tìm số tự nhiên a, biết a chia cho 12;18; 21 đều d 5 và a xấp xỉ 1000 HD: a-5 BC (12,18,21) BCNN(12,18,21)=252.Vậy a -5=252.k (k N * ) =>a=252k+5 Với k =4 thì a =1023 thỏa đề bài Bài 17:Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a, sao cho khi chia số đó cho2;3;4; 5; 7 đều d 1 HD: a-1 là BCNN(2;3;4;5;7)=420 => a=421 Bài 18.Biết ƯCLN của hai số là 45. Số lớn là 270. Tìm số nhỏ HD: Gọi số lớn là a, số nhỏ là b Vì (a,b)=45 =>a=45m ;b=45n, với (m,n)= 1 và m>n Ta có 45m=270 =>m=6 Vậy n { } 1;5 . Do đó b { } 45;225 Bài 19: Tìm ƯCLN của 5n+6 và 8n+7 (với n )N HD: Gọi x là ƯCLN của 5n+6 và 8n+7 (với n )N Ta có (5n +6) M x và (8n+7) M x => 8(5n +6) M x và 5 (8n+7) M x => (40 n+48) M x và (40 n+35) M x =>[(40 n+48) -(40 n+35) ] M x => 13 M x => x Ư ( 13 ) x=1 hoặc x = 13 Bµi 20:Cho biÕt a +4b lµ béi cña 13 (a,b N∈ ).Chøng minh r»ng:10 a+b lµ béi cña 13 HD: §Æt a +4b=x ; 10a+b=y XÐt 4y-x=4(10a+b)-(a+4b)=40a+4b-a-4b=39a => 4y-x lµ béi cña 13 Do x lµ béi cña 13 vµ (4;13)=1 => y lµ bội của 13 Hoạt động 1: Luyện tập Dạng 1: Nhận biết các số chia hếtcho3,cho9(bài101,102,103,107 ) Phương pháp giải: -Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3,cho 9, -sử dụng t /c chia hết của một tổng, của hiệu Bài 107 Sgk /42 Gv treo bảng phụ cho học sinh trả lời tại chỗ, và vì sao? Dạng 2: Viết các số chia hết cho 3, cho 9 từ các số hoặc chữ số cho trước (bài104,105,106,) Phương pháp giải: Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3,cho 9. Bài 106 sgk /42 Cho 2 học sinh lên thực hiện giáo viên nhận xét bổ sung Dạng 3: Toán có liên quan đến số dư trong phép chia một số tự nhiên cho 3,cho 9. ( bài108,109,110) Phương pháp giải: -Sử dụng t /c ; Một số có tổng các chữ số cho9, cho 3 dưm thì số đó chia cho 9, cho 3 cũng dư m. Bài 107 Sgk /42 4 học sinh lên thực hiện cho học sinh nhận xét Bài 106 sgk / 42 Học sinh thực hiện tại chỗ Dạng 1: Nhận biết các số chia hết cho 3,cho 9(bài101,102,103,107) Bài 107 Sgk /42 a. Đ b. S c. Đ d. Đ a Dạng 2: Viết các số chia hết cho 3, cho 9 từ các số hoặc chữ số cho trước (bài104,105,106,) Bài 106 sgk /42 a. Số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 3 là: 10002 3 b. Số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 9 là: 10008 9 Dạng 3: Toán có liên quan đến số dư trong phép chia một số tự nhiên cho 3,cho 9. Bài 108/42/sgk Cho học sinh trả lời tại chỗ Bài 109sgk/42 GV treo bảng phụ cho học sinh trả lời tại chỗ Bài 110 Sgk /42 Cho học sinh thảo nhóm, giáo viên hoàn chỉnh Các em có nhận xét gì về số dư r và d? Ta có 3 + 5 + * ? => * = ? 7 + 2 + * ? 9 => 8 = ? Số này như thế nào với 2 và 5 => b = ? Bài 108/42/sgk học sinh trả lời tại chỗ Bài 109sgk/42. học sinh thảo luộn nhóm, trình bày, nhận xét. Bài 110 Sgk / 42 Hai số dư bằng nhau 3 ; * = 1, 4, 7 9 ; * = 0, 9 ( bài108,109,110) Bài 108/42/sgk a. 1546 : 9 dư 7; 1546 : 3 dư 1 b. 1527 : 9 dư 6; 1527 : 3 dư 0 c. 2468 : 9 dư 2; 2468 : 3 dư 2 d. 10 11 : 9 dư 1; 10 11 : 3 dư 1 Bài 109sgk/42. Tìm số dư m trong các phép chia sau cho 9: a 16 213 827 468 m 7 6 8 0 Bài 110 Sgk /42 a 78 64 72 b 47 59 21 c 3666 3776 1512 m 6 1 0 n 2 5 2 r 3 5 0 d 3 5 0 Số dư khi chia tích của hai số cho 9 bằng số dư khi chia tích hai số dư cho 9 ( r = d) Bài 134 Sbt /19 a. Điền * = 1, 4, 7 Ta có các số chia hết cho 3 là: => ( a + 6 + 3 + 0) ? 9 =>a ? 9 (8 + 7 + a + b) ? 9 => ( a + b) ∈ { ?} mà a - b = ? => a + b = ? => a = ?; b = ? 2 và 5 = 0 9 9 9 { 3, 12} 4 => a + b = 12 a = 8, b = 4 315; 345; 375 b. Điền * = 0; 9 ta được số chi8a hết cho 9 là:702; 792 c. Vì ba63 2, 5 => b = 0 Vì 630a 3, 9 => (a+6+3+0) 9 => (a + 9) 9 => a = 9 Vậy số cần tìm là: 9630 Bài 139Sbt/ 19 Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và ab87 9 Vì ab87 9 => ( 8 + 7 + a + b) 9 => [15 + (a + b)] 9 => ( a + b) ∈ {3, 12} Vì a – b = 4 => loại trường hợp a+b= 3 => a + b = 12 => a = 8, b = 4 vậy số đã cho là: 8784 Hoạt động 2: KIểM TRA 10’ 1. Không thực hiện phép tính hãy tìm số dư trong các phép chia sau? (4đ4) T? TốN Tru?ng THCS Nguyễn Trãi.Châu đốc