Ma trận_ Định thức pps

1 Chơng 2 Ma trận_ Định thức 2.1 Ma trận 1. Khái niệm về ma trận Định nghĩa 2.1: Ma trận cấp mìn là một bảng chữ nhật gồm m.n số trên trờng K đợc xếp thành m hàng và n cột. Mỗi ma trận đợc ký hiệu bởi một chữ cái in hoa. Ma trận A đợc ký hiệu là A= mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 (2_1) Hoặc: A= (a ij ) m ì n (i= m,1 ;j= n,1 ) (2_2) Trong đó a ij là phần tử nằm trên hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A, i gọi là chỉ số hàng j gọi là chỉ số cột của a ij . Nếu m=n, A đợc gọi là ma trận vuông cấp n, và ký hiệu A=(a ij ) nxn . Khi đó các phần tử nằm trên đ- ờng chéo từ góc trên bên trái xuống góc dới bên phải: a 11 ,a 22 , ,a nn , gọi là các phần tử trên đờng chéo chính, các phần tử nằm trên đờng chéo từ góc trên bên phải xuống góc dới bên trái: a 1n ,a 2n-1 , ,a n1 gọi là các phần tử trên đờng chéo phụ. Ta gọi tổng các phần tử trên đờng chéo chính là Vet(A), vậy: Vet(A)=a 11 +a 22 + +a nn Ví dụ 2.1: Ma trận cấp 3 ì 4 thực: A= 45,652 45104 0248 Có: a 11 =8 a 12 =4 a 13 =2 a 14 =0 a 21 =4 a 22 =10 a 23 =5 a 24 =4 a 31 =2 a 32 =5 a 33 =6,5a 34 =4 Ma trận vuông cấp 3 phức: B= 1 2 3 1 12 2 2 3 4 9 2 12 + + + + i i i i i i i i Có Vet(B)=1+i+i+12=13+2i. Một ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0 gọi là ma trận không, ký hiệu là . = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Một ma trận vuông cấp n mà các phần tử trên đờng chéo chính đều bằng 1 và mọi phần tử còn lại đều bằng 0 gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu là I I= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2. Các phép toán trên ma trận a. Hai ma trận bằng nhau Hai ma trận A,B đợc gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các phần tử tơng ứng bằng nhau, ký hiệu A=B. Nh vậy: A=(a ij ) m ì n =B=(b ij ) m ì n a ij =b ij (i= m,1 ;j= n,1 ) (2_3) b. Phép cộng ma trận Cho hai ma trận cùng cấp A=(a ij ) m ì n và B=(b ij ) m ì n , tổng của A và B là một ma trận cùng cấp C=(c ij ) m ì n , ký hiệu: C=A+B với: c ij =a ij +b ij (i= m,1 ;j= n,1 ) (2_4) Nh vậy muốn cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các phần tử tơng ứng của hai ma trận với nhau. Các tính chất : Từ tính chất của phép cộng hai số ta có các tính chất sau của phép cộng ma trận 1. Tính giao hoán: A+B=B+A 2. Tính kết hợp: (A+B)+C=A+(B+C) 3. A+ = +A=A c. Phép nhân một số với một ma trận Tích của một số k với một ma trận A=(a ij ) m ì n là một ma trận C=(c ij ) m ì n ,ký hiệu C=k.A, với: c ij =k.a ij (i= m,1 ;j= n,1 ) (2_5) Nh vậy muốn nhân một số với một ma trận ta nhân số đó với mọi phần tử của ma trận. Các tính chất: 1. Tính kết hợp: (k.t)A=k(t.A) 2. Tính phân bố với phép cộng ma trận: k.(A+B)=k.A+k.B 3. Tính phân bố với phép cộng các số: (k+t).A=k.A+t.A d. Phép trừ ma trận Ta gọi hiệu của hai ma trận cùng cấp A và B là một ma trận cùng cấp C, ký hiệu: C=A-B, với: C=A+(-1).B (2_6) e. Phép nhân ma trận Ta gọi tích của ma trận A=(a ik ) m ì n cấp mìn với ma trận B=(b kj ) n ì p cấp nìp là một ma trận C=(c ij ) m ì p cấp mìp ký hiệu: C=A.B mà các phần tử c ij đợc xác định nh sau: c ij = a b ik kj k n = 1 (i= m,1 ;j= p,1 ) (2_7) Nh vậy c ij bằng tổng của tích các phần tử trên hàng i của ma trận A với các phần tử tơng ứng trên cột j của ma trận B. Ma trận C có số hàng bằng số hàng của ma trận A, có số cột bằng số cột của ma trận B. Ví dụ 2.2: Cho A và B là các ma trận: a. A= 1021 1510 4321 B= 1 2 0 1 2 2 1 4 Khi đó tích C=A.B có các phần tử là: c 11 =1.(-1)+2.0+3.2+4.1=9 c 12 =1.2+2.1+3.(-2)+4.4=14 c 21 =0.(-1)+1.0+5.2+1.1=11 c 22 =0.2+1.1+5.(-2)+1.4=-5 c 31 =(-1)(-1)+2.0+0.2+1.1=2 c 32 =(-1).2+2.1+0(-2)+1.4=4 hay C= 9 14 11 5 2 4 b. A= 1 2 0 1 , B= 2 1 1 0 AB= 4 1 1 0 , BA= 2 3 1 2 Tính chất: 1. Tính kết hợp: (A.B).C=A.(B.C) 2. Tính phân bố với phép cộng: Chng 2 2 (A+B).C=A.C+B.C A(B+C)=AB+AC 3. Với mọi ma trận vuông A cấp n thì a. A.I=I.A=A b. A k =A.A A (k lần) Trong đó A 0 =I , còn I là ma trận đơn vị cùng cấp với A. Chúng ta chứng minh cho tính kết hợp: Giả sử các ma trận có các cấp tơng ứng là: A=(a ik ) m ì n , B=(b kl ) n ì p , C=(c lj ) p ì q . Đặt D=(A.B).C =(d ij ) m ì q , D=A.(B.C)=(d ij ) m ì q Khi đó: d ij = a b c a b c ik kl k n lj ik kl lj k n l p l p = === = 1 111 = = = = = = n k p l n k p l ljklikljklik cbacba 1 1 1 1 (i= m,1 ;j= q,1 ) Từ đó có D=D hay phép nhân ma trận có tính kết hợp. Chú ý : 1. Ví dụ 2.2.b chứng tỏ phép nhân ma trận không giao hoán. Khi đó một ma trận vuông giao hoán với mọi ma trận vuông cùng cấp ta gọi là ma trận vô hớng. 2. ứng dụng các phép toán trên ma trận ta có thể lập đa thức trên các ma trận vuông. Cho đa thức P n (x)=a 0 +a 1 x+ +a n x n và ma trận vuông A cấp m, khi đó: P n (A)=a 0 I+a 1 A+ +a n A n gọi là một đa thức trên A. Hiển nhiên P n (A) cũng là một ma trận vuông cấp n. Ví dụ 2.3: Cho P 2 (x)=2+x-x 2 và A= 11 21 , tính P 2 (A). Ta có: A 2 = 11 21 11 21 = 12 41 Vậy P 2 (A)=2 10 01 + 11 21 - 12 41 = 41 24 Ví dụ 2.4: Tính A n biết A= 2 1 3 2 Ta có: A 2 =A.A= 2 1 3 2 2 1 3 2 = 1 0 0 1 = I Nên nếu: n=2k: A n =A 2k =A 2 A 2 A 2 =I n=2k+1: A n =A 2k .A=A 2 A 2 A 2 A=IA=A f. Chuyển vị Chuyển vị của A=(a ij ) m ì n là ma trận nhận đợc từ A bằng cách đổi hàng thành cột và đổi cột thành hàng, ký hiệu A T . Nh vậy A T =(a ij ) n ì m =(a ji ) n ì m ,là ma trận cấp nìm, hiển nhiên: (A T ) T =A. Ví dụ 2.5: A= 0 1 1 0 0 1 2 2 2 e e e e e e , A T = 0 1 1 0 0 1 2 2 2 e e e e e e g. Tổ hợp tuyến tính của các cột hoặc các hàng Cho ma trận A=(a ij ) m ì n , gọi các ma trận cấp mì1: Chng 2 3 a 1 = a a a m 11 21 1 a 2 = a a a m 12 22 2 a n = a a a n n mn 1 2 là các véc tơ cột của A, với mỗi cặp k số x 1 ,x 2 , ,x k (1 kn) gọi: x 1 .a 1 +x 2 .a 2 + +x k .a k = = x 1 a a a m 11 21 1 +x 2 a a a m 12 22 2 + +x k a a a k k mk 1 2 = a x a x a x a x a x a x a x a x a x k k k k m m mk k 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 + + + + + + + + + (2_8) Là một tổ hợp tuyến tính của k cột tơng ứng của A. Tơng tự ta gọi các ma trận cấp 1ìn: a 1 = ( a 11 a 12 a 1n ) a 2 = ( a 21 a 22 a 2n ) - - - - a m = ( a m1 a m2 a mn ) là các véc tơ hàng của A, và với k số x 1 ,x 2 , ,x k (1km ) ta gọi biểu thức: x 1 .a 1 +x 2 a 2 + +x k .a k là một tổ hợp tuyến tính của k hàng tơng ứng của A. 3. Một số ma trận dạng đặc biệt a. Ma trận tam giác trên Là ma trận vuông cấp nxn mà mọi phần tử nằm bên dới đờng chéo chính đều bằng 0, ký hiệu U, vậy: U= u u u u u u n n nn 11 12 1 22 2 0 0 0 b. Ma trận tam giác dới Là ma trận vuông cấp nxn mà mọi phần tử nằm bên trên đờng chéo chính đều bằng 0, ký hiệu L, vậy: L= l l l l l l n n nn 11 21 22 1 2 0 0 0 c. Ma trận đờng chéo Một ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử ở ngoài đờng chéo chính đều bằng 0 thì gọi là ma trận đ- ờng chéo. Dễ dàng thấy, nếu: 1. B= n 00 0 0 0 0 2 1 thì B k = k n k k 00 0 0 0 0 2 1 Chng 2 4 2. D= d d d 00 0 0 0 0 =d 1 00 0 10 0 01 là ma trận vô hớng hay nó giao hoán với mọi ma trận vuông cùng cấp trong phép nhân ma trận. d. Ma trận đối xứng Là ma trận vuông A cấp nxn mà: A T = A hay a ij = a ji (i= n,1 ; j= n,1 ). Nếu A T =-A hay a ij =- a ji (i= n,1 ; j= n,1 ) thì A đợc gọi là ma trận phản đối xứng. Hiển nhiên A phản đối xứng thì a ii =0 (i= n,1 ). Còn với mọi ma trận A, tích AA T và A T A là ma trận đối xứng. Ví dụ 2.6: Cho A= 0 1 1 0 0 1 2 2 2 e e e e e e khi đó với e=i tích: AA T = 0 1 1 0 0 1 2 2 2 e e e e e e 0 1 1 0 0 1 2 2 2 e e e e e e = 1 0 2 0 1 0 2 0 1 d. Ma trận khối (i) Phân chia một ma trận thành ma trận khối Các đờng thẳng đứng và các đờng nằm ngang sẽ chia một ma trận A thành các khối hình chữ nhật, mà mỗi khối là một ma trận có cấp nhỏ hơn cấp của ma trận A, khi đó ta gọi A là ma trận khối. Ví dụ 2.7: Có thể phân ma trận A dới đây thành các khối nh sau: A= 1 2 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 2 1 0 = ( ) ( ) 1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 Các khối của A là A 11 = ( ) 1 2 A 12 = ( ) 1 1 0 1 A 21 = 1 1 0 1 1 1 1 0 A 22 = 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 Khi đó ta có thể viết: A= A A A A 11 12 21 22 . Nh vậy mọi ma trận đều có thể xem là ma trận khối và có nhiều cách chia nó thành các khối. (ii) Các phép toán trên ma trận khối 1. Giả sử A=(A ij ) nxp , B=(B ij ) nxp nếu mỗi tổng A ij +B ij có thể thực hiện thì C=(C ij ) nxp =A+B=(A ij +B ij ) nxp . 2. Giả sử A=(A ij ) nxp , B=(B ij ) pxm nếu mỗi tích A ik .B kj có thể thực hiện và nếu: C ij = A B ik kj k p . = 1 thì C=A.B Chng 2 5 Chú ý: Các phép toán trên ma trận khối rất có lợi trong việc giải phơng trình ma trận và có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật cơ khí và công trình. Chẳng hạn nếu A,B,C,D,P,Q,X,Y là các ma trận có số chiều tơng thích để các phép toán ma trận cần thiết thực hiện đợc thì hệ phơng trình ma trận: =+ =+ QDYCX PBYAX có thể đa về phơng trình ma trận: DC BA Y X = Q P (2_9) và ngợc lại. 2.2 Định thức 1. Hoán vị và nghịch thế a. Hoán vị Cho tập các số N={1,2,3, ,n}. Ta gọi mỗi hoán vị của tập N là một song ánh: : NN từ N vào chính nó. Nếu k lk =)( (k= n,1 ) hoán vị thờng đợc ký hiệu bằng một ma trận cấp 2xn: = n lll n 21 21 (2_10) hay cho gọn: ={l 1 ,l 2 , ,l n } (2_11) Nh vậy mỗi hoán vị trên N là một cách sắp xếp n số tự nhiên 1,2, ,n, nên có n! hoán vị từ n số đã cho. b. Nghịch thế Xét một hoán vị ={l 1 ,l 2 , ,l n }, với mỗi cặp hai số (l i ,l j ) nếu i<j mà l i >l j hay: (j-i). (l j -l i )<0 (2_12) thì ta nói (l i ,l j ) lập thành một nghịch thế trong hoán vị . Ví dụ 2.8: Với 3 số 1,2,3 ta lập đợc 3!=6 hoán vị: {1,2,3} {2,1,3} {3,1,2} {1,3,2} {2,3,1} {3,2,1} Ta thấy: {1,2,3} không có nghịch thế nào. {2,3,1} có các nghịch thế: (2,1),(3,1). {3,1,2} có các nghịch thế: (3,1),(3,2). {1,3,2} có các nghịch thế: (3,2). {2,1,3} có các nghịch thế: (2,1). {3,2,1} có các nghịch thế: (3,2),(3,1),(2,1). Nh vậy 3 hoán vị đầu có số nghịch thế là một số chẵn: 0,2,2, và 3 hoán vị sau có số nghịch thế là một số lẻ: 1,1,3. Vì đổi vị trí hai phần tử trong một hoán vị cho nhau thì số nghịch thế sẽ tăng hoặc giảm đi một số lẻ lần nên ta có các kết quả sau: Mệnh đề: Số hoán vị có số nghịch thế chẵn bằng số hoán vị có số nghịch thế lẻ và bằng 2 !n . Gọi số nghịch thế của hoán vị ={l 1 ,l 2 , ,l n } là N(), và ký hiệu: 1 nếu N() chẵn sgn()=(-1) N( ) = (2_13) -1 nếu N() lẻ Hàm sgn() gọi là hàm dấu của . Nh vậy với mỗi tập n số, số hoán vị có dấu dơng bằng số hoán vị có dấu âm. Bổ đề: Nếu hoán vị :NN có k nghịch thế thì nghịch đảo của nó: -1 : NN cũng có k nghịch thế, hơn nữa ma trận = n lll n 21 21 Chng 2 6 có thể đa về dạng -1 = n n 21 11 2 1 1 (2_14) bằng k phép đổi chỗ hai cột đứng cạnh nhau, trong đó ký hiệu 11 )( = k k . 2. Định nghĩa định thức a. Định nghĩa Cho ma trận vuông A =(a ij ) cấp n, ta gọi định thức của A là số: = n nlll aaa )(sgn 21 21 (2_15) Trong đó tổng lấy theo mọi hoán vị ={l 1 , ,l n } của {1, ,n}. Định thức của ma trận A đợc ký hiệu: det(A) hay A. det(A)= a a a a a a a a a n n n n nn 11 12 1 21 22 2 1 2 Nh vậy định thức của ma trận A cấp n là tổng của n! số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử của A lấy trên n hàng và n cột khác nhau, với dấu là dấu của hoán vị lập thành từ các chỉ số cột. Vì det(A) là một số nên nó có thể khác hoặc bằng 0. Nếu det(A)0 ta nói rằng ma trận A không suy biến, nếu det(A)=0 ta nói ma trận A suy biến. b. Định thức của ma trận vuông cấp 3 A= a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 Theo ví dụ 2.8 các hoán vị của 1,2,3, là: 1 ={1,2,3} với sgn( 1 )=1 2 ={2,3,1} với sgn( 2 )=1 3 ={3,1,2} với sgn( 3 )=1 4 ={1,3,2} với sgn( 4 )=-1 5 ={2,1,3} với sgn( 5 )=-1 6 ={3,2,1} với sgn( 6 )=-1 Khi đó: det(A)=a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 11 a 23 a 32 -a 12 a 21 a 33 -a 13 a 22 a 31 Nh vậy định thức của ma trận cấp 3 gồm: Ba số hạng mang dấu dơng là: 1. Tích các phần tử trên đờng chéo chính. 2. Tích các phần tử trên tam giác có cạnh song song với đờng chéo chính. Ba số hạng mang dấu âm là: 1. Tích các phần tử trên đờng chéo phụ. 2. Tích các phần tử trên tam giác có cạnh song song với đờng chéo phụ. Với mô tả bằng hình vẽ nh sau: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 (2_16) a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 Đó chính là quy tắc Xariut cho định thức cấp 3. Ví dụ 2.9: Tính định thức cấp 3 = 1 1 2 1 3 4 5 3 3 =1.3.(-3) + (-1).(-4)(-5) + 1.3.2 - 2.3.(-5) - 1.(-1).(-3) - 1.3.(-4)= -9-20+6+30-3+12=16 c. Định thức của ma trận cấp 2 và cấp 1 Vì 1,2 chỉ có các hoán vị {1,2} với sgn{1,2}=1 và {2,1} với sgn{2,1}=-1 nên với: Chng 2 7 21122211 2221 1211 aaaa aa aa = A=(a) có = a 3. Các tính chất của định thức Tính chất 1: det(A)=det(A T ) Theo định nghĩa ta có: det(A T )= sgn() n n aaa 21 21 (2_17) Trong đó j j a là phần tử nằm ở cột thứ j và hàng thứ j của ma trận A. Theo bổ đề 1, n thừa số của tích: n n aaa 21 21 có thể sắp xếp lại thành dạng: 11 2 1 1 21 n n aaa . Do và 1 có cùng số nghịch thế nên: sgn( )=sgn( 1 ), vậy : det(A T )= 1 sgn( -1 ) 11 2 1 1 21 n n aaa =det(A) (1_18) Chú ý : Do tính chất 1, mọi tính chất của định thức đúng cho hàng thì cũng đúng cho cột và ngợc lại. Vì vậy chúng ta sẽ chỉ chứng minh hoặc cho hàng hoặc cho cột. Tính chất 2: Nếu nhân tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) với số k thì định thức cũng đ- ợc nhân với số k. Ta chứng minh tính chất đối với hàng một, chứng minh tính chất đối với hàng bất kỳ hoàn toàn t- ơng tự. Giả sử các phần tử của hàng 1 đợc nhân với k, khi đó: det(A)= n nlll aaka ))((sgn 21 21 = k n nlll aaa )(sgn 21 21 = k det(A) Hệ quả 1: Thừa số chung của các phần tử của cùng một hàng hoặc một cột có thể đa ra ngoài dấu định thức. Do đó định thức có một hàng hoặc một cột gồm các phần tử bằng 0 thì bằng 0. Tính chất 3: Nếu đổi chỗ hai cột (hoặc hai hàng) cho nhau thì định thức đổi dấu. Nếu đổi chỗ hai cột cho nhau thì N() sẽ tăng thêm hoặc giảm đi một số lẻ lần, do đó sign() đổi dấu với mọi , nh vậy mọi số hạng của (2_15) đều đổi dấu, vậy det(A) đổi dấu. Hệ quả 2: Nếu có hai cột (hoặc hai hàng) giống nhau thì định thức bằng 0. Ma trận A có hai cột (hoặc hai hàng) giống nhau, nếu ta đổi chỗ hai cột đó cho nhau, theo tính chất 3, det(A) đổi dấu, nhng vì hai cột giống nhau nên khi đổi chỗ cho nhau ta vẫn nhận đợc A do đó có: det(A)=- det(A). Chứng tỏ det(A)=0. Tính chất 4: Nếu mỗi phần tử của một hàng i (hoặc cột j) là tổng của hai số, thì định thức đã cho bằng tổng của hai định thức, mà mỗi định thức nhận đợc từ định thức ban đầu bằng cách thay phần tử của hàng i (cột j) tơng ứng bằng một trong hai số đó. Tơng tự tính chất hai, ta chứng minh tính chất đối với hàng một. Giả sử a 1j =a 1j +a 1j Khi đó từ (2_15): det(A)== n nllll aaaa )''')((sgn 211 211 + = n nlll aaa ')(sgn 21 21 + n nlll aaa '')(sgn 21 21 = det(A)+det(A) Tính chất 5: Nếu cộng vào một cột (hoặc hàng) một tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) khác thì định thức không đổi. Thật vậy, tách cột vừa nhận đợc thành cột gồm các phần tử của cột ban đầu và cột gồm các phần tử của tổ hợp vừa cộng vào. Theo hệ quả 2 định thức thứ hai bằng không, nên có tính chất 5. Hệ quả 3: Nếu một cột (hoặc hàng) của A là tổ hợp tuyến tính của các cột (hoặc hàng) khác thì det(A)=0. Chú ý: Khi tính định thức ta thờng áp dụng các tính chất trên đa định thức về dạng đơn giản rồi mới tính. Ví dụ 2.10: Tính định thức Chng 2 8 = 210022002 310002003 110022001 Tách cột một thành hai cột đợc: = 210022000 310002000 110022000 + 210022 310003 110021 Định thức thứ hai có hai cột bằng nhau nên bằng 0. Đặt 2000 làm thừa số chung cho cột một ta đợc: =2000 210021 310001 110021 Lần lợt lấy hàng hai và hàng ba trừ hàng một đợc: =2000 100 220 110021 =-4000 4. Khai triển định thức theo các phần tử của hàng (hoặc cột) a. Định thức con và phần phụ đai số Cho =det(A). Kí hiệu ij là định thức nhận đợc từ bằng cách bỏ đi hàng i và cột j ( hàng và cột chứa phần tử a ij ) và gọi là định thức con tơng ứng của phần tử a ij , và gọi A ij =(-1) i+j ij là phần phụ đại số của a ij . b. Khai triển định thức theo các phần tử của hàng (và cột) Định lý 2.1: Với mỗi hàng i hoặc cột j ta luôn có: = ( ) = + == 1 11 i j ij ij ij ij j n j n a a A (i= n,1 ) (2_19) = ( ) = + == 1 11 i j ij ij ij ij i n i n a a A (j= n,1 ) (2_20) Chứng minh: Ta chứng minh cho (2_19). Theo định nghĩa: =det(A)= n nlll aaa )(sgn 21 21 Với mỗi i xác định, số hạng a a a l l nl n 1 2 1 2 chứa đúng một thừa số là phần tử của hàng i. Với j= n,1 đặt a ij làm thừa số chung cho tất cả các số hạng chứa nó, và gọi A ij là hệ số của a ij .Khi đó: det(A)= a A ij ij j n = 1 (2_21) Trơc tiên ta tính A 11 . Các tích trong det(A) chứa a 11 có dạng: sgn() a a a l nl n 11 2 2 với ={1,l 2 , ,l n } Gọi 1 ={l 2 ,l 3 , ,l n } hiển nhiên N( 1 )=N() nên hệ số của a 11 là: A 11 = n nll aa )(sgn 2 1 21 Tổng lấy theo mọi hoán vị 1 của {2,3, ,n}, vậy: A 11 = 11 là định thức cấp n-1 của ma trận nhận đợc từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng 1 và cột 1. Tính A ij , từ det(A)= ta hãy đổi chỗ liên tiếp cột j cho cột j-1, sau đó đổi cột j-1 cho cột j-2, Đổi chỗ hàng i cho hàng i-1, sau đó đổi hàng i-1 cho hàng i-2, Làm nh vậy ta sẽ đổi cột j về cột 1, đổi hàng i về hàng 1, thứ tự các hàng và các cột khác vẫn giữ nguyên. Gọi định thức nhận đợc là , vì có i-1 lần đổi hàng và j-1 lần đổi cột nên: = (-1) i-1 (-1) j-1 =(-1) i+j Chng 2 9 Mà A 11 = 11 trong đó 11 là định thức cấp n-1 nhận đợc từ bằng cách bỏ đi hàng 1 và cột 1, đó cũng chính là định thức nhận đợc từ bằng cách bỏ đi hàng i cột j, hay 11 = ij . Nh vậy ta đợc: A ij =(-1) i+j ij (2_22) chứng tỏ A ij là phần phụ đại số của a ij . Thay (2_22) vào (2_21) định lý đợc chứng minh. Tơng tự ta có công thức tính theo các phần tử của cột j: det(A)= a A ij ij i n = 1 (2_23) Ta thấy định lý trên cho phép tính định thức cấp cao qua các định thức cấp thấp. Hệ quả 4: a. a A kj ij j n = 1 =0 với ik (2_24) b. a A ik ij i n = 1 =0 với jk (2_25) Trong (2_24) ta đã thay hàng i bởi hàng k, nên nó là định thức có hàng i và hàng k giống nhau. Trong (2_25) ta đã thay cột j bởi cột k, nên nó là định thức có cột j và cột k giống nhau nên chúng bằng 0. Ví dụ 2.11: Khai triển định thức cấp 3 theo hàng 1 ta đợc: det(A)=a 11 a a a a 22 23 32 33 - a 12 a a a a 21 23 31 33 +a 13 a a a a 21 22 31 32 =a 11 (a 22 a 33 -a 23 a 32 )-a 12 (a 21 a 33 -a 23 a 31 )+a 13 (a 21 a 32 -a 22 a 31 ) =a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 11 a 23 a 32 -a 12 a 21 a 33 -a 13 a 22 a 31 cũng là khai triển theo Xariut. Ví dụ 2.12: Liên tiếp khai triển theo cột 1 định thức tam giác trên: = u u u u u u n n nn 11 12 1 22 2 0 0 0 = u 11 u u u n nn 22 2 0 = u 11 u 22 u nn (2_26) Nh vậy định thức của ma trận tam giác trên bằng tích các phần tử trên đờng chéo chính. Tơng tự liên tiếp khai triển theo hàng một của định thức tam giác dới và định thức ma trận chéo ta đợc: = nnnn lll ll l 0 0 0 21 2221 11 l 11 l nn , nn d d d 00 0 0 0 0 22 11 =d 11 d nn Hiển nhiên ma trận đơn vị I có định thức bằng 1. Khi tính định thức ta thờng áp dụng các tính chất của định thức đa định thức về các dạng trên rồi lấy kết quả. Ví dụ 2.13 : Tính định thức: = 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Cộng các cột vào cột 1, rồi đa 3 làm thừa số chung ta đợc: Chng 2 10 [...]... thoả mãn hai điều kiện: 1 Ma trận A có định thức con cấp r khác 0 2 Mọi định thức con cấp r+1 và các định thức con cấp cao hơn đều bằng không Khi đó ta gọi số r là hạng của ma trận A, ký hiệu r(A), hạng của ma trận quy định bằng 0 Định nghĩa 2.5: Nếu hạng của ma trận A bằng r ta gọi mọi định thức con cấp r khác 0 của A là định thức con cơ sở, các hàng của A tham gia vào mỗi định thức con cơ sở là các... 1 4 3 1 1 3 2 = 1 0 2.4 Hạng của ma trận 1 Hạng ma trận, định thức con cơ sở, hàng và cột cơ sở Xét ma trận A cấp mìn: a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A= am1 am2 amn và k là một số nguyên mà 1 k min (m,n) Ta gọi định thức con cấp k của ma trận A là định thức cấp k lập bởi các phần tử nằm trên giao của k hàng và k cột của ma trận A Định nghĩa 2.4: Giả sử A có ít nhất một phần tử... B C Chú ý: A là ma trận vuông cấp n có dạng A= D trong đó B,D là ma trận vuông , khi đó det(A)= det(B).det(D) b Định thức của ma trận tích Định lý 2.3: Cho A,B là các ma trận vuông cấp n, và C=A.B Ta có: det(C)=det(A).det(B) Chứng minh: Giả sử A=(aik)n , B=(bkj)n và C=A.B=(cij)n, khi đó: + cij= n a k =1 ik bkj Với I là ma trận đơn vị, là ma trận không cấp n Xét định thức của ma trận khối: Chng... của A tham gia vào mỗi định thức con cơ sở là các cột cơ sở Nh vậy theo định nghĩa, để tìm hạng của ma trận A ta lần lợt đi tính định thức con cấp k (1 k min (m,n)) của nó và chọn ra số r là cấp cao nhất của định thức con khác không Để tìm các hệ cột và hàng cơ sở của A ta chọn ra mọi định thức con cấp r khác không của nó để xác định các hệ cột và hàng cơ sở Cách tìm hạng của ma trận và các hệ cột và... do đó định thức con cơ sở không đổi mà chỉ làm thay đổi thứ tự các cột hoặc hàng trong định thức con con sở b Khi nhân một số khác không với các phần tử của hàng hoặc cột cơ sở thì định thức con cơ sở đợc nhân với số đó, nh vậy định thức con cơ sở đó không suy biến, vậy hạng ma trận không thay đổi c Nếu cộng tổ hợp tuyến tính của các hàng hoặc cột cơ sở vào một hàng hoặc cột còn lại của định thức con... sở thì định thức con cơ sở không đổi Nếu cộng tổ hợp tuyến tính của hàng hoặc cột nào đó của A vào hàng hoặc cột của một định thức con cơ sở mà làm cho nó bằng không, ta thay hàng (hoặc cột) đó bằng chính tổ hợp vừa cộng vào, ta sẽ đựoc một định thức khác không Vậy hạng A không đổi 3 Quy tắc tìm hạng của ma trận Từ định lý 2.4 để tìm hạng ma trận ta dùng các phép biến đổi sơ cấp của ma trận đa ma trận... cấp là các phép biến đổi Gauss Dựa vào các tính chất của định thức ta chứng minh đợc: Định lý 2.5: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận Chứng minh: a Nếu chỉ đổi hàng và cột của các định thức con cơ sở của A cho nhau thì phép biến đổi thứ nhất chỉ làm thay đổi dấu của các định thức con Nếu đổi hàng hoặc cột của một định thức con cơ sở với một hàng hoặc cột không thuộc nó ta vẫn... C k= A I B 12 Cho ma trận khối A= I C Dùng quy nạp toán học tìm biểu thức của Ak 13 Chứng minh rằng tập các ma trận tam giác trên và tập các ma trận tam giác d ới cấp nxn đóng đối với các phép toán cộng ma trận, nhân ma trận và nhân một số với một ma trận 14 Nếu ma trận vuông A cấp nxn phân tích đợc thành tích: A=L.U trong đó L là ma trận tam giác dới , U là ma trận tam giác trên, thì ta... 1 3 f X 2 1 0 = 4 3 2 1 1 1 1 2 5 D Hạng ma trận 38 Chứng minh rằng, nếu D1 là định thức con cấp k khác không của ma trận A và mọi định thức con cấp k+1 của A bao D1 đều bằng không thì hạng của A bằng k 39 Ta gọi t là một phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Cho A là ma trận cấp m xn và I là ma trận đơn vị cấp m, gọi At và It là ma trận nhận đợc từ cùng phép biến đổi sơ cấp t cho A và... =(n-1).(-1)n-1.xn-2 x Chng 2 13 5 Định lý Laplace Cho ma trận vuông cấp n: A=(aij)nìn và một số k: 1 k n Với các số nguyên: 1 i1 . 1 Chơng 2 Ma trận_ Định thức 2.1 Ma trận 1. Khái niệm về ma trận Định nghĩa 2.1: Ma trận cấp mìn là một bảng chữ nhật gồm m.n số trên trờng K đợc xếp thành m hàng và n cột. Mỗi ma trận đợc. 2.3. Ma trận đảo Chng 2 16 1. Định nghĩa Cho A là ma trận vuông cấp n, và I là ma trận đơn vị cùng cấp. Nếu có ma trận B sao cho: A.B=B.A=I (2_38) thì B đợc gọi là ma trận đảo của ma trận A,. i của ma trận A với các phần tử tơng ứng trên cột j của ma trận B. Ma trận C có số hàng bằng số hàng của ma trận A, có số cột bằng số cột của ma trận B. Ví dụ 2.2: Cho A và B là các ma trận: