MA TRẬN_ ĐỊNH THỨC ppsx

Chơng 2 Ma trận_ Định thức 2.1 Ma trận A. Tóm tắt lý thuyết 1. Khái niệm về ma trận Ma trận A có m hàng n cột đợc ký hiệu là A= mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 hoặc: A= (a ij ) m ì n ( njmi ,1,,1 == ) Ma trận không, ký hiệu , ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu I. Nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta gọi: Vet(A)= = n i ii a 1 2. Các phép toán trên ma trận a. Hai ma trận bằng nhau A=(a ij ) m ì n =B=(b ij ) m ì n a ij =b ij ( njmi ,1,,1 == ) b. Phép cộng hai ma trận Tổng C=A+B với A=(a ij ) m ì n và B=(b ij ) m ì n , là một ma trận cùng cấp C=(c ij ) m ì n , có: c ij =a ij +b ij ( njmi ,1,,1 == ) Tính chất : 1. Tính giao hoán: A+B=B+A 2. Tính kết hợp: (A+B)+C=A+(B+C) 3. A+ = +A=A c. Phép nhân một số với một ma trận C=k.A, với: c ij =k.a ij ( njmi ,1,,1 == ) Tính chất: 1. Tính kết hợp: (k.t)A=k(t.A) 2. Tính phân bố với phép cộng ma trận: k.(A+B)=k.A+k.B 3. Tính phân bố với phép cộng các số: (k+t).A=k.A+t.A d. Phép trừ hai ma trận C=A-B=A+(-1).B e. Phép nhân hai ma trận Với A=(a ik ) m ì n , B=(b kj ) n ì p , C=(c ij ) m ì p =A.B trong đó: 44 c ij = a b ik kj k n = 1 ( njmi ,1,,1 == ) Tính chất: 1. Tính kết hợp: (A.B).C=A.(B.C) 2.Tính phân bố với phép cộng: (A+B).C=A.C+B.C A(B+C)=AB+AC 3. Với mọi ma trận vuông A cấp n thì a. A.I=I.A=A b. Ta có : A k =A.A A (k lần) với quy ớc A 0 =I f. Đa thức trên các ma trận vuông Cho đa thức P n (x)=a 0 +a 1 x+ +a n x n và ma trận vuông A cấp m, khi đó: P n (A)=a 0 I+a 1 A+ +a n A n gọi là một đa thức trên A. g. Chuyển vị Chuyển vị của A=(a ij ) m ì n là A T =(a ij ) n ì m =(a ji ) n ì m 3. Một số ma trận dạng đặc biệt a. Ma trận tam giác trên U và ma trận tam giác dới L U= u u u u u u n n nn 11 12 1 22 2 0 0 0 L= l l l l l l n n nn 11 21 22 1 2 0 0 0 c. Ma trận đối xứng A đối xứng nếu: A T =A, phản đối xứng nếu: A T =-A. Ma trận vuông đối xứng thực A=(a ij ) nxn gọi là xác định dơng nếu x=(x i ) nx1 ta có x T Ax0, dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=. d. Ma trận khối Các đờng thẳng đứng và các đờng nằm ngang sẽ chia một ma trận A thành các khối hình chữ nhật, mà mỗi khối là một ma trận có cấp nhỏ hơn cấp của ma trận A, khi đó ta gọi A là ma trận khối. Các phép toán trên ma trận khối thực hiện nh những ma trận thờng, hoặc có thể thực hiện theo các quy tắc ma trận khối. B. Bài tập 1. Thực hiện các phép nhân ma trận sau 45 a. 1 3 2 3 4 1 2 5 3 2 5 6 1 2 5 1 3 2 b. 410 321 2 1 3 3 1 0 21 03 2. Cho P 2 (x)=2+x-x 2 và A= 11 21 Tính P 2 (A). 3. Cho A= 1 2 1 3 tìm A 3 =A.A.A 4. Cho A= 2 1 3 1 . Tìm A n và tính (A)=2.I+A-3A 2 +A 3 . 5. Tính A n biết A= 2 1 3 2 6. Cho B= cos sin sin cos x x x x . Tính B n và (B)=2.I+B-2B 2 +B 3 . 7. Cho C= mmì 00 000 10 000 00 100 00 010 Tìm C m . 8. Cho A,B là các ma trận vuông cùng cấp và A.B=B.A. Chứng minh rằng a a. (A+B)(A-B)=A 2 -B 2 b. A n+1 -B n+1 =(A n +A n-1 B+ +AB n-1 +B n )(A-B) 9. Chứng minh rằng, nếu AB=BA (A 0 =B 0 =I )thì: a. (A+B) 2 =A 2 +2.A.B+B 2 b. (A+B) n = C A B n k n k k k n = 0 c. áp dụng tính n 30 13 10. Chứng minh rằng không tồn tại A,B thoả mãn đẳng thức: 46 AB-BA=I 11. Tìm các ma trận vuông cấp hai X thoả mãn: a. X 2 = b. X 2 =I 12. Chứng minh rằng A,B là hai ma trận vuông cùng cấp thì vet(A+B)=vet(A)+vet(B) 13. Cho ma trận khối A= B C I , trong đó các ma trận trong khối đều có cấp nxn chứng minh rằng nếu B-I không suy biến thì với k1 ta có: A k = B B i B I C I k k ( )( ) 1 14. Cho ma trận khối A= B C I Dùng quy nạp toán học tìm biểu thức của A k . 15. Thực hiện nhân hai ma trận sau bằng cả hai cách, dùng ma trận khối và không dùng ma trận khối 1 0 1 1 1 2 2 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 1 1 2 0 1 2 1 1 1 16. Chứng minh rằng tập các ma trận tam giác trên và tập các ma trận tam giác dới cấp nxn đóng đối với các phép toán cộng, nhân ma trận và nhân một số với một ma trận. 17. Nếu ma trận vuông A cấp nxn phân tích đợc thành tích: A=L.U trong đó L là ma trận tam giác dới , U là ma trận tam giác trên, thì ta nói A có một phân tích L.U. Giả sử A một phân tích LU, tìm biểu thức liên hệ giữa a ij với l ij và u ij . 18. Chứng tỏ ma trận A= 0 1 1 1 không có phân tích LU. 19.Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông đối xứng xác định dơng cấp n thì tồn tại duy nhất một ma trận tam giác dới L 47 mà A có phân tích A=L.L T , tìm biểu diễn các phần tử của L qua các phần tử của A. C. Lời giải, đáp số hoặc hớng dẫn 1. a. 792 0103 551 b. 618 1016 2. Ta có: A 2 = 11 21 11 21 = 12 41 Vậy P 2 (A)=2 10 01 + 11 21 - 12 41 = 41 24 3. A 3 = 379 161 4. Ta có A= 2 1 3 1 , A 2 = 23 11 , A 3 = 10 01 =-I A 4 = 13 12 =-A, A 5 = 23 11 =-A 2 , A 6 =I Vậy: n=6k:A n = 10 01 n=6k+1:A n = 13 12 n=6k+2:A n = 23 11 n=6k+3:A n = 10 01 n=6k+4:A n = 13 12 n=6k+5:A n = 23 11 (A)= 79 32 5. Ta có: A 2 =A.A= 2 1 3 2 2 1 3 2 = 1 0 0 1 = I Nếu n=2k ta có A n =A 2k =A 2 A 2 A 2 =I Nếu n=2k+1 ta có A n =A 2k .A=A 2 A 2 A 2 A=IA=A 48 6. a. Ta cã: B 2 = cos sin sin cos x x x x −       cos sin sin cos x x x x −       = cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos x x x x x x x x x x x x x x x x − − − + − +       = cos sin sin cos 2 2 2 2 x x x x −       Gi¶ sö : B n-1 = cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) n x n x n x n x − − − − −       1 1 1 1 ta cã: B n = cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) n x n x n x n x − − − − −       1 1 1 1 cos sin sin cos x x x x −       = cos( ) cos sin( ) sin cos( ) sin sin( ) cos sin( ) cos cos( ) sin sin( ) sin cos( ) cos n x x n x x n x x n x x n x x n x x n x x n x x − − − − − − − − + − − − + −       1 1 1 1 1 1 1 1 = cos sin sin cos nx nx nx nx −       ϕ(B)=         +−++− +−−+−+ xxxxxx xxxxxx 3cos2cos2cos23sin2sin2sin )3sin2sin2(sin3cos2cos2cos2 7. C n =                     0 000 1 000 0 10 0 0 01 0 n<m, C n =θ víi mäi n≥m. Cét n+1 8. a. (A+B)(A-B)=A 2 -B 2 (Nh©n b×nh thêng) b. A n+1 -B n+1 =(A n +A n-1 B+ +AB n-1 +B n )(A-B) Nh©n vÕ ph¶i råi íc lîng. 9. a. (A+B) 2 =A 2 +2.A.B+B 2 (Nh©n b×nh thêng) b Víi m=1 ®¼ng thøc ®óng. Gi¶ thiÕt ®¼ng thøc ®óng víi m-1, khi ®ã 49 (A+B) m =(A+B) m-1 (A+B)=( C A B m k m k k k m = 1 1 0 1 )(A+B) = C A B m k m k k k m = 1 0 1 + C A B m k m k k k m + = 1 1 1 0 1 = C A m m k 1 0 + ( ) C C A B C B m k m k m k k m m m k m = + + 1 1 1 1 1 1 1 vì C C C C m m m m m m = = = = 1 0 0 1 1 1 C C C m k m k m k + = 1 1 1 nên (A+B) m = = m k kkmk m BAC 0 c. Viết 3 1 0 3 = 3 0 0 3 + 0 1 0 0 Đặt các ma trận tơng ứng là A,B,C ta có :A=B+C với B là ma trận đờng chéo. Do BC=CB, áp dụng a. đợc A n =(B+C) n = C A B n k n k k k n = 0 Vì B n = 3 0 0 3 n n và C 0 =I,C 1 =C ,C k = (k >1) Thay vào b. ta đợc A n =(B+C) n = B n +n B n-1 C = 3 0 0 3 n n +n 3 0 0 3 1 1 n n 0 1 0 0 = 3 3 0 3 1n n n n 10. Đặt C=AB, D=BA ta có: c 11 =a 11 b 11 +a 12 b 21 + +a 1n b n1 c 22 =a 21 b 12 +a 22 b 22 + +a 2n b n2 c nn =a n1 b 1n +a n2 b 2n + +a nn b nn Cộng hai vế ta đợc Vet(C)= == ++ n k knnk n k kk abab 11 11 =d 11 + +d nn =Vet(D) Từ đó Vet(AB-BA)=0 còn Vet(I)=n nên AB-BAI. 50 11. a. X= 00 00 và X= a c a ca 2 b. X= 10 01 và X= a b a ba 2 b0 12. Ta có: )()()()( 111 BVetAVetbabaBAVet n i ii n i ii n i iiii +=+=+=+ === 13. Dùng quy nạp và khai triển (B n -I)=(B n-1 +B n-2 + +B+I)(B-I) 14. Quy nạp và khai triển (B n -I)=(B n-1 +B n-2 + +B+I)(B-I): ( ) = IIBIBC B A k k k 1 )( 15. ( )( ) 61 10 12 20 232 104 233 313 52721 16. Giả sử A=(a ij ) và B=(b ij ) là hai ma trận tam giác trên, khi đó: a ij =b ij =0 khi (j<i:1j<in) do đó: c ij =a ij +b ij =0 (j<i:1j<in), vậy C=A+B là ma trận tam giác trên. 0 1 == = n k kjikij bac do >= <= jkkhib ikkhia kj ik 0 0 (j<i:1j<in) Vậy C=A.B là ma trận tam giác trên. Tơng tự cho ma trận tam giác dới. 17. Giả sử A có phân tích A=L.U , hay 51 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 = nnnn lll ll l 0 0 0 21 2221 11 nn n n u uu uuu 00 0 222 11211 Khi đó theo quy tắc nhân ma trận ta có: ),1,( 1 njiula n k kjikij == = nhng do: <= <= kjkhiu kikhil kj ik 0 0 Nên ta có: ),1,( ),min( 1 njiula ji k kjikij == = 18. Từ biểu thức ma trận 0 1 1 1 = 22 1211 2221 11 0 0 u uu ll l ta có: l 11 u 11 =0 , l 11 u 12 =1 suy ra l 11 0 và u 11 =0 l 21 u 11 =1 suy ra u 11 0 vô lý. 19. Giả sử A có phân tích A=L. L T , hay nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 = nnnn lll ll l 0 0 0 21 2221 11 nn n n l ll lll 00 0 222 12111 Vì A xác định dơng nên các l ii đều khác 0. Xét các phần tử trên cột j=1, vì A xác định dơng nên a 11 >0, ta có: 2 11111111 . llla == nên 1111 al = 1111 . ii lla = nên 11 1 11 1 1 l a l a l ii i == Xét các phần tử trên cột j=2, ta có: 2 22 2 212222122122 lllllla +=+= nên 2 212222 lal = 2221212 iii lllla += nên 22 1212 2 l lla l ii i = (i=3,,n) 52 Với j= n,1 ta có: == +== 1 1 22 1 j k jkjj j k kjjkjj lllla nên = = 1 1 2 j k jkjjjj lal == +== 1 11 j k ikjkijjj j k ikjkji lllllla nên = = 1 1 1 j k ikjkji jj ij lla l l (i=j+1, ,n) Vì các biểu thức tính l ji và l ij đều xác định duy nhất nên L là duy nhất. 2.2 Định thức A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa định thức Định thức của ma trận vuông A =(a ij ) cấp n ký hiệu: det(A) hay Alà số: = sign a a a l l nl n ( ) 1 2 1 2 trong đó tổng lấy theo mọi hoán vị ={l 1 , ,l n } của {1, ,n}. Nh vậy định thức của ma trận A cấp n là tổng của n! số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử của A lấy trên n hàng và n cột khác nhau, với sign()=1 nếu có số nghịch thế chẵn, sign()=-1 nếu có số nghịch thế lẻ. Nếu det(A)0 ta nói rằng ma trận A không suy biến, nếu det(A)=0 ta nói ma trận A suy biến. 2. Công thức tính các định thức cấp hai và ba a. Định thức của ma trận vuông cấp 3 det(A)= 333231 232221 131211 aaa aaa aaa =a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 11 a 23 a 32 -a 12 a 21 a 33 -a 13 a 22 a 31 Trong đó các thừa số và dấu đợc tính theo quy tắc Xariut a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 Các số hạng dấu + Các số hạng dấu - 53 [...]... hoặc X=BA-1 2.4 Hạng của ma trận 1 Định nghĩa Hạng của ma trận A, ký hiệu r(A), là cấp của định thức con khác không cấp cao nhất của A Hạng của ma trận quy định bằng không Ma trận A có hạng bằng r, ta gọi mọi định thức con cấp r khác không của A là định thức con cơ sở, các hàng của A tham gia vào mỗi định thức con cơ sở là các hàng cơ sở , các cột của A tham gia vào mỗi định thức con cơ sở là các cột... Aij =0 với jk 5 Khai triển định thức dùng công thức Laplace Cho ma trận vuông cấp n: A=(a ij)nìn và một số k: 1 k n Với các số nguyên: 1 i1 . (i=j+1, ,n) Vì các biểu thức tính l ji và l ij đều xác định duy nhất nên L là duy nhất. 2.2 Định thức A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa định thức Định thức của ma trận vuông A =(a ij ) cấp. lẻ. Nếu det(A)0 ta nói rằng ma trận A không suy biến, nếu det(A)=0 ta nói ma trận A suy biến. 2. Công thức tính các định thức cấp hai và ba a. Định thức của ma trận vuông cấp 3 det(A)= 333231 232221 131211 aaa aaa aaa . Chứng minh rằng tập các ma trận tam giác trên và tập các ma trận tam giác dới cấp nxn đóng đối với các phép toán cộng, nhân ma trận và nhân một số với một ma trận. 17. Nếu ma trận vuông A cấp nxn