chương 1 giới thiệu mô hình toán kinh tế (bài 3)

Chương 1: GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Bài 3: Áp dụng phân tích mơ hình Mơ hình tới ưu: 1) Mô hình phân tích hành vi sản xuất: Hành vi của doanh nghiệp liên quan tới: -Tình trạng công nghệ của doanh nghiệp - Các điều kiện thị trường sản xuất, đó doanh nghiệp với tư cách là người mua - Các điều kiện thị trường sản phẩm, đó doanh nghiệp với tư cách là người bán + Mô hình hàm sản xuất: Để mô tả tình trạng công nghệ của doanh nghiệp chúng ta sử dụng mô hình hàm sản xuất Mô hình hóa công nghệ: Giả sử với trình độ công nghệ hiện có doanh nghiệp có thể sử dụng n loại yếu tố để tạo sản phẩm và nếu các yếu tố được sử dụng ở mức X1, …,Xn doanh nghiệp thu được Q đơn vị sản phẩm ⇒Có một mối quan hệ giữa mức sử dụng các yếu tố và mức sản lượng Và quan hệ này đặc trưng cho tình trạng công nghệ của doanh nghiệp Quan hệ này được mô tả qua hàm số: Q = F(X1,…,Xn) Phân tích tác động của yếu tố sản xuất tới sản lượng: + Về mặt ngắn hạn: -Năng suất biên của yếu tố i: ∂F MPi = ∂X i F(X ) - Năng suất trung bình của yếu tố i: APi = Xi - Độ co giãn của Q theo yếu tố i: ε Q Xi MPj dX i =− - Hệ số thay thế giữa yếu tố i và yếu tố j: dX j MPi + Về mặt dài hạn: Cho hàm sản xuất Q = F(X1, …,Xn) với λ X = ( λ X , , λ X n ) Ta nói quy mô sản xuất tăng với hệ số λ ( λ > 1) F ( λ X ) > λ F ( X ) thì công nghệ sản xuất gọi là tăng quy mô có hiệu quả F ( λ X ) < λ F ( X ) thì công nghệ sản xuất gọi là tăng quy mô không có hiệu quả F ( λ X ) = λ F ( X ) thì công nghệ sản xuất gọi là tăng quy mô không thay đổi hiệu quả  Để đo hiệu quả quy mô (tương đối) ta dùng độ co giãn n Q Q toàn phần của Q theo các yếu tố: ε = ∑ε Xi i =1 Ví dụ: Xét hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với hai yếu tố vốn (K) lao động (L): Q = aKbLc a) Bài toán 1: Bài toán tối ưu về mặt kinh tế của quá trình sản xuất * Nhắc lại:  Bài toán tìm cực trị: f(x1, x2,…,xn) + Tìm điểm dừng : ∂f = 0, i = 1, , n ∂xi + Xét dạng toàn phương d2f  Bài toàn tìm cực trị có điều kiện f(x1,…,xn); ϕ (x1,…,xn) = a + Lập hàm Lagrăng: L(x1,…,xn, λ ) = f(x1, x2,…,xn) + + Tìm điểm dừng: ∂L ∂L =0 =0 ∂λ ∂xi ; + Lập ma trận Hessian λ ( ϕ (x1,…,xn) – a) + Bài toán cực tiểu hóa chi phí: Giả sử hàm sản xuất của doanh nghiệp là Q = F(X1, X2,…,Xn) và giá các yếu tố là w1, w2,…, wn Q là mức sản lượng dự kiến sản xuất Ta có bài toán: n ∑w X z= i =1 i i => Min Với điều kiện: F(X1, X2,…,Xn) = Q Giải: Lập hàm Lagrăng : n L(X1,…,Xn, λ ) = ∑ wi X i i =1 + λ ( Q - F(X1, X2,…,Xn) )  ∂L  wi ∂F ∂xi = i≠ j  ∂x = 0, i = 1, , n    i ⇔  w j ∂F ∂x j   ∂L =  Q = F X1, , X n  ∂λ   ( + + AC ( Q ) = TC Q ∂TC MC ( Q ) = ∂Q ) : chi phí trung bình : chi phí biên + Với hàm tổng chi phí TC(Q, w1, w2,…, wn) được xác định ∂TC mô hình thì: * = X i* , i = 1, , n MC ( Q ) = λ ; ∂w i  Nếu doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo: Giá bán p là biến ngoại sinh nên TR(Q) = pQ Và (*) trở thành: p = MC(Q)  Nếu doanh nghiệp độc quyền: Giá bán phụ thuộc vào mức cung tức p = p(Q) dp Q Ta có: TR = P(Q).Q nên MR = p ( Q ) + dQ dp Và (*) thành : p ( Q ) + Q = MC ( Q ) dQ Ví dụ: Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu là TR = 58Q – 0,5Q2 + và hàm tổng chi phí TC = 1/3Q3 – 8,5Q2 Hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận 2) Mô hình phân tích hành vi tiêu dùng : a) Mô hình hàm thỏa dụng : + Mô hình hóa thị hiếu, sở thích của hộ gia đình : Hộ gia đình có thể mua và tiêu thụ m loại hàng hóa và Xi là khối lượng hàng hóa thứ i họ dự kiến mua X = (X1, X2,…,Xm) gọi là giỏ hàng Hàm thỏa dụng thể hiện mức độ đáp ứng, thỏa mãn tiêu thụ giỏ hàng X, ký hiệu là U U(X) = U(X1, X2,…,Xm ,a, b, c, …) a, b, c là các tham số + Phân tích mô hình: ∂U Thỏa dụng biên của hàng hóa i: MU = ∂X i Hệ số thay thế giữa loại hàng i và loại hàng j: MU j MU i b) Mô hình tối đa hóa thỏa dụng – mô hình xác định mức cầu các loại hàng hóa của hộ gia đình + Đặt vấn đề: Với giá cả hàng hóa và ngân sách tiêu dùng cho trước, hộ gia đình cần mua các loại hàng thế nào để đáp ứng tốt nhất sở thích + Mô hình hóa: Ký hiệu M là ngân sách tiêu dùng; p1, , pm là giá các loại hàng X = (X1, X2,…,Xm) Ta có mô hình : Lập hàm Lagrăng cho bài toán cực trị có điều kiện thì nghiệm bài toán cần thỏa mãn hệ: ∂U pi ∂X i = p j ∂U ∂X j ∀i ≠ j Ví dụ: Hàm thỏa dụng hộ gia đình tiêu thụ loại hàng hóa A, B có dạng: U = 40xA0.25xB0.5 với giá hàng pA=4, pB=10 a- Loại hàng A thay hàng B hay không? thay thay theo tỷ lệ nào? b- Xác định mức cầu loại hàng A,B hộ gia đình với M=600 Giải: a- MUB/MUA= xB/2xA>0 hai loại hàng hóa thay cho nhau, thay theo tỷ lệ 1A cần cần xB/2xA đơn vị hàng loại B b- xB/2xA = 10/4 4xA+10xB=600 Suy x*A = 50; x*B = 40 ⇒ Mức cầu DA=50; DB=40 21 Một số tâp: 1) Một doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo có chi phí biên MC = 2Q2 – 12Q + 25, chi phí cố định FC giá bán sản phẩm p a Hãy xác định hàm tổng chi phí TC với FC = 20 với p = 39 xác định mức sản lượng mức lợi nhuận tối ưu b Nếu giá p tăng 10% mức sản lượng, lợi nhuận tối ưu biến động nào? 2) Doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược: p = 490 – 2Q hàm tổng chi phí: TC = 0,5Q2 AD0,5 Q sản lượng AD chi phí quảng cáo a Với AD = 9, xác định mức sản lượng giá bán tối ưu b Hãy phân tích tác động chi phí quảng cáo AD tới mức sản lượng giá bán tối ưu 3) Cho hàm doanh thu trung bình AR(Q) = 15 – Q a Xác định mức doanh thu cận biên MR Q1 = 5; Q2 = Phân tích kết b Xác định mức chênh lệch doanh thu cận biên doanh thu trung bình hàm Q c Nêu biểu thức tổng quát xác định mức chênh lệch doanh thu cận biên doanh thu trung bình hàm doanh thu trung bình có đạo hàm 4) Cho hàm tổng chi phí: TC = Q3 - 5Q2 + 14Q + 144 a Khảo sát thay đổi tuyệt đối TC theo Q từ cho nhận xét mở rộng sản xuất b Tính hệ số co giãn TC theo Q Q = c Cho giá sản phẩm p = 70, với mức thuế doanh thu 20%, tính lợi nhuận Q = Tìm điểm hịa vốn phân tích thay đổi hàm tổng lợi nhuận 5) Cho hàm tổng chi phí TC = 4000 + 10Q + 0,1Q2 Giá p xác định phương trình: Q = 800 – 2,5p a Tìm hàm chi phí trung bình AC, khảo sát thay đổi b Tìm hàm chi phí cận biên MC c Tính hệ số co giãn TC p = 80 6) Một công ty sản xuất cung ứng cho thị trường hai mặt hàng với hàm tổng doanh thu tổng chi phí cho hai mặt hàng: TR = P1Q1 + P2Q2 TC = 2Q12 + Q1Q2 +3Q22 Trong Pi ; Qi giá sản lượng hàng hóa (i = 1,2) a Xác định cơng thức tính tổng lợi nhuận cực đại b Áp dụng công thức tìm câu a, tìm sản lượng cực đại lợi nhuận c Tính hệ số co giãn tổng chi phí theo khối lượng mặt hàng hệ số co giãn đồng thời theo hai mặt hàng, điểm cực đại lợi nhuận tìm câu b 7) Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc sau : Q1 = 40 – 2P1 – P2 ; Q2 = 35 – P1 – P2 Tổng chi phí hàm sản lượng : TC = Q12 + 2Q22 + 12 Trong Pi ; Qi giá sản lượng hàng hóa (i = 1, 2) a Xác định mức Q1 ; Q2 cho tổng lợi nhuận lớn b Tính chi phí cận biên cho mặt hàng mức tối ưu tìm câu a c Hai mặt hàng có thay lẫn tiêu dùng không 8) Giả sử dân số tăng theo mô hình P(t) = P(0).2bt tiêu dùng dân cư tăng theo mơ hình C(t) = C(0).eat a Tính hệ số tăng trưởng dân số tiêu dùng dân cư b Với điều kiện hệ số tăng trưởng tiêu dùng cao hệ số tăng trưởng dân số Nêu ý nghĩa quan hệ c Giả thiết lượng lao động sử dụng tỉ lệ với dân số có dạng L(t) = kP(t)(k