Đề thi học kì II: Môn: Toán…… Lớp 11 Nâng cao **** Đề: Câu 1: (2đ) Tìm giới hạn của các hàm số sau: a) 2 1 1 3 2 lim x x x x →− + + + b) 4 2 ( 3 1) lim x x x →+∞ + − c) ( 1 ) lim x x x →+∞ + − d) 2 2 5 6 lim x x x x + →− + + Câu 2: (1,5đ) Cho hàm số: 3 2 , 2 ( ) 8 3, 2 x x f x x a x − ≠ = − − = a) Tính 2 ( ) lim x f x → b) Tìm a để hàm số liên tục trên R. Câu 3: (2đ) Cho hàm số 3 2 ( ) 5f x x x x= + − a) Tính đạo hàm của hàm số trên R. b) b) Giải bất phương trình '( ) 0f x ≤ c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ bằng -5. Câu 4: (1,5đ) Cho hàm số f(x)=sinx(1+cosx). a) Tính đạo hàm của hàm số trên R. b) Giải phương trình f’(x)=0. Câu 5:(3đ) Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD⊥ , góc SBA bằng 30 0 . a) Chứng minh SBC là tam giác vuông. b) Chứng minh ( ) ( )SAB SAD⊥ c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB. d) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAN), (SAM). ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM: Câu Đáp án Thang điểm Câu 1 (2đ) a) 2 1 1 1 1 1 3 2 2 lim lim x x x x x x →− →− + = = + + + 0.5đ b) 4 2 4 2 4 3 1 ( 3 1) (1 ) lim lim x x x x x x x →+∞ →+∞ + − = + − = +∞ (vì 4 2 4 3 1 (1 ) 1 0 lim lim x x x x x →+∞ →+∞ = +∞ + − = > ) 0.5đ c) 1 ( 1 ) 0 1 lim lim x x x x x x →+∞ →+∞ + − = = + + 0.5đ (vì 1 ( 1 ) ( 1 1) lim lim x x x x x x →+∞ →+∞ + + = + + = +∞ ) d) 2 2 2 2 2 2 , 5 6 2 0, ( 5 6) 0, 5 6 0, 2 lim lim lim x x x x x x x x x x x x + + + →− →− →− = −∞ + + = − < + + = + + > ∀ > − 0.5đ Câu 2 (1.5đ) a) 3 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 8 2 4 12 lim lim lim x x x x f x x x x → → → − = = = − + + 0,75đ b) Hàm số f(x) liên tục trên khoảng ( ;2) (2; )−∞ ∪ +∞ Hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x=2 2 ( ) (2) lim x f x f → ⇔ = 1 3 12 37 12 a a = − ⇔ = 0,25đ 0,5đ Câu 3 (2đ) 3 2 ( ) 5f x x x x= + − a) 2 '( ) 3 2 5f x x x= + − 0,5đ b) 2 '( ) 0 3 2 5 0 5 1 3 f x x x x ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ S=[-5/3; 1 ] 0.75đ d) Phưong trình tiếp tuyến có dạng: '( 5)( 5) ( 5) 60( 5) 75 60 225 y f x f y x y x = − + + − ⇔ = + − ⇔ = + 0.75đ Câu 4 (1,5đ) a) 1 ( ) sinx+sinx.cosx=sinx+ sin 2 2 '( ) osx+cos2x f x x f x c = ⇒ = 0.75đ b) 2 '( ) 0 osx+cos2x=0 cosx+2cos 1 0 osx=-1 1 cosx= 2 f x c x c = ⇔ ⇔ − = ⇔ 2 2 3 x k x k π π π π = + = ± + 0.5đ 0.25đ Câu 5 (3đ) H N M C A B S 0,25đ a) ( ) ( ) SA ABCD SA BC BC AB BC SAB BC SB ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Suy ra tam giác SBC là tam giác vuông tại B. 0.75đ b) ( ) AB SA AB SAD AB AD ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ mà ( ) ( ) ( ) AB SAB SAB SAD ⊂ ⇒ ⊥ 0.5đ c) Trong mặt phẳng (SAD), kẻ AH vuông góc với SD. Ta có ( )SA SAD SA AH⊥ ⇒ ⊥ Suy ra: ( , )d AB SD AH= Trong tam giác SAB, ta có: 0 tan( ) .tan30 3 SA a SBA SA AB AB = ⇒ = = Trong tam giác SAD, ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 4 2 AH AD SA a a a a AH = + = + = ⇒ = 0.75đ Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là a/2. d) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SAN SAM SA SA ABCD ABCD SAN AN ABCD ABM AM ⊥ = ⊥ ∩ = ∩ = Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAN) và (SAM) là góc giữa hai đường thẳng AM và AN. 5 2 a AM AN= = 2 2 2 DB a MN = = Trong tam giác AMN: 2 2 2 AN 4 ˆ osMAN= 2 . 5 4 ˆ arccos 5 AM MN c AM AN MAN + − = ⇒ = Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAN) và (SAM) bằng arccos(4/5). 0,25đ 0.5đ . Đề thi học kì II: Môn: Toán … Lớp 11 Nâng cao **** Đề: Câu 1: (2đ) Tìm giới hạn của các hàm số sau: a) 2 1 1 3 2 lim x x x