~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~ ~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~ ~~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~ ~~~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~ ~~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~ ~~ ~ ~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~ ~ ~~~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~~~ ~~~~ ~~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~ ~ [...]... distance, and a some fixed number, then there exists a function b (n) independent of N such that lim 5 (n) = 0 and -h- K-2 5 (n) niK-1 (1 + IxIK) Pv(v pn(N )-~ (x) - /20) V=1 for all N, where n pn (N) = P E Xj = na + Nh , x = (on1 )-1 (na+Nh-nE(X 1)) j= 1 In these theorems O(x) = P"(-O) = ( 27i: )-+ e-x2/2, d Pv( - o) Local limit theorems for sums of independent non-identically distributed random variables. .. PETROV 408 of independent random variables with the same distribution function 2 V(x) ; suppose E(X 1 )=0, E(X2)=o >0, and let v(t)=E(e'lX1), Fn (x) = n P((a11+) -1 X' < X j= 1 / If E JX1I' < oo for some integer Fn (x) -O K-2 (x )- E V=1 K ~> 3, then for all x and n Pv( -0 ) n v/2 c(K){C -K n2x-1 (1+ IxI)-K j ~y~ y JKdV(y)+ ~vn 1 (1+ixi) +a-K- 1n2K-1(1+IxI-K-1 +1 j y j 1 We have the following relation, denoting by F (x) the distribution function of X , 1 J 0o H(a(x-~))dF(x)=a-1Ja f(t)h(a)e-"~dt a a-1 a f- aa f (t)l dt from which (the right hand side of) (1) follows easily Now let X , , X„ be independently and identically distributed random variables, satisfying... [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] 425 of independent random variables (Russian), Teoriya veroiatn i ee primenia, 1965, 10, vyp 3, 51 9-5 26 -, On an extremal problem in limit theorems for sums of independent random variables (Russian), Litovskiy matem sbornik, 1964, 4, No 3, 34 3-3 52 -, Some inequalities of probability theory and their application to the refinement of A M Liapunov's theorem, (Russian),... 3, 50 1-5 04 Ibragimov, I A., On the accuracy of approximation of the distribution function of a sum of independent random variables by the normal distribution (Russian), Teoriya veroiatn i ee primen , 1966, vyp 4, 63 2-6 55 -, On the Chebyshev-Cramer asymptotic expansions (Russian), Teoriya veroriatn i ee primen., 1967, 12, vyp 3, 50 6-5 19 -, The central limit theorem for sums of functions of independent. .. finite in some non-degenerate interval, one of the ends of which is h=0 Heyde [50] has investigated the asymptotic behaviour of probabilities of large deviations of independently and identically distributed random variables belonging to the domain of attraction of a non-normal stable law On chapter 15 To date it is not clear to what extent the estimate (15.1 2) is conclusive A series of interesting estimates... distributions for sums of random variables defined on a finite homogeneous Markov chain © 2 : m-dependent random variables were first studied by Hoeffding and Robbins [51] Theorem 19.2.1 is due to Diananda [25], [26] © 3 : The results of this section, which are due to Ibragimov [53], are amplifications of theorems of Kac [60] Leonov [89] has investigated the distribution of values of sums of the form Ef... account of the inequality between the geometric and arithmetic means I A IBRAGIMOV, V V PETROV 420 exp {-2 n(1-If(t)1 2 )}< exp{-n rx1>1 JI 1 P sin 2 2txdG(x)}< exp { - np sin2 1 tx} dG (x) ixi>1 Thus nx/L dG(x)x-1~ - Q(L) 1 n C3 Z e -npsin2+t dt< e - npsin 2 +tdt