Independent And Stationary Sequences Of Random Variables - Chapter 19 ppsx

~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~~ ~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~~ ~~~~ ~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~ ~~ ~~ ~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~ ~ ~~~~~~~ ~~ ~~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~ ~~~~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~ ~~ ~~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~~ ~~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~ ~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~~ ~ ~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~ ~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~ ~~ ~~~~~ ~~ ~~~~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~ ~ ~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~~~~~ ~~ ~ ~~ ~~~~~ ~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ [...]... dyn = (2 ,) JAI - 2 {A{ 00 Therefore (t) = E {exp (it E Y 2)} = E(e`t ("• Y)) _ (2~ )-2 n {R {-2 00 f- 00 00 f - 00 - 00 f - 00 eit(y,y)e-2(R-1 Y,Y) dy1 dyn = 00 _ (2,r )-2 n {R {-2 f ~ e -2 ((R- 1-2 itr) y, y>dy l dyn = = {R{ - {R -1 -2 it1{ - n = {I -2 itR{ -2 = fj { 1-2 it§j { - j=1 -2 is the characteristic function of Remark 19. 5.1 The function { 1-2 it{ ri g, where ri c N (0, 1) Lemma 19 5.1 therefore... that, as ~-+ 0, Since k - a(k+ 1) - a = O(k -a -1 ) 386 EXAMPLES AND ADDENDA Chap 19 00 Y k - a e ikA {),{a -1 T ( 1- a) (sin (2n a) + i sgn )~ cos (bra)) , k=1 f O) - (19 5.3) { ;, I2(a-1)T(1-a)2 The investigation of the distribution of Z n is based on the following lemma Lemma 19. 5 1 If (Y1 , Y2 , , Yn) is a non-degenerate Gaussian random vector, then the characteristic function of E"=1 y2... either of the conditions of Remark 19 3 1 is satisfied The proof is almost the same as before, using the fact that, fort, u e A k , by (19. 4.5) and (19. 4.6), Pk It-uI G \ qk Pk+pk-1 qk+qk-1 = 1 G 2-( k-1) gk(gk+qk-1) \ © 5 Example of a sequence not satisfying the central limit theorem Let , -1 , o> 1, b2, be a sequence of independent normal variables with mean 0 and variance 1, 19 5 EXAMPLE OF. .. ) (n-k)Rk , k=1 j=1 (19 5.6) and n ~R k ) = O 0 cos U ),2(l -a) dA 1 + O k = 1 O (k - 2a) so that n- 1 6n - 3n I Rk = 0 (n 4(1 -a)) k=1 Because of Lemmas 19 5.1 and 19. 5.2, the characteristic function Zn = S'/U" is it n n (n) -I ,/~ n) i It W n (t) = exp i 1 1 1-2 it §' Un j=1 =1 1-2 ltbl 1 _f O j=1 4f n (t) of Qn n (t), (19. 5 7) where 0 < b = lim inf b(n) < lim sup b ( n) = B < ac , n-oo n-+ o0 and. .. n-1 Zn =Q -1 n I {f(Tkt)-a}, k=0 so that, by (19. 4 .19) , lim E§ (e1zz ^) n- e - 2T 2 = 00 Using (19 4.20), as n-+oo, with r= [log n], IE,, (e``zn) - E1(eirzn) I iz, r E [f (T k t) - a] E, 1- exp 1 an k=O r 2 + E z 1- exp { any [f (Tk t) - a] k n - 1 it + (E§ -E2 ) exp + 0 [f(Tk t)-a] 2 Ian k=r+1 2 =0 'TI n r)' O (e - ~ rl/z ) = 0(1) Hence the theorem is proved Remark 19 4.1 Condition (19 4 18) is... is called the remainder of order n of the continued fraction expansion of t From (19. 4.4) it follows that, for all k in 1