Independent And Stationary Sequences Of Random Variables - Chapter 4 ppt

~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~ ~ ~~ ~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~ ~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~ ~~~ ~ ~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~ ~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~ ~ ~~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~ ~~ ~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~~~~ ~ ~~ ~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~~~~ ~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ [...]... Moreover, 4 4.3) and (4. 4 .4) imply that, for each x, x I Fn (x) - G (x) I I Pn (x) - g (x) dx + b n Sn (x) I ~_ 00 IIPn glll+( 1- an) -+ 0, so that (1) is also necessary Conversely, suppose that (1) and (2) are satisfied To prove (4. 4.3) we require a number of lemmas Lemma 4 4.1 For any a > 0, b ,> 0, a + b =1, /3 > 0, (fl) a mbn-m m-naA itx dt i (4. 4. 14) LOCAL LIMIT THEOREMS 1 34 In § 2.2 it was shown that Bn = n 1 is h tion, and consequently lim B„ -( log m) = 0 (n), where h Chap 4 is a slowly varying func- 2 e n - 00 Therefore 1 can be made arbitrarily small by making A sufficiently large 3 (4) For all sufficiently large m, ma - m 2 log m >