Independent And Stationary Sequences Of Random Variables - Chapter 6 pptx

~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~~ ~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~~~ ~~ ~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~ ~ ~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~ ~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~~ ~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~