phương pháp giản dồ véc tơ

ĐH Hồng Đức – Thanh Hoá Đa số học sinh thường dùng phương pháp đại số các bài toán điện còn phương pháp giản đồ véc tơ thì học sinh rất ngại dùng.. Có nhiều bài toán khi giải bằng phương

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc

Sử dụng giản đồ vecto giải bài toán điện xoay chiều

Chu Văn Biên – GV ĐH Hồng Đức – Thanh Hoá

Đa số học sinh thường dùng phương pháp đại số các bài toán điện còn phương pháp giản đồ véc tơ thì học sinh rất ngại dùng Điều đó là rất đáng tiếc vì phương pháp giản đồ véc tơ dùng giải các bài toán rất hay và ngắn gọn đặc biệt là các bài toán liên quan đến độ lệch pha Có nhiều bài toán khi giải bằng phương pháp đại số rất dài dòng và phức tạp còn khi giải bằng phương pháp giản đồ véc tơ thì tỏ ra rất hiệu quả

Trong các tài liệu hiện có, các tác giả hay đề cập đến hai phương pháp, phương pháp véc tơ buộc và phương pháp véc tơ trượt Hai phương pháp đó là kết quả của việc vận dụng hai quy tắc cộng véc tơ trong hình học: quy tắc hình bình hành và quy tắc tam giác

Theo chúng tôi, một trong những vấn đề trọng tâm của việc giải bài toán bằng giản đồ véc tơ là cộng các véc tơ

1) Các quy tắc cộng véc tơ

Trong toán học để cộng hai véc tơ avµ b, SGK hình học 10, giới thiệu hai quy tắc: quy tắc tam giác và quy tắc hình bình hành

a) Quy tắc tam giác

Nội dung của quy tắc tam giác là: Từ điểm A tuỳ ý ta vẽ véc tơ AB=a, rồi từ điểm B ta vẽ véc

tơ BC=b Khi đó véc tơ AC được gọi là tổng của hai véc tơ avµ b (Xem hình a)

b) Quy tắc hình bình hành

Nội dung của quy tắc hình bình hành là: Từ điểm A tuỳ ý ta vẽ hai véc tơ AB=a vµ AD=b, sau đó dựng điểm C sao cho ABCD là hình bình hành thì véc tơ AC được gọi là tổng của hai véc tơ avµ b (xem hình b)

Ta thấy khi dùng quy tắc hình bình hành các véc tơ đều có chung một gốc A nên gọi là các véc tơ buộc

Vận dụng quy tắc hình bình hành để cộng các véc tơ trong bài toán điện xoay chiều ta có phương pháp véc

tơ buộc, còn nếu vận dụng quy tắc tam giác thì ta có phương pháp véc tơ trượt (“các véc tơ nối đuôi nhau”)

2) Cơ sở vật lí của phương pháp giản đồ véc tơ

Xét mạch điện như hình a Đặt vào 2 đầu đoạn AB một hiệu điện thế xoay chiều Tại một thời điểm bất kì, cường độ dòng điện ở mọi chỗ trên mạch điện là như nhau Nếu cường độ dòng điện đó có biểu thức là:

( )A

t

sin

I

i= 0 ω thì biểu thức hiệu điện thế giữa hai điểm AM, MN và NB lần lượt là:

( ) ( ) ( )



























 −

=

=











 +

=

V t

U

u

V t U

u

V t

U

u

C

NB

R

MN

L

AM

2 sin

2

sin 2

2 sin

2

π ω ω

π ω

+ Do đó hiệu điện thế hai đầu A, B là:

NB MN AM

+ Các đại lượng biến thiên điều hoà cùng tần số nên chúng có thể biểu diễn bằng các véc tơ Frexnel:

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc

C R L

U =  +  +  (trong đó độ lớn của các véc tơ biểu thị hiệu điện thế hiệu dụng của nó)

+ Để thực hiện cộng các véc tơ trên ta phải vận dụng một trong hai quy tắc cộng véc tơ

3) Vẽ giản

đồ véc tơ bằng cách vận dụng quy tắc tam

phương pháp véc tơ trượt

Vẽ giản đồ véc

tơ theo phương pháp véc tơ trượt gồm các bước như sau (Xem hình b):

+ Chọn trục ngang là trục dòng điện, điểm đầu mạch làm gốc (đó là điểm A)

+ Vẽ lần lượt các véc tơ: AM,MN,NB “nối đuôi nhau” theo nguyên tắc: R - đi ngang, L - đi lên, C - đi xuống + Nối A với B thì véc tơ AB biểu diễn hiệu điện thế uAB Tương tự, véc tơ AN biểu diễn hiệu điện thế uAN, véc tơ MB biểu diễn hiệu điện thế uNB

Một số điểm cần lưu ý:

+ Các hiệu điện thế trên các phần tử được biểu diễn bởi các vecto mà độ lớn của các vecto tỉ lệ với hiệu điện thế hiệu dụng của nó

+ Độ lệch pha giữa các hiệu điện thế là góc hợp bởi giữa các vecto tương ứng biểu diễn chúng Độ lệch pha giữa hiệu điện thế và cường độ dòng điện là góc hợp bởi vecto biểu diễn nó với trục I Véc tơ “nằm trên” (hướng lên trên) sẽ nhanh pha hơn véc tơ “nằm dưới” (hướng xuống dưới)

+ Nếu cuộn dây không thuần cảm (trên đoạn AM có cả L và r (Xem hình a dưới đây)) thì

C R r L

U =  +  +  +  ta vẽ L trước như sau: L - đi lên, r - đi ngang, R - đi ngang và C - đi xuống (xem hình b) hoặc vẽ r trước như sau: r - đi ngang, L - đi lên, R - đi ngang và C - đi xuống (Xem hình c)

+ Nếu mạch điện có nhiều phần tử (Xem hình d) thì ta cũng vẽ được giản đồ một cách đơn giản như phương pháp đã nêu (Xem hình e)

+ Góc hợp bởi hai vec tơ avµ b là góc BAD (nhỏ hơn 1800) Việc giải các bài toán là nhằm xác định độ lớn các cạnh và các góc của các tam giác hoặc tứ giác, nhờ các hệ thức lượng trong tam giác vuông, các hệ thức lượng giác, các định lí hàm số sin, hàm số cos và các công thức toán học

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc + Trong toán học một tam giác sẽ giải được nếu biết trước 3 (hai cạnh một góc, hai góc một cạnh, ba cạnh) trong số 6 yếu (ba góc trong và ba cạnh) Để làm điều đó ta sử dụng các định lí hàm số sin và định lí hàm số

cosin (xem hình bên)

















− +

=

− +

=

− +

=

=

=

C cos ab b

a

c

B cos ca a

c

b

A cos bc c

b

a

C sin

c B

sin

b

A

sin

a

2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Tìm trên giản đồ véctơ tam giác biết trước ba yếu tố (hai cạnh một góc, hai góc một

cạnh), sau đó giải tam giác đó để tìm các yếu tố chưa biết, cứ tiếp tục như vậy cho các tam giác còn lại

Độ dài cạnh của tam giác trên giản đồ biểu thị hiệu điện thế hiệu dụng, độ lớn góc biểu thị độ lệch pha

4) Vẽ giản đồ véc tơ bằng cách vận dụng quy tắc hình bình hành - phương pháp véc tơ buộc

Vẽ giản đồ véc tơ theo phương pháp véc tơ buộc gồm các bước như sau:

+ Chọn trục ngang là trục dòng điện, điểm O làm gốc

+ Vẽ lần lượt các véc tơ: UR , UL UC “cùng chung một gốc O” theo nguyên tắc: UR - trùng với I, UL - sớm hơn I là

2

π , UC - trễ hơn I là

2

π + Cộng hai véc tơ cùng

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc phương ngược chiều UL vµ UC trước sau đó cộng tiếp với véc tơ UR theo quy tắc hình bình hành (xem hình trên)

+ Chú ý đến một số hệ thức trong tam giác vuông:













=

+

=

+

=

'

c

b

h

c

b

h

c

b

a

2

2 2

2

2

2

2

1

1

1

Bài 1: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ Cuộn dây thuần cảm Cho biết hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai

điểm A, B là U AB =200( )V , giữa hai điểm A, M là U AM =200 2 ( )V và

giữa M, B là U MB =200( )V Tính hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu

điện trở và hai đầu tụ điện

Giải:

Cách 1:

Phương pháp véctơ buộc (xem hình a).

+ Vì U AB =U MB =200( )V nên tam giác

MB

AB U

OU là tam giác cân tại O Chú ý

( )2 2

200 + = nên tam giác đó là tam giác vuông cân tại O

+ Do đó tam giác OU R U MB cũng là tam giác

2 =

=

=

C R

U U

Cách 2: Phương pháp véctơ trượt (xem hình b).

2 200 200

vuông cân tại B, suy ra α =450 ⇒β =450 →

2 100

2 =

=

=

ĐS: U R =U C =100 2

Bài 2: Cho mạch điện như hình vẽ bên Điện trở R=80( )Ω , các vôn kế có điện trở rất lớn Đặt vào hai đầu

đoạn mạch một hiệu điện thế

( )

240 2 100

AB

u = cos πt V thì dòng điện chạy

trong mạch có giá trị hiệu dụng I = 3 A( ) Hiệu điện thế tức thời hai đầu các vôn kế lệch pha nhau 2

π , còn số chỉ của vôn kế

2

V là U V2 =80 3(V) Xác định L, C, r và số chỉ của vôn kế V 1

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc

Giải

Cách 1: Phương pháp đại số









−

= ϕ ϕ

=

=

1

MB AN

V MB

AB AB

tg tg

I

U Z

I

U Z

( ) ( ) ( )



















Ω

=

Ω

=

Ω

=

⇒



















−

=

−

−

=

− +

=

− + +

⇔

3 80 3 200 40

1

80

3

3 80

3

240 80

2 2

2 2

C

L C

L

C

C L

C L

Z Z r

r

Z Z

Z

Z Z

r

Z Z r







=

= Ω

=

π

10 3 ,

3

2 ,

40

3

+ Số chỉ của V1: U V I.Z AN I R2 Z C2 160 ( )V

Cách 2: Phương pháp véc tơ buộc (xem hình a) Sử dụng định lí hàm số cosin cho tam giác thường:

( ) ( )

2

3

= 3

80 240 2

3 80

− 3 80 +

240

=

ϕ

2 2

2

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc

3

80 80

I

U Z V tg

U

C R

3

200

=

=

⇒ 200

= ϕ 2 3 80

+

=

I

U Z V U

L C

cos

U U

AN

α

=

Cách 3: Phương pháp véc tơ trượt.

Vẽ giản đồ véc tơ (xem hình b) Gọi các góc như trên hình Theo bài ra: U R =I.R=80 3( )V

Sử dụng định lí hàm số cosin cho tam giác

2

3 3 80 240 2

240

2 cos

2 2

2 2

=

=

− +

=

AM AB

MB AM

AB

ϕ

0 0

=

0

60 − =

=

+ Xét ∆AMN:

( ) ( )









=

=

=

=

=

=

V cos

AM AN

U

, V AMtg

MN U

V

C

160 30

80 30

0 1

0

( )V sin

AB U

GB U













=

⇒

= Ω

=

=

=

⇒

= Ω

=

=

F C

C I

U

Z

H L

L I

U

Z

C

C

L

L

π π

π π

8

10 3 100

1 3

80

3

2 100

3 200

3

( )Ω

=

−

=

−

=

=

I

AM AB

I

AM AG

I

U

π 8

10 3

= π

3

2

= , . −3 , r =40( )Ω , số chỉ vôn kế V1 là 80( )V

Bài 3: Cho mạch điện như hình vẽ bên Giá trị của các phần tử trong mạch L= 1 ( )H ,C= 50 ( )F ,R=2r

π

Hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch

( )

0 s100

u U co= πt V Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai điểm A, N là U AN =200( )V và hiệu điện thế tức thời giữa hai điểm MN lệch pha so với hiệu điện thế tức thời giữa hai điểm AB là

2

π Xác định các giá trị

r

R

U0, , Viết biểu thức dòng điện trong mạch.

Giải:

Cách 1: Phương pháp đại số

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc

+ Tính:

( )

( )















Ω

=

=

=

Ω

=

=

=

− 200 10

50 100

1 1

100

1 100

6

π π ω

π π ω

C Z

L Z

C

L

+ Vì hiệu điện thế tức thời giữa hai điểm MN lệch pha so với hiệu điện thế tức thời giữa hai điểm AB là

2 π nên: tgϕMN tgϕAB =−1

( )Ω = = ( )Ω

=

⇒

−

= +

−

⇔

−

= +

−

⇔

3

200 2

, 3

100

1 2

200 100

100 1

r R r

r r r r

R

Z

Z

r

+ Cường độ hiệu dụng:

U Z

U

I

L

AN AN

100 3

100

200

2 2

2

+

= + +

=

+ Theo định luật Ôm:

( )V U

V Z

Z r R I Z

I

2 200

200

0

2 2

=

⇒

=

− + +

=

=

+ Độ lệch pha uAB so với dòng điện:

6 3

1 3

100 3 200

200

+

−

= +

−

AB

r R

Z Z

tg

+ Vậy, biểu thức dòng điện: i t ( )A









=

6 100 sin

Cách 2: Phương pháp véc tơ trượt.

+ Vẽ giản đồ véc tơ (xem hình b)

+ M là trực tâm của ∆ABN

+ Vì











=

⇒

=

⇒

=

OB NO

U U

Z Z

L C

L C

2

2

Do đó, AO là đường trung tuyến của ∆ABN Vì R r U R U r MO AO

3

1 2

Suy ra, M là trọng tâm của ∆ABN

+ Vậy, M vừa là trọng tâm vừa là trực tâm của ∆ABN, do đó ∆ABN đều, tức là: AB= AN = NB=200( )V + Tính được: U0 =U AB 2 = AB 2 =200 2 ( )V

200

200

A Z

NB Z

U I

C C

= + Từ giản đồ tính được:

) ( 3

100 2 ), ( 3 200

) ( 3

200 60

sin 200 3

2 3

Ω

=

= Ω

=

=

⇒

=

=

=

R r I

U

R

V AO

U

R

R

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc + Từ giản đồ nhận thấy, i sớm pha hơn AB u là AB

6

π

+ Vậy, biểu thức dòng điện: i t ( )A









=

6 100 sin

Cách 2: Phương pháp véc tơ buộc (xem hình c).

+ Tương tự như cách 2, ta thấy tam giác OFE là tam giác đều vì G vừa là trọng tâm vừa là trực tâm, suy ra:

( ), 300

=

=

+ Tính được: U0 =U AB 2 =200 2 ( )V

+ Cường độ hiệu dụng: 1( )

200

200

A Z

U I

C

3

200 30

cos 200 3

2 cos 3

2 3

V U

OH

) ( 3

100 ),

( 3

200

Ω

= Ω

=

=

I

U

Từ giản đồ nhận thấy, i sớm pha hơn AB u là AB

6

π

Vậy, biểu thức dòng điện: i t ( )A









=

6 100 sin

3

100 ),

( 3

200 ,

2 200

( )A t









=

6 100

sin

Nhận xét:

+ Cách 1: phức tạp vì phải giải hệ phương trình Nếu

độ lệch pha uMN so với uAB không phải là π/2 thì không có được phương trình tgϕMNtgϕAB =−1… và thế là phải bó tay, ướt mắt!

+ Cách 3: Một học sinh có học lực trung bình để có lời giải phải ba bữa quên cơm

+ Cách 2: Dễ dàng thấy được nếu học sinh đã học môn hình học lớp 7 mà phụ huynh ngủ yên ăn ngon

Bài 4: Cho mạch điện như hình vẽ bên Điện trở thuần

( )Ω

=120 3

R , cuộn dây có điện trở thuần

( )Ω

=30 3

r Hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch có

biểu thức: u AB =U0sin100πt( )V , hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai điểm A, N là U AN =300( )V , và giữa hai điểm M, B là U MB =60 3( )V Hiệu điện thế tức thời u AN lệch pha so với u MB là

2

π Xác định U0, độ

tự cảm của cuộn dây L và điện dung của tụ điện C Viết biểu thức dòng điện trong mạch

Giải:

Cách 1: Phương pháp đại số

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc



















−

=

− +

=

− +

= +

+

⇔



















−

=

=

=

1

1

2 2

2 2

r

Z Z r R Z

I

U Z

Z r

I

U Z

r R

tg

tg

I

U

Z

I

U

Z

C L L

MB C

L

AN L

MB

AN

MB

MB

AN

AN

ϕ

ϕ















−

=

− +

=

− +

+ +

⇒

1

2 2

2 2

r

Z Z

r

R

Z

U

U Z

Z

r

Z r

R

C L

L

MB AN C

L

















−

=

−

=

− +

+

⇒

1 3

30

3 150

3 60

300 3

30

3 150

2 2

2 2

C L L

C L L

Z Z Z

Z Z

Z

( ) ( )







Ω

=

Ω

=

⇒

240

150

C

L

Z Z

( ) ( ) ( )



















=

=

=

=

⇒

−

F C

H L

A Z

U I

AN AN

π

π 24 10

5 , 1 1

3

0 I.Z AB 2 I R r Z L Z C

⇒

(150 3) ( )90 60 42 ( )V

=

+ Độ lệch pha uAB so với dòng điện:

5

3 3

30 3 120

240

+

−

= +

−

=

r R

Z Z

AB

+ Biểu thức dòng điện: i=I0sin(100πt−ϕ) ( )A

i= 2sin100π +0,106π

Cách 2: Phương pháp véc tơ trượt (hình a).

4

1

+ Vì R 4= rnên U R U r MO AO

5

1

=

3

=

α

MB

ME

+ Xét ∆MOB:OB=MBcosα =90(V)

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc + Xét







=

=

=

=

=

∆

) ( 3 150 cos

) ( 150 sin

:

V AN

OA

V AN

ON U

α α

) ( 1 )

( 3 30

U I V

OA

I

U Z V

L L

π

=

⇒ π

= Ω

=

=

⇒

=

) ( 24

10 )

( 240 )

( 240

3

F C

Z V U

OB

π

=

⇒ Ω

=

⇒

= +

+ Độ lệch pha uAB so với dòng điện:

π

−

≈ ϕ

⇒

−

= +

−

=

5

3

AB C

L

AB

r R

Z Z

tg

+ Biểu thức dòng điện: i= 2sin(100πt+0,106π) ( )A

Cách 3: Phương pháp véc tơ buộc (hình b)

+ Xét tam giác vuông phía trên (chú ý U R =4U r):

60 300

5 300 cos U R U r U r U r

=

=

+

= α

+ Xét tam giác vuông phía dưới:

3 60

= α

3

1

=

⇒

α

tg

+ Từ đó tính ra:

r

U I V

( )V

U L =300.sinα =150 ⇒ = =150( )Ω

I

U

L

( )⇒ = ( )Ω

= +

+ U0 =U AB 2 =I.Z AB 2 =60 42 ( )V

+ Độ lệch pha uAB so với dòng điện:

π

−

≈ ϕ

⇒

−

= +

−

=

5

3

AB C

L

AB

r R

Z Z

tg

+ Biểu thức dòng điện: i= 2sin(100πt+0,106π) ( )A

ĐS: U0 =60 42 ( )V ; ( ), 1,5( )

24

10 3

H L

F C

π

i= 2sin100π +0,106π

Bài 5: Cho mạch điện như hình vẽ: u U co= 0 s100πt V( ), hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai điểm MN là

( )V

U MN =120 , uAM lệch pha so với uMN là 140 , u0 AM lệch pha so với uMB là 110 , u0 AM lệch pha so với uAB là

0

90

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC - THẦY CHU VĂN BIÊN-Website: violet.vn/bienhongduc

Giải

Cách 1: Phương pháp đại số ???? phức tạp quá vì độ lệch pha 140 và 0 110 0

Cách 2: Phương pháp véc tơ trượt (Xem hình b).

1) Xét tam giác vuông MNB:

( )V tg

MN NB

3

1 120 30

=

+ Dễ thấy hiệu điện thế uNB sớm pha hơn hiệu điện thế uAB là 400 (hay

9

2π rad)

+ Do đó biểu thức hiệu điện thế trên R là:

( )V t

sin









=

9

2 100 6

2) Cường độ dòng hiệu dụng trong mạch:

( )A R

U

3 40

3 40

=

=

+ Xét tam giác vuông MNB:

( )V cos

cos

MN

30

120

300 = 0 =

+ Xét tam giác vuông MNB:

( )V cos

N

Mˆ A cos MB

( )









≈

=

≈

=

V AM

U

V AM

U

r

L

5 , 30 40 sin

3 , 36 40 cos

0 0

Cách 3: Phương pháp véc tơ buộc (xem hình c).

+ U NB U R U MN tg 40 3( )V

3

1 120

=

+ Dễ thấy hiệu điện thế uNB sớm pha hơn hiệu điện thế uAB là 400 (hay

9

2π rad)

+ Do đó biểu thức hiệu điện thế trên R là:

( )V t

sin









=

9

2 100 6

+ Hoàn toàn tương tự ta tính được các kết quả như cách 2

ĐS: 1) u NB sin t ( )V









=

9

2 100 6

( ) 0,363( ) 10−3 ( )