tóm tắt toan hoc THCS + THPT

TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN PHỔ THƠNG I- GIẢI TÍCH TỔ HP 1. Giai thừa : n! = 1.2 n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n 2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. 3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. 4. Hoán vò : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P n = n !. 5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : )!kn(!k !n C k n − = 6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : = = − k k k n n n k n! A , A C .P (n k)! Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vò 7. Tam giác Pascal : 1 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 3 3 2 3 1 3 0 3 2 2 1 2 0 2 1 1 0 1 0 0 CCCCC CCCC CCC CC C 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Tính chất : k 1n k n 1k n kn n k n n n 0 n CCC CC,1CC + − − =+ === 8. Nhò thức Newton : * n0n n 11n1 n 0n0 n n baC baCbaC)ba( +++=+ − a = b = 1 : 0 1 n n n n n C C C 2+ + + = Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa : n n 1 n 0 n C, ,C,C * nn n 1n1 n n0 n n xC xaCaC)xa( +++=+ − Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa n n 1 n 0 n C, ,C,C bằng cách : - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2, - Nhân với x k , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2, - Cho a = ±1, ±2, , ∫∫ ±± 2 0 1 0 hay hay β α ∫ Chú ý : * (a + b) n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : k n k k m n C a b Kx − = Giải pt : m = 0, ta được k. G v : TR*VĨNH SƯU TẦM & BIÊN SOẠN 1 TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG * (a + b) n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. m r k n k k p q n C a b Kc d − = Giải hệ pt :    ∈ ∈ Zq/r Zp/m , tìm được k * Giải pt , bpt chứa C,A k n k n : đặt điều kiện k, n ∈ N * , k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung. * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vò (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp. * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p. = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. Cần viết mệnh đề phủ đònh p thật chính xác. * Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải). * Dấu hiệu chia hết : - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. II- ĐẠI SỐ 1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔        = ≠ == b/ca 0b 0cb a/b = c ⇔    ≠ = 0b bca ; 1n2 1n2 baba + + =⇔= 2n 2n 2n 2n b a a b a b, a b a 0  = = ⇔ = ± = ⇔  ≥     α=⇔= ≥ ±= ⇔= α a bbloga, 0a ab ba    > <    < > >= ⇔<−<⇔<+ b/ca 0b b/ca 0b 0c,0b cab;bcacba 2. Giao nghiệm : G v : TR*VĨNH SƯU TẦM & BIÊN SOẠN 2 TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG    <⇔ < <    >⇔ > > }b,amin{x bx ax ;}b,amax{x bx ax   Γ  > ∨ < < <   ⇔ ⇔   < Γ ≥     Γ  p x a p q a x b(nếua b) ; x b VN(nếua b) q Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm. 3. Công thức cần nhớ : a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện.    ≤≤ ≥    ⇔≤ = ≥ ⇔= 22 ba0 0b ba, ba 0b ba    ≥ ≥    ∨ ≥ < ⇔≥ 2 ba 0b 0a 0b ba )0b,anếu(b.a )0b,anếu(b.a ab <−− ≥ = b. . : phá . bằng cách bình phương : 2 2 aa = hay bằng đònh nghóa : )0anếu(a )0anếu(a a <− ≥ = baba; ba 0b ba ±=⇔=    ±= ≥ ⇔= a b b a b≤ ⇔ − ≤ ≤ b 0 a b b 0hay a b a b ≥  ≥ ⇔ <  ≤ − ∨ ≥  0baba 22 ≤−⇔≤ c. Mũ : .1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay x <<↓>↑>∈= 0 m/ n m m n m nn m n m n m n m.n n n n n n n m n a 1; a 1/ a ; a .a a a /a a ; (a ) a ; a / b (a/ b) a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1 − + − = = = = = = = = ⇔ = < ≠ ∨ α =α <<> >< ⇔< a log nm a, )1a0nếu(nm )1anếu(nm aa d. log : y = log a x , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = log a a α log a (MN) = log a M + log a N ( ⇐ ) log a (M/N) = log a M – log a N ( ⇐ ) 2 aaa 2 a MlogMlog2,Mlog2Mlog == (⇒) log a M 3 = 3log a M, log a c = log a b.log b c G v : TR*VĨNH SƯU TẦM & BIÊN SOẠN 3 TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG log b c = log a c/log a b, Mlog 1 Mlog a a α = α log a (1/M) = – log a M, log a M = log a N ⇔ M = N a a 0 M N(nếua 1) log M log N M N 0(nếu0 a 1) < < > < ⇔ > > < < Khi làm toán log, nếu miền xác đònh nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác đònh. Mất log phải có điều kiện. 4. Đổi biến : a. Đơn giản : Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt a x2 ∈=>=≥=≥=≥=∈+= Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức. b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác đònh của f. c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t. d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. 5. Xét dấu : a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu. b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0. c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thò của f , suy ra dấu của f. 6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α : f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) * S = x 1 + x 2 = – b/a ; P = x 1 x 2 = c/a Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x 1 ,x 2 ) = 0 không đối xứng, giải hệ pt :      = += = 21 21 x.xP xxS 0g Biết S, P thỏa S 2 – 4P ≥ 0, tìm x 1 , x 2 từ pt : X 2 – SX + P = 0 * Dùng ∆, S, P để so sánh nghiệm với 0 : x 1 < 0 < x 2 ⇔ P < 0, 0 < x 1 < x 2 ⇔      > > >∆ 0S 0P 0 x 1 < x 2 < 0 ⇔      < > >∆ 0S 0P 0 * Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x 1 < α < x 2 ⇔ af(α) < 0 α < x 1 < x 2 ⇔      <α >α >∆ 2/S 0)(f.a 0 ; x 1 < x 2 < α ⇔      α< >α >∆ 2/S 0)(f.a 0 G v : TR*VĨNH SƯU TẦM & BIÊN SOẠN 4 TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG α < x 1 < β < x 2 ⇔ a.f( ) 0 a.f( ) 0 β <   α >   α < β  ; x 1 < α < x 2 < β ⇔      β<α >β <α 0)(f.a 0)(f.a 7. Phương trình bậc 3 : a. Viête : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 x 1 + x 2 + x 3 = – b/a , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c/a , x 1 .x 2 .x 3 = – d/a Biết x 1 + x 2 + x 3 = A , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = B , x 1 .x 2 .x 3 = C thì x 1 , x 2 , x 3 là 3 nghiệm phương trình : x 3 – Ax 2 + Bx – C = 0 b. Số nghiệm phương trình bậc 3 : • x = α ∨ f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : 3 nghiệm phân biệt ⇔    ≠α >∆ 0)(f 0 2 nghiệm phân biệt ⇔    ≠α =∆ ∨    =α >∆ 0)(f 0 0)(f 0 1 nghiệm ⇔ ( ) ∆  ∆  α  = 0 < 0hay f = 0 • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m. • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C m ) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0 3 nghiệm ⇔    < >∆ 0y.y 0 CTCĐ 'y 2 nghiệm ⇔    = >∆ 0y.y 0 CTCĐ 'y 1 nghiệm ⇔ ∆ y' ≤ 0 ∨    > >∆ 0y.y 0 CTCĐ 'y c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC : ⇔    = >∆ 0y 0 uốn 'y d. So sánh nghiệm với α : • x = x o ∨ f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với α. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (C m ) : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) G v : TR*VĨNH SƯU TẦM & BIÊN SOẠN 5 TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG α < x 1 < x 2 < x 3 ⇔ y' CĐ CT CĐ 0 y .y 0 y( ) 0 x ∆ >   <   α <   α <  x 1 < α < x 2 < x 3 ⇔        <α >α < >∆ CT CTCĐ 'y x 0)(y 0y.y 0 x 1 < x 2 < α < x 3 ⇔        α< <α < >∆ CĐ CTCĐ 'y x 0)(y 0y.y 0 x 1 < x 2 < x 3 < α ⇔ y' CĐ CT CT 0 y .y 0 y( ) 0 x ∆ >   <   α >   < α  8. Phương trình bậc 2 có điều kiện : f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α 2 nghiệm ⇔    >∆ ≠α 0 0)(f , 1 nghiệm ⇔    ≠α =∆    =α >∆ 0)(f 0 0)(f 0 Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨    =α =∆ 0)(f 0 Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN. 9. Phương trình bậc 4 : a. Trùng phương : ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔    = ≥= 0)t(f 0xt 2 t = x 2 ⇔ x = ± t 4 nghiệm ⇔      > > >∆ 0S 0P 0 ; 3 nghiệm ⇔    > = 0S 0P 2 nghiệm ⇔    > =∆ < 02/S 0 0P ; 1 nghiệm ⇔    = =∆    < = 02/S 0 0S 0P G v : TR*VĨNH SƯU TẦM & BIÊN SOẠN 6 α x 1 x 2 x 3 α x 1 x 2 x 3 α x 1 x 2 x 3 α x 1 x 2 x 3 TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG VN ⇔ ∆ < 0 ∨      < > ≥∆ 0S 0P 0 ⇔ ∆ < 0 ∨ 0 0 P S   >   <  4 nghiệm CSC ⇔    = << 12 21 t3t tt0 Giải hệ pt :      = += = 21 21 12 t.tP ttS t9t b. ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0. Đặt t = x + x 1 . Tìm đk của t bằng BBT : 2t ≥ c. ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0. Đặt t = x – x 1 . Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R. d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x 2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT. e. (x + a) 4 + (x + b) 4 = c. Đặt : 2 ba xt + += , t ∈ R. 10. Hệ phương trình bậc 1 :    =+ =+ 'cy'bx'a cbyax . Tính : D = 'b b 'a a , D x = 'b b 'c c , D y = 'c c 'a a D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = D x /D , y = D y /D. D = 0, D x ≠ 0 ∨ D y ≠ 0 : VN D = D x = D y = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết). 11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy. ĐK : S 2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S 2 – 4P ≥ 0; Thế S, P vào pt : X 2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y. (α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất ⇒ α = β ⇒ m = ? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không. 12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0. Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1. 13. Hệ phương trình đẳng cấp :    =++ =++ 'dy'cxy'bx'a dcybxyax 22 22 Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx. 14. Bất phương trình, bất đẳng thức : G v : TR*VĨNH SƯU TẦM & BIÊN SOẠN 7 TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của ., , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự. * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. * Bất đẳng thức Côsi : a, b ≥ 0 : ab 2 ba ≥ + Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. a, b, c ≥ 0 : 3 abc 3 cba ≥ ++ Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd) 2 ≤ (a 2 + b 2 ).(c 2 + d 2 ); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I. 16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I : Nếu tách được m, dùng đồ thò, lập BBT với x ∈ I. f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt) f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯNG GIÁC 1. Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của 6 π ( 3 1 cung phần tư) và 4 π ( 2 1 cung phần tư) x = α + n k2 π : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng giác. 2. Hàm số lượng giác : 3. Cung liên kết : * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π). * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ G v : TR*VĨNH SƯU TẦM & BIÊN SOẠN 8 2− π 2π 0 + 2π 0 2− π α 0 A x+k2 M cos chiếu sin M cotg chiếu xuyên tâm tg M TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu 2 π (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 4. Công thức : a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. f. Đưa về 2 a tgt = : đưa lượng giác về đại số. g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. 5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ, sinα = 1 ⇔ α = 2 π + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – 2 π + k2π, cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = 2 π + kπ, cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ 6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a 2 + b 2 ≥ c 2 * Chia 2 vế cho 22 ba + , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo 2 u tgt = ) 7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. Đặt : t = sinu + cosu = 2 t 1 2 sin u , 2 t 2,sinu.cosu 4 2 π −   + − ≤ ≤ =  ÷   8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu : Đặt : 2 1 2 0 2 4 2 t t sinu cos u sin u , t ,sin u.cos u π −   = + = + ≤ ≤ =  ÷   9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : Đặt : π −   = − = − − ≤ ≤ =  ÷   2 1 t t sinu cosu 2 sin u , 2 t 2,sinu.cosu 4 2 10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : Đặt : 2 1 2 0 2 4 2 t t sinu cos u sin u , t ,sin u.cosu π −   = − = − ≤ ≤ =  ÷   11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos 2 u, dùng công thức G v : TR*VĨNH SƯU TẦM & BIÊN SOẠN 9 TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG 1/cos 2 u = 1 + tg 2 u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 12. Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos 3 u. * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x. * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x. * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng * t = tg 2 x : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 14. Phương trình đặc biệt : *    = = ⇔=+ 0v 0u 0vu 22 *    = = ⇔      ≥ ≤ = Cv Cu Cv Cu vu *    = = ⇔      +=+ ≤ ≤ Bv Au BAvu Bv Au * sinu.cosv = 1 ⇔    −= −= ∨    = = 1vcos 1usin 1vcos 1usin * sinu.cosv = – 1 ⇔    = −= ∨    −= = 1vcos 1usin 1vcos 1usin Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. 15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg a. Dạng 1 :    =± =± )2(nyx )1(m)y(F)x(F . Dùng công thức đổi + thành nhân, thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :    =− =+ byx ayx b. Dạng 2 :    =± = nyx m)y(F).x(F . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +. c. Dạng 3 :    =± = nyx m)y(F/)x(F . Dùng tỉ lệ thức : db ca db ca d c b a − − = + + ⇔= biến đổi phương trình (1) rồi dùng công thức đổi + thành x. d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 16. Toán ∆ : * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π G v : TR*VĨNH SƯU TẦM & BIÊN SOẠN 10 [...]... * ∫ x (a + bx ) , (m + 1) / n ∈ Z : u = a + bx m n p/ q m + 1 p q n n ∫ x (a + bx ) , n + q ∈ Z : u x = a + bx m n p/ q n 1 ∫ dx /[(hx + k) ax + bx + c : hx + k = u ∫ R(x, (ax + b) /(cx + d) , R là hàm hữu tỷ : u = ∫ chứa (a + bx ) : thử đặt u = a + bx 2 k m/n n (ax + b) /(cx + d ) k Tích phân hàm số hữu tỷ : ∫ P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (∆ < 0)... dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : x+a→ A A A2 An , (x + a)n → 1 + + + 2 x+a x + a (x + a) (x + a)n ax 2 + bx + c(∆ < 0) → 5 q A(2ax + b) B dx   + 2 (∆ < 0) = ∫ du /(u2 + a2 ) : đặt u = atgt  ∫ 2 2 ax + bx + c ax + bx + c  ax + bx + c  Tính diện tích hình phẳng : G v : TR*VĨNH SƯU TẦM & BIÊN SOẠN 12 TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG a D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox),... I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 * * * * * * * * * (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = A 2 + B2 − C * (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R * Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) : (xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0 * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM)... M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : n = (A, B, C) hay 2 vtcp v , v' (P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0 n = [ v , v' ] (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có n = (A, B, C) (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ⇔ (P) : x/a + y/b + z/c = 1 * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0 d(M,(P)) = Ax o + By o + Cz o + D A 2 + B2 + C2 * (P) , (P/) tạo góc nhọn ϕ thì : cos ϕ = cos(n ( P ) , n ( P ') ) * (P) ⊥... pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB c có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải hệ dx + e c  y M = ax M + b + c    y M = ax M + b +  dx M + e dx M + e ⇔   c  xM , yM ∈ Z  xM , ∈Z   dx M + e  14 Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + c   y M = ax M + b + dx M + e ⇔   x M ∈ Z, dx M + e = ước số của c  15 Tìm min, max của hàm số y = f(x) Lập BBT, suy ra miền giá trò và min, max 16... / u u r cosϕ = ur uu nd nd / * d(M,(d)) = ur uu u u r ( ≠ cos( n ,n )) d d/ Ax M + By M + C A 2 + B2 * Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 là : Ax + By + C A 2 + B2 n d n d/ n d n d/ =± A / x + B/ y + C / A / 2 + B/ 2 > 0 : phân giác góc tù + , nhọn – < 0 : phân giác góc tù – , nhọn + * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm 3 Mặt phẳng trong không gian : * Xác đònh bởi... 2 + 2 c2 − a 2 * Trung tuyến : m a = 2 A 2 bc cos * Phân giác : ℓa = 2 b+c * S= 1 IV- TÍCH PHÂN Đònh nghóa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F Họ tất cả các nguyên hàm của f : ∫ f (x)dx = F(x) + C * α ∫ du = u + C ; ∫ u du = (C ∈ R) u +1 +C, α ≠ – 1 α +1 du u u u u ∫ u = ln u + C; ∫ e du = e + C; ∫ a du = a / ln a + C ∫ sin udu = − cos u + C ; ∫ cos udu = sin u +. .. a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2 * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R = A 2 + B2 + C2 − D * (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R * Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S) * Cho (S) : F(x, y, z) = 0 PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0 ⇔ M trong (S), > 0 ⇔ M ngoài (S) * Mặt đẳng phương của (S) và (S/) : 2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C... + b + * P1 (x) , tcx là y = ax Q( x ) + b Nếu Q = x – α, có thể chia Honer Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : y = ax + b + c (d≠0) dx + e • a ≠ 0, c ≠ 0: có tcđ, tcx • a = 0, c ≠ 0: có tcn, tcđ • c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc 4 Đồ thò các hàm thường gặp : a . các thừa số của Q : n n 2 21 n )ax( A )ax( A ax A )ax(, ax A ax + ++ + + + + + +       =+= <∆ ++ ++ + ++ + →< ++ ∫ ∫ atgtặt:)au/(du)0( cbxax dx cbxax B cbxax )bax2(A )0(cbxax 22 222 2 5 = ∫ π − π = 2/ 0 x 2 ặtthử: ∫ π −π= 0 xặtthử: e. ∫ += ++ nqq/pnm bxau:Zn/)1m(,)bxa(x f. ∫ += + + + nnqq/pnm bxaxu:Z q p n 1m ,)bxa(x g. u 1 khx:cbxax)khx/[(dx 2 =++ ++ ∫ h. ∫ ++ )dcx/()bax(,x(R , R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u ++ = i. ∫ chứa. bằng BBT : t ∈ R. d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x 2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT. e. (x + a) 4 + (x + b) 4 = c. Đặt : 2 ba xt + += , t ∈ R. 10. Hệ phương