Bài 13: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O.. Một đường thẳng qua A cắt OB tại MM nằm trên đoạn OB.Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I 1.. Bài 18: Cho O đư
Trang 1TÀI LIỆU ễN THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2010- 2011
Bài 1:Cho tam giỏc ABC nhọn cú ãACB BAC<ã Đường trũn tõm I nội tiếp tam giỏc ABC
tiếp xỳc với cỏc cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M, N, E; gọi K là giao điểm của BI
và NE
1 Chứng minh ã à
0 90 2
C AIB= +
2 Chứng minh năm điểm A, M, I, K, E cựng nằm trờn một đường trũn
3 Gọi T là giao điểm của BI và AC, chứng minh KT BN = KB ET
Baứi 2: Cho ∆ABC coự caực ủửụứng cao BD vaứ CE.ẹửụứng thaỳng DE caột ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực taùi hai ủieồm M vaứ N
1 Chửựng minh:BEDC là một tứ giỏc noọi tieỏp
2 Chửựng minh: ãDEA = ãACB
3 Chửựng minh: DE song song vụựi tieỏp tuyeỏn tai A cuỷa ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực
4 Goùi O laứ taõm ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực ABC.Chửựng minh: OA laứ phaõn giaực
của ãMAN
5 Chửựng toỷ: AM2=AE.AB
B
ài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 14 cm, BC = 50cm Đờng phân giác của gúc
gúc ABC và đờng trung trực của cạnh AC cắt nhau tại E
1 Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đợc trong một đờng tròn Xác định tâm O của
của đừng trũn này
2 Tính độ dài BE
3 Vẽ đờng kính EF của đờng tròn tâm (O) AE và BF cắt nhau tại P Chứng minh các đờng thẳng BE, PO, AF đồng quy
4 Tính diện tích phần hình tròn tâm (O) nằm ngoài ngũ giác ABFCE
Baứi 4:
Cho(O) ủửụứng kớnh AC.treõn ủoaùn OC laỏy ủieồm B vaứ veừ ủửụứng troứn taõm O’, ủửụứng kớnh BC.Goùi M laứ trung ủieồm cuỷa ủoaùn AB.Tửứ M veừ daõy cung DE vuoõng goực vụựi AB;DC caột ủửụứng troứn taõm O’ taùi I
1.Tửự giaực ADBE laứ hỡnh gỡ?
2.Chứng minh tứ giỏc DMBI noọi tieỏp
3 Chứng minh B;I;C thaỳng haứng vaứ MI=MD
4 Chứng minh MC.DB=MI.DC
5 Chứng minh MI laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (O’)
Baứi 5:
Cho ∆ABC coự goực A=1v.Treõn AC laỏy ủieồm M sao cho AM<MC.Veừ ủửụứng troứn taõm O
đường kớnh CM;ủửụứng thaỳng BM caột (O) taùi D;AD keựo daứi caột (O) taùi S
1.Chứng minh BADC noọi tieỏp
2.BC caột (O) ụỷ E Chứng minh MR laứ phaõn giaực cuỷa ãAED
3.Chứng minh CA laứ phaõn giaực cuỷa ãBCS
Bài 6
Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB = a Gọi Ax, By là cỏc tia vuụng gúc với AB
( Ax, By thuộc cựng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường trũn
(O) (M khỏc A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trũn (O); nú cắt Ax, By lần lượt ở
E và F.
1 Chứng minh: ã 0
EOF 90=
Trang 22 Chứng minh : Tứ giỏc AEMO nội tiếp ; hai tam giỏc MAB và OEF đồng dạng.
3 Gọi K là giao điểm của AF và BE, chứng minh MK ⊥AB
4 Khi MB = 3 MA, tớnh diện tớch tam giỏc KAB theo a
Baứi 7:
Cho ∆ABC coự goực A=1v.Treõn caùnh AC laỏy ủieồm M sao cho AM>MC.Dửùng ủửụứng troứn taõm O ủửụứng kớnh MC;ủửụứng troứn naứy caột BC taùi E.ẹửụứng thaỳng BM caột (O) taùi D vaứ ủửụứng thaỳng AD caột (O) taùi S
1 Chứng minh ADCB noọi tieỏp
2 Chứng minh ME laứ phaõn giaực cuỷa goực AED
3 Chứng minh ASMã =ãACD
4 Chửựng toỷ ME laứ phaõn giaực cuỷa goực AED
5 Chứng minh ba ủửụứng thaỳng BA;EM;CD ủoàng quy
Baứi 8:
Cho tam giaực ABC coự 3 goực nhoùn vaứ AB<AC noọi tieỏp trong ủửụứng troứn taõm O.Keỷ ủửụứng cao AD vaứ ủửụứng kớnh AA’.Goùi E:F theo thửự tửù laứ chaõn ủửụứng vuoõng goực keỷ tửứ B vaứ
C xuoỏng ủửụứng kớnh AA’
1 Chứng minh AEDB noọi tieỏp
2 Chứng minh DB.A’A=AD.A’C
3 Chứng minh DE⊥AC
4 Goùi M laứ trung ủieồm BC.Chửựng minh MD=ME=MF
Baứi 9:
Cho ∆ABC coự ba goực nhoùn noọi tieỏp trong ủửụứng troứn taõm O.Goùi M laứ moọt ủieồm baỏt kyứ treõn cung nhoỷ AC.Goùi E vaứ F laàn lửụùt laứ chaõn caực ủửụứng vuoõng goực keỷ tửứ M ủeỏn BC vaứ AC.P laứ trung ủieồm AB;Q laứ trung ủieồm FE
1/Chứng minh MFEC noọi tieỏp
2/Chứng minh BM.EF=BA.EM
3/ Chứng minh ∆AMP ∆FMQ
4/Chứng minh ãPQM =90o
Bài 10
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm Vẽ về cùng một
nửa mặt phẳng bờ là AB các nửa đường tròn đường kính theo thứ tự là AB , AC , CB có tâm lần lượt là O , I , K Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) ở E Gọi M , N theo thứ tự là giao điểm của EA , EB với các nửa đường tròn (I) , (K) Chứng minh :
1 EC = MN
2 MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I) và (K)
3 Tính độ dài MN
4 Tính diện tích hình giới hạn bởi ba nửa đường tròn
Baứi 11:
Cho (O) ủửụứng kớnh BC,ủieồm A naốm treõn cung BC.Treõn tia AC laỏy ủieồm D sao cho AB=AD.Dửùng hỡnh vuoõng ABED;AE caột (O) taùi ủieồm thửự hai F;Tieỏp tuyeỏn taùi B caột ủửụứng thaỳng DE taùi G
1 Chứng minh BGDC noọi tieỏp.Xaực ủũnh taõm I cuỷa ủửụứng troứn naứy
2 Chứng minh ∆BFC vuoõng caõn vaứ F laứ taõm ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp ∆BCD
Trang 33 Chứng minh GEFB noọi tieỏp.
4 Chửựng toỷ:C;F;G thaỳng haứng vaứ G cuừng naốm treõn ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp ∆BCD.Coự nhaọn xeựt gỡ veà I vaứ F
Baứi 12:
Cho ∆ABC coự 3 goực nhoùn noọi tieỏp trong (O).Tieỏp tuyeỏn taùi B vaứ C cuỷa ủửụứng troứn caột nhau taùi D.Tửứ D keỷ ủửụứng thaỳng song song vụựi AB,ủửụứng naứy caột ủửụứng troứn ụỷ E vaứ F,caột AC ụỷ I(E naốm treõn cung nhoỷ BC)
1 Chứng minh BDCO noọi tieỏp
2 Chứng minh : DC2=DE.DF
3 Chứng minh DOIC noọi tieỏp
4 Chửựng toỷ I laứ trung ủieồm FE
Bài 13:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ
MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC
1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh AMB HMKã =ã
3) Chứng minh ∆ AMB đồng dạng với ∆ HMK
Baứi 14:
Cho (O),daõy cung AB.Tửứ ủieồm M baỏt kyứ treõn cung AB(M≠A vaứ M≠B),keỷ daõy cung
MN vuoõng goực vụựi AB taùi H.Goùi MQ laứ ủửụứng cao cuỷa tam giaực MAN
1 Chứng minh 4 ủieồm A;M;H;Q cuứng naốm treõn moọt ủửụứng troứn
2 Chứng minh :NQ.NA=NH.NM
3 Chứng minh MN laứ phaõn giaực cuỷa ãBMQ
4 Haù ủoaùn thaỳng MP vuoõng goực vụựi BN;xaực ủũnh vũ trớ cuỷa M treõn cung AB ủeồ MQ.AN+MP.BN coự giaực trũ lụựn nhaỏt
Baứi 15:
Cho (O;R) vaứ (I;r) tieỏp xuực ngoaứi taùi A (R> r) Dửùng tieỏp tuyeỏn chung ngoaứi BC (B naốm treõn ủửụứng troứn taõm O vaứ C naốm treõn ủử ụứng troứn taõm (I).Tieỏp tuyeỏn BC caột tieỏp tuyeỏn taùi A cuỷa hai ủửụứng troứn ụỷ E
1/ Chửựng minh tam giaực ABC vuoõng ụỷ A
2/ O E caột AB ụỷ N ; IE caột AC taùi F Chửựng minh N;E;F;A cuứng naốm treõn moọt ủửụứng troứn
3/ Chửựng toỷ : BC2= 4 Rr
4/ Tớnh dieọn tớch tửự giaực BCIO theo R;r
Bài 16:
Cho đường trũn (O;R) đường kớnh AB và dõy CD vuụng gúc với nhau ( CA < CB) Hai tia BC và DA cắt nhau tại E Từ E kẻ EH vuụng gúc với AB tại H; EH cắt CA ở
F Chứng minh rằng:
1 Tứ giỏc CDFE nội tiếp
2 Ba điểm B, D, F thẳng hàng
3 HC là tiếp tuyến của đường trũn (O)
Baứi 17:
Trang 4Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB Một đường thẳng qua A cắt OB tại M(M nằm trên đoạn OB).Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I
1 Chứng minh OMHI nội tiếp
2 Tính góc ·OMI
3 Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K.Chứng minh OK=KH
4 Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB
Bài 18:
Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F.Trên cung BC lấy điểm M.Nối A với M cắt CD tại E
1 Chứng minh AM là phân giác của góc CMD
2 Chứng minh EFBM nội tiếp
3 Chứng tỏ: AC2=AE.AM
4 Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I.C/m NI//CD
5 Chứng minh N là tâm đường trịn nội tiếp ∆CIM
Bài 19 :
Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn.Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE.Gọi H là trung điểm DE
1 Chứng minh A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn
2 Chứng minh HA là phân giác của góc BHC
3 Gọi I là giao điểm của BC và DE Chứng minh AB2=AI.AH
4 BH cắt (O) ở K Chứng minh AE//CK
Bài 20:
Cho (O) đường kính AB=2R;xy là tiếp tuyến với (O) tại B CD là 1 đường kính bất kỳ.Gọi giao điểm của AC;AD với xy theo thứ tự là M;N
1 Chứng minh MCDN là tứ giác nội tiếp
2 Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN
3 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm
MN.Chứng minh AOIH là hình bình hành
4 Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào?
Bài 21:
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC.Gọi H là hình chiếu của D lên tiếp tuyến Ax của (O)
1 Chứng minh AHED là tứ giác nội tiếp
2 Gọi giao điểm của AH với HB và với (O) là P và Q;ED cắt (O) tại M Chứng minh HA.DP=PA.DE
3 Chứng minh :QM=AB
4 Chứng minh DE.DG=DF.DH
5 Chứng minh ba điểm E;F;G thẳng hàng
Bài 22:
Trang 5Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IK⊥BC(K nằm trên BC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA=AK
1 Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O
2 Chứng minh ·BMC=2·ACB
3 Chứng tỏ BC2=2AC.KC
4 AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.Chứng minh AC=BN
5 Chứng minh NMIC là tứ giác nội tiếp
Bài 23:
Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động trên nửa đường tròn.Tia phân giác của ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K là hình chiếu của M lên AC và AB
1 Chứng minh MOBK là một tứ giác nội tiếp
2 Tứ giác CKMH là hình vuông
3 Chứng minh H;O;K thẳng hàng
4 Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy trên đường nào?
Bài 24:
Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=2a,chiều rộng BC=a.Kẻ tia phân giác của góc ACD,từ A hạ AH vuông góc với đường phân giác nói trên
1/Chứng minh AHDC nội tiếp trong đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a
2/HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N.Chứng tỏ HB=HC,
và AB.AC=BH.BI
3/Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O)
4/Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J.Chứng minh tứ giác HOKD nội tiếp
Bài 25
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OC⊥AB.Gọi M là 1 điểm trên cung BC.Kẻ đường cao CH của tam giác ACM
1 Chứng minh tứ giác AOHC nội tiếp
2 Chứng tỏ ∆CHM vuông cân và OH là phân giác của ·COM
3 Gọi giao điểm của OH với BC là I.MI cắt (O) tại D
Chứng minh CDBM là hình thang cân
4 BM cắt OH tại N.Chứng minh ∆BNI và ∆AMC đồng dạng,từ đó suy ra:
BN.MC=IN.MA
Bài 26:
Cho ∆ đều ABC nội tiếp trong (O;R).Trên cnạh AB và AC lấy hai điểm M;N sao cho BM=AN
1 Chứng tỏ ∆OMN cân
2 Chứng minh tứ giác OMAN nội tiếp
3 BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E Chứng minh BC2+DC2=3R2
4 Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I;AO kéo dài cắt BC tại J.Chứng minh BI đi qua trung điểm của AJ
Trang 6Bài 27:
Cho ∆ABC vuơng ở A nội tiếp trong đường tròn tâm (O).Gọi M là trung điểm cạnh AC.Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D
1 C/m ABNM nội tiếp và CN.AB=AC.MN
2 Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I)
3 Tia IO cắt đường thẳng AB tại E Chứng minh BMOE là hình bình hành
4 Chứng minh NM là phân giác của ·AND
Bài 28:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC.Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M
1 Chứng minh INCQ là hình vuông
2 Chứng tỏ NQ//DB
3 BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F.Chứng minh MFIN nội tiếp được trong đường tròn.Xác định tâm
4 ûChứng minh tứ giác MPQN nội tiếp.Tính diện tích của nó theo a
5 Chứng minh MFIE nội tiếp
Bài 29:
Cho hình vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN.(O) cắt AC tại E.BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I
1 C/m MDNE nội tiếp
2 Chứng minh ∆BEN vuông cân
3 Chứng minh MF đi qua trực tâm H của ∆BMN
4 Chứng minh BI=BC và ∆IE F vuông
5 Chứng minh ∆FIE là tam giác vuông
Bài 30:
Cho ∆ABC có 3 góc nhọn(AB<AC).Vẽ đường cao AH.Từ H kẻ HK;HM lần lượt vuông góc với AB;AC.Gọi J là giao điểm của AH và MK
1 Chứng minh AMHK nội tiếp
2 Chứng minh JA.JH=JK.JM
3 Từ C kẻ tia Cx⊥với AC và Cx cắt AH kéo dài ở D.Vẽ HI;HN lần lượt vuông góc với DB và DC Chứng minh : ·HKM =HCN·
4 Chứng minh M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn