Các bài toán ôn thi vào lớp 10 PTTH

Do đó tứ giác IDEF là tứ giác nội tiếp góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện, suy ra IDF =IEF c Chứng minh tamg giác KAF vuông cân.. d Chứng minh I là trung điểm của KF ABI = ABCD là h

CÁC BÀI TOÁN ÔN THI HKII VÀ THI VÀO LỚP 10

Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Vẽ đường kính AC và AD của (O) và

(O’) Tia CA cắt đường tròn (O’) tại F, tia DA cắt đường tròn (O) tại E CE và DF cắt nhau tại M

a) Chứng minh: EFC =EDC

b) Chứng minh tứ giác EOO’F nội tiếp

c) Qua A kẻ đường thẳng song song với OO’ cắt CE và DF lần lượt tại M và K Chứng minh HEFK nội tiếp

d) Gọi I là trung điểm CD và N là điểm đối xứng của A qua I Chứng minh N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD

Suy ra: CED=CFD(=900)

⇒ Tứ giác CEFD nội tiếp (2 đỉnh kề cùng

nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)

⇒ = (2 góc nội tiếp cùng chắn

cung EC của đt (CEFD)) @

b) Chứng minh OEFO’ nội tiếp

Ta có:

+ O là trung điểm của AC (AC là đk của (O))

+ O’ là trung điểm của AD (AD là đk của (O’))

Suy ra OO’ là đường trung bình của tam giác ACD

//

Mà EFC =EDC cmt( ), nên EO O EDC′ =

Suy ra tứ giác OEFO’ nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối diện) @

c) Chứng minh tg HEFK nội tiếp

Vì HK // OO’(gt) và OO’ //CD (cmt) nên KH // CD, suy ra EHK =ECD (1) (đồng vị)

Tứ giác EFDC nội tiếp (cmt) ta có: 180o

Từ (1) và (2), suy ra: 180o

EHK +EFK = ⇒ tứ giác EFKH nội tiếp (hai góc đối bù nhau) @

d) Chứng minh N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD

Vì N là điểm đối xứng của A qua I nên I là trung điểm của AN

Tứ giác ADNC có hai đường chéo AN và CD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên là hình bình hành Suy ra ND // CA và NC // AD

a) Chứng minh AD AB = AE AC

b) Chứng minh I là trung điểm của DE

c) AM cắt DE tại K Chứng minh IKMH nội tiếp

a) Chứng minh AD AB = AE AC

Ta có tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn (O) nên

ADE = ACB

Xét ADEΔ và ACBΔ có:

+ ADE= ACB cmt( )

Suy ra ADI =DAI ⇒ tam giác ADI cân tại I Suy ra ID = IA.(1)

Chứng minh tương tự ta cũng có IE = IA (2)

Từ (1) và (2) suy ra ID = IE hay I là trung điểm của DE

c) Chứng minh tứ giác IKMH nội tiếp

Ta có MA = MC ( A, C thuộc (M)) suy ra tam giác MAC cân tại M ⇒ MAC= ACM

Vẽ đường kính CF của đường tròn (O), khi đó ta có 90o

FBC= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Trong tam giác vuông BCF ta có: sin 3 3 60

Vậy diện tích tam giác ADE lớn nhất bằng 1 2

4R khi A là điểm chính giữa cung BC của đường

tròn (M)

Bài 3: Cho hình vuông ABCD cố định E là điểm di động trên cạnh CD ( khác C và D) Tia AE cắt

đường thẳng BC tại F Tia Ax vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng DC tại K BD cắt KF tại I

a) Chứng minh: CAF CKF=

b) Chứng minh: IDF =IEF

c) Chứng minh tamg giác KAF vuông cân

d) Chứng minh I là trung điểm của KF

e) Gọi M là giao điểm của BD và AE Chứng minh IMCF nội tiếp

f) Chứng minh khi điểm E thay đổi trên cạnh CD thì tỉ số ID

suy ra ( 90o)

KAF =KCF = ⇒ tứ giác ACFK là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)

Do đó: CKF CAF=

b) Chứng minh: IDF =IEF

Tứ giác ACKF nội tiếp nên ta có: AFK =ACK mà 45 ,o 45o

ACK = BDC= (ABCD là hình vuông) suy ra: ( 45o)

AFK =BDC = Do đó tứ giác IDEF là tứ giác nội tiếp (góc ngoài bằng góc

trong đỉnh đối diện), suy ra IDF =IEF

c) Chứng minh tamg giác KAF vuông cân

Tam giác AKF vuộng tại A (gt) có 45o 45o

AFK = ⇒ AKF = nên là tam giác vuông cân tại A

d) Chứng minh I là trung điểm của KF

ABI = (ABCD là hình vuông)

Suy ra ABFI là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)

Khi đó: 180o 180o 180o 90o 90o

Tam giác AKF cân có AI là đường cao nên cũng là trung tuyến, suy ra I là trung điểm của KF

e) Chứng minh IMCF nội tiếp

Xét tam giác BAM và tam giác BCM có:

+ AB = BC (ABCD là hình vuông)

+ ABM =CBM (ABCD là hình vuông)

+ BM chung

Suy ra ΔBAM = ΔBCM c g c( ) BAM =BCM

Mà BAM =BIF (ABFI nội tiếp)

45 180 135

+ AID= AFC (ABFI nội tiếp)

Suy ra ADI ~ ACF g g( ) DI AD

Bài 4: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C

là hai tiếp điểm) Vẽ CD⊥AB tại D cắt (O) tại E Vẽ EF ⊥BC tại F và EH ⊥ AC tại H Gọi M

là giao điểm của DF và BE, N là giao điểm của HF và CE

a) Chứng minh tứ giác EFCH, EGBD nội tiếp

180

o o

b) Chứng minh EF2 =ED EH.

Ta có:

+ EFH =ECH (1) (Tứ giác EFCH nội tiếp)

+ EDF =EBF (2) (Tứ giác EFBD nội tiếp)

+ ECH =EBF (3) (Góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

Từ (1), (2) và (3) ta có: EFH =EDF(=EFH =EDF)

Chứng minh tương tự ta cũng có: EFD=EHF(=ECF =EBD)

Xét tam giác EHF và tam giác EFD ta có:

( ) ( )

cmtcmt

Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB Vẽ đường kính CD ( không vuông góc với AB) AC

và AD cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại M và N Gọi I là trung điểm AD

a) Chứng minh tứ giác OINB nội tiếp

b) Chứng minh AI AN =2R2

c) Chứng minh CDM =CNM

d) Gọi K là trung điểm MN Chứng minh AK ⊥CD

e) Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Tính KF theo R Suy ra F luôn thuộc một đường thẳng cố định khi đường kính CD thay đổi

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh tứ giác OINB nội tiếp

Ta có I là trung điểm dây cung AD, suy ra

OI ⊥ AD (liên hệ giữa đk và dây cung)

ACB= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra: ABC CMN= (cùng phụ với CBM )

Mà ABC =ADC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Tam giác AMN vuông tại A ( 90o

MAN = ) có AK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra AOFK là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song), suy ra FK = AO = R

Vì KF ⊥MH (tại K) và FK = R nên F thuộc đường thẳng d song song với MN và cách MN một khoảng R (d khác phía A đối với đt MN)

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC), đường cao AH Vẽ đường tròn tâm B bán

kính BA cắt AH tại D

a) Chứng minh BC là trung trực AD Suy ra CD là tiếp tuyến của (B)

b) Gọi I là điểm đối xứng của B qua AH Đường thẳng AI cắt CD tại E Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp

c) Gọi F là hình chiếu của A lên BD Chứng minh BD DF = DE DC Suy ra CEBF là tứ giác nội tiếp

d) Cho AB = a, AC = 2a Tính diện tích tam giác DEH theo a

đường cao nên cũng là đường trung trực của AD Do đó BC là đường trung trực của AD

⎪⎩ suy ra CD là tiếp tuyến của đường tròn (B)

b) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp

Xét tứ giác ABDI có:

+ H là trung điểm của AD

+ I là trung điểm của BI (I đối xứng với B qua H)

Suy ra tứ giác BECD nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối diện)

d) Tính diện tích tam giác DEH theo a

Xét tam giác DHE và DCA có :

a DH

Bài 7: Cho hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc ngoài nhau tại A Một đường thẳng d quay quanh A

(d khác đường thẳng IO) cắt (O) và (I) tại B và C

a) Chứng minh OB // IC

b) Vẽ đường kính BD và CE của (O) và (I) Chứng minh A, D, E thẳng hàng

c) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (I) cắt BD tại F Chứng minh tứ giác DACF nội tiếp Xác định tậm K của đường tròn

d) Khi d quay quanh A thì K di động trên đường nào

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh OB // IC

Ta có OA = OB (A, B thuộc (O)) suy ra tam giác OAB cân tại O ⇒OBA=OAB

Ta có IC = ID (C, D thuộc (I)) suy ra tam giác ICD cân tại I ⇒ ICA=IAC

Mà OAB IAC= (đối đỉnh)

Dó đó: OBA ICA= mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên OB //IC

c) Chứng minh tứ giác DACF nội tiếp

Ta có IC⊥CF (CF là tiếp tuyến của (I)) mà IC // OF (cmt) suy ra

Vì 90o

DFC= nên DC chính là đường kính của (DFCA) suy ra tâm K của đường tròn

ngoại tiếp tứ giác DFCA là trung điểm của CD

d) Khi d quay quanh A thì K di động trên đường nào

Xét tam giác ODK và tam giác OAK có:

Từ đó ta có: 1( ) 1

90

o

Do đó K thuộc đường tròn đường kính OI

Bài 8: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho ) OA = 3R Từ A vẽ

hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm

a) Chứng minh tứ giác OBAC là một tứ giác nội tiếp

b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn (O) tại điểm D khác B Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E khác D Chứng minh AB2 = AE AD

c) Chứng minh: BC CE = AC BE (X)

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC theo R

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh tứ giác OBAC là một tứ giác nội tiếp

Ta có OB⊥ AB OC, ⊥ AC (AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O))

Ta có ECB BDA= (góc nội tiếp cùng chắn cung BE)

Và EAC BDA= (so le trong)

Suy ra EAC =ECB

Xét tam giác ACE và tam giác CBE có:

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC theo R

Gọi K là giao điểm của CO và BD, H là giao điểm của OA và BC

Ta có BD // AC và BD//AC OC AC, ⊥ ⇒CO⊥BD tại K, do đó CK là khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC Ta đi tính CK

Vì AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) nên ta có OA vuông góc với BC tại H và H là trung điểm BC Tam giác ABO vuông tại B có:

c) Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) tại M và N, cắt đường thẳng BC tại F (D nằm giữa E

và M) Chứng minh FE FD = FN.FM

d) Cho 60o

BAC= Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo R

Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp được đường tròn

Xét tứ giác BEDC có: BEC =BDC (90o vì CE và BD là hai đường cao của tam giác ABC)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)

b) Chứng minh OA⊥ DE

Vẽ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O)

Khi đó ta có: xAB= ACB (góc giữa tia tiếp tuyến

và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó)

Mặt khác AED= ACB (BEDC nội tiếp)

Do đó xAB= AED mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên Ax//ED

Hơn nữa OA⊥ Ax (Ax là tiếp tuyến của (O))

Suy ra hình tròn ngoại tam giác BHC cũng là hình tròn ngoại tiếp tam giác BOC

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp (BHOC)

Ta có IO = IB = IC suy ra ΔIBO= ΔICO c c c( )⇒IOB =IOC

Tam giác BIO cân tại I có góc 60o

IOB= nên là tam giác đều.Suy ra IB = OB = R

Vậy diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng: ( ) 2 2

I

S =πIB =πR

Bài 10: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao BE và CF cắt

nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp được đường tròn Xác định tâm I của đường tròn đó

b) Hai tia BE và CF cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và D Chứng minh OA⊥ NM và EF //MN

c) Gọi D là điểm đối xứng của H qua I chứng minh D thuộc đường tròn (O)

d) Chứng minh diện tích tam giác AHI bằng hai lần diện tích tam giác AOI

Ta có 90o

BEC = nên suy ra BC chính là đường kính của (BFCE), do đó tâm I của đường tròn này chính là trung điểm của BC

b) Chứng minh OA⊥ NM và EF //MN

Vẽ tia tiếp tuyến Ax của (O)suy ra OA⊥ Ax

và xAN = ACN (1)(góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó)

Ta có ANM = ABM (góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

Và ABM = ACN (góc nội tiếp cùng chắn cung EF của (BFEC))

Suy ra ANM = ACN(2)

Từ (1) và (2) ta có xAN =ANM mà hai góc này ở vị trí so le trong nên Ax // MN, hơn nữa

OA⊥ Ax nên suy ra OA⊥MN

Ta có MNC MBC= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Và EFC MBC= (tứ giác BFEC nội tiếp)

Suy ra MNC EFC= mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ta có MN//EF

c) Chứng minh D thuộc đường tròn (O)

Tứ giác HCDB có I là trung điểm của BC (cmt) và I cũng là trung điễm của HD (D là điểm đối xứng của H qua I) nên HCDB là hình bình hành Do đó: CD //BH và BD //CE

Suy ra ACD= AEB (đồng vị)

= 90o

Và ABD=AFC (đồng vị )

= 90o

Tứ giác ABDC có 90o 900 1800

ABD+ACD= + = nên là tứ giác nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

Do đó D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay D thuộc (O)

d) Chứng minh diện tích tam giác AHI bằng hai lần diện tích tam giác AOI

a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn

b) Chứng minh AE AB = AD AC

c) Vẽ phân giác của BAC cắt BC tại F, cắt (O) tại M Chứng minh AH // OM

d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt đường thẳng BC tại K Chứng minh: 2

KF =KB KC e) Đường thẳng DE cắt KC tại N Chứng minh CN AK = CK.ND

Tứ giác BEDC có BEC =BDC (BD

và CE là hai đường cao của tam giác ABC) nên là tứ giác nội tiếp(hai đĩnh

kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)

Ta có 90o

BEC= nên suy ra BC chính

là đường kính của (BEDE), do đó tâm I của đường tròn này chính là trung điểm của BC

b) Chứng minh AE AB = AD AC

Hơn nữa ta có OB = OC Do đó OM là đường trung trực của BC, suy ra OM ⊥BC (1)

Vì H là giao điểm của hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm của tam giác ABC, suy ra

AH cũng là đường cao của tam giác ABC, do đó: AH ⊥BC (2)

+ KAB KCA= (Góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung BC) Suy ra: KAB~ KCA g g( ) KA KB KA2 KB KC.

AOB= ACB= (góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Suy ra tam giác AOB vuông cân tại O ⇒ AB2 =OA2+OB2 =2R2 ⇒ AB=R 2

Tam giác ADB vuông cân tại D nên ta có:

Bài 12: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C là điểm chính giữa cung AB, M là điểm di

động trên cung BC AM cắt BC tại K Vẽ CI vuông góc với AM tại I cắt AB tại D

a) Chứng minh tứ gíc ACIO nội tiêp Suy ra số đo góc OID

b) Chứng minh OI là tia phân giác của góc COM

c) Chứng minh hai tam giác CIO và CMB đồng dạng Tính tỉ số: OI

MB

d) Khi M là điểm chính giữa cung BC Tính diện tích tứ giác ACIO theo R

e) Nếu K là trung điểm của BC Tính AM

BM

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh tứ gíc ACIO nội tiếp

Ta có AC =BC( )gt suy ra CA = CB, do đó tam giác ACB cân tại C Mặt khác có CO là trung tuyến nên cũng là đường cao, suy ra 90o

Xét tứ giác ACIO có ( 90o)

COA=CIA = nên là tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh kể cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông)

Suy ra OID CAO=

Ta giác OAC có OC = OA và 90o

COA= nên là tam giác vuông cân, suy ra 45o

Vậy 45o

b) Chứng minh OI là tia phân giác của góc COM

Ta có: COI CAI= (tứ giác ACIO nội tiếp)

COI = COM , do đó OI là phân giác của góc COM

c) Chứng minh hai tam giác CIO và CMB đồng dạng Tính tỉ số: OI

MB

Ta có CBM =CAM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CM)

Và CAI COI= (ACIO nội tiếp)

Suy ra CBM =COI

Chứng minh tương tự ta có: BCM =OCI

Xét CIOΔ và CBMΔ có:

( ) ( )

cmtcmt

Gọi H là trung điểm của OM và BC Ta có MB = MC, OB = OC suy ra OM là đường trung

trực của BC Khi đó OM ⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

AMB= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác MABΔ và OAGΔ có:

Bài 13: Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC

với đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh OA vuông góc với BC

b) Vẽ cát tuyến AMN của đường tròn (O) (M nằm giữa A và N) Gọi E là trung điểm của NM Chứng minh 4 điểm A, O, E, C cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm K của đường tròn

đó

c) Tia CE cắt (O) tại I Chứng minh BI // MN

d) Tìm vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh OA vuông góc với BC

Ta có OB = OC (B, C thuộc (O)) và AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), suy ra OA là

đường trung trực của BC, do đó OA⊥BC

b) Chứng minh 4 điểm A, O, E, C cùng thuộc một đường tròn

Vì E là trung điểm của MN nên OE ⊥MN (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

ABO= ( AB là tiếp tuyến của (O)) do đó B cũng thuộc đường tròn đường kính AO

Từ đó ta có ABC = (góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (K))

Mặt khác ABC =BIC (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Do đó BIE= AEC, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ta có BI//AN

d) Tìm vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất

Vẽ BE, IF vuông góc với AN Khi đó ta có BIFE là hình chữ nhật, suy ra BE = IF

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi N ≡ N ′

Vậy khi AN ≡ AN ′ thì diện tích tam giác AIN đạt giá trị lớn nhất

Bài 14: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Đường cao BE của

tam giác kéo dài cắt đường tròn (O) tại K Kẻ KD vuông góc với BC tại D

a) Chứng minh 4 điểm K, E, D, C cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm của đường tròn b) Chứng minh KB là phân giác của góc AKD

c) Tia DE cắt đường thẳng AB tại I Chứng minh KI ⊥ AB

d) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA, đường thẳng này cắt AB tại H Chứng minh CH // KI

a) Chứng minh 4 điểm K, E, D, C cùng thuộc một đường tròn

Hơn nữa 90o

KEC = nên CK là đường kính