Tài liệu ôn tập toán lớp 10 ptth

Chun Đề 1: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT I. Các ký hiệu: • A, B, C: là các góc đỉnh A, B, C • a, b, c : là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C • h a , h b , h c : là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C • m a , m b , m c : là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C • l a , l b , l c : là độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A, B, C • R : là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC • r : là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC • p = 2 1 (a+b+c) : là nửa chu vi tam giác ABC • S : là diện tích tam giác ABC c a b m a l a h a H D M B A C II. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông : Trong tam giác vuông ABC . Gọi b ' , c ' là độ dài các hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền ta có các hệ thức:    == ==    == == = += = += == gBbtgCbc gCctgBcb BaCac CaBab cbha cbh cbh cba cabab cot cot .7 cos.sin. cos.sin. .6 .5 111 .4 . .3 .2 .c & . .1 222 ''2 222 '2'2 c b a h c' b' H A B C II. Các hệ thức lượng trong tam giác thường 1. Đònh lý hàm số CÔSIN: Trong tam giác ABC ta luôn có : Cabbac Bcaacb Abccba cos2 cos2 cos2 222 222 222 −+= −+= −+= c b a A B C Ghi nhớ: Trong một tam giác, bình phương mỗi cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ đi hai lần tích hai cạnh ấy với côsin của góc xen giữa chúng. Hệ quả: Trong tam giác ABC ta luôn có : bc acb A 2 cos 222 −+ = , ac bca B 2 cos 222 −+ = , ab cba C 2 cos 222 −+ = 2. Đònh lý hàm số SIN: Trong tam giác ABC ta có : R C c B b A a 2 sinsinsin === Hệ quả: Với mọi tam giác ABC, ta có: CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 === c a b O A B C Ghi nhớ: Trong một tam giác, tỷ số giữa một cạnh của tam giác và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. 3. Đònh lý về đường trung tuyến: Trong tam giác ABC ta có : 42 42 42 222 2 222 2 222 2 cba m bca m acb m c b a − + = − + = − + = 4. Đònh lý về diện tích tam giác: Diện tích tam giác ABC được tính theo các công thức sau: c a b m a M B A C ))()(( .5 .4 4 .3 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 .2 2 1 2 1 2 1 .1 cpbpappS prS R abc S AbcBacAabS chbhahS cba −−−= = = === === c a b h a H B A C B. BÀI TẬP Dạng 1: Tính một số yếu tố trong tam giác theo một số yếu tố cho trước 1. Phương pháp: * Sử dụng trực tiếp định lí Cosin và định lí Sin * Chọn các hệ thức lượng thích hợp đối với tam giác để tính một số yếu tố cần thiết. 2. Bài tập Bài 1:Cho tam giác ABC có b = 7cm , c = 5cm và Cos A = 0,6. a) Tính a, Sin A, diện tích của tam giác ABC. b) Tính đường cao h a xuất phát từ đỉnh A và kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Giải a) Theo định lí Cosin ta có: )(2432326,0.5.7.257cos2 22222 cmaAbccba ==⇒=−+=−+= . Mặt khác vì Sin 2 A = 1 – Cos 2 A = 5 4 25 16 25 9 1 =⇒=− SinA )(14 5 4 .5.7. 2 1 2 1 2 cmSinAcbS ===⇒ b) Từ )( 2 27 24 28.22 . 2 1 cm a S hhaS aa ===⇒= . Theo định lí Sin thì: )( 2 25 5 4 .2 24 2 2 cm SinA a RR SinA a ===⇒= Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 21cm, BC = 17cm , CA = 10cm. a) Tính góc A =? b) Tính diện tích tam giác và chiều cao của h a c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác. d) Tính độ dài đường trung tuyến m a phát xuất từ đỉnh A của tam giác. e) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác. Giải a) Tính góc A =? Theo hệ quả của định lí Cosin ta có: 6,0 21.10.2 172110 2 cos 222222 = −+ = −+ = bc acb A b) Ta có: )(24 2 101721 2 cm cba p = ++ = ++ = Theo công thức hê rông ta có: )(84)1024)(1724)(1224(24 2 cmS =−−−= Do đó: )(8 21 84.22 . 2 1 cm a S hhaS aa ===⇒= c) Ta có S = p.r  5,3 24 84 === p S r d) Độ dài đường trung tuyến m a được tính theo công thức: 18,925,84 25,84 4 337 4 21 2 1017 42 222222 2 ≈=⇒ ==− + =− + = a a m acb m e) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác Ta có: R abc S 4 =  625,10 84.4 10.17.21 4 === S abc R Dạng 2: Giải tam giác 1. Phương pháp. Sử dụng các định lí Cosin, định lí Sin, định lí tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180 0 , nếu là tam giác vuông thì có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác. 2. Bài tập Bài tập Giải tam giác biết a) b = 14 ; c = 10 ; 0 145 ˆ =A b) a = 4 ; b = 5 ; c = 7 Giải a) Ta có: Abccba cos2 222 −+= 022 145cos10.14.21014 −+= 23 35,525)8191,0.(280100196 2 ≈ ≈−−+≈ a a '3414)'2620145(180) ˆ ˆ (180 ˆ '2620 ˆ 34913,0 23 145.14. 0000 0 ≈+−≈+−= =⇒≈==⇒= BAC B Sin a SinAb SinB SinB b SinA a b) '334 ˆ 8286,0 70 58 7.5.2 475 2 cos 0 222222 ≈⇒≈= −+ = −+ = A bc acb A '32101)2544'334(180) ˆ ˆ (180 ˆ '2544 ˆ 71428,0 56 40 7.4.2 574 2 cos 00000 0 222222 ≈+−≈+−= ≈⇒≈= −+ = −+ = BAC B ac bca B C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Cho tam giác ABC có góc A =60 0 , cạnh CA = 8, cạnh AB = 5 1.Tính cạnh BC 2.Tính diện tích tam giác 3.Tính độ dài đường cao AH 4.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài 2: Cho tam giác ABC có a = 13 ; b = 14 ; c = 15 1.Tính diện tích tam giác ABC 2.Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R 3.Tính độ dài đường trung tuyến m a Bài 3: Cho tam giác ABC có a = 3 ; b = 4 và góc C = 60 0 ; Tính các góc A, B, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và trung tuyến m a . Chun đề 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT I. Vec tơ chỉ phương – vec tơ pháp tuyến của đường thẳng 1) Vec tơ pháp tuyến: Vec tơ 0n ≠ r r được gọi là vec tơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng ∆ nếu nó có giá vng góc với đường thẳng ∆ . 2) Vec tơ chỉ phương: Vec tơ 0u ≠ r r được gọi là vec tơ chỉ phương ( vtcp) của đường thẳng ∆ nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ . * Chú ý - Nếu ;n u r r là vec tơ pháp tuyến và chỉ phương của đường thẳng ∆ thì 0k∀ ≠ các vec tơ ;kn ku r r cũng đồng thời là vec tơ pháp tuyến, vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ . - Nếu ( ; )n a b= r là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì ∆ có các vec tơ chỉ phương là: ( ; )u b a= − r hoặc ( ; )u b a= − r . - Nếu 1 2 ( ; )u u u= r là vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì đường thẳng ∆ có vec tơ pháp tuyến 2 1 ( ; )n u u= − r hoặc 2 1 ( ; )n u u= − r . II. Phương trình tổng quát của đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua );( 000 yxM và có vec tơ pháp tuyến là );( ban = r . Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ được cho bởi công thức: 0)()( 00 =−+− yybxxa (1). ( .0 22 ≠+ ba ) III. Phương trình tham số của đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua );( 000 yxM và có vec tơ chỉ phương là: );( 21 uuu = r . Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ được cho bởi công thức:    += += tuyy tuxx 20 10 (2) . ( .Rt ∈ ) * Chú ý: - Nếu đường thẳng ∆ có hệ số góc k thì vec tơ chỉ phương của ∆ là );1( ku = r - Nếu đường thẳng ∆ có vec tơ chỉ phương là 1 2 ( ; )u u u= r với 0 1 ≠u thì ∆ có hệ số góc là: 1 2 u u k = . IV. Chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham số 1. Nếu đường thẳng ∆ có phương trình dạng (1) thì );( ban = ∆ r . Từ đó đường thẳng ∆ có vtcp là );( abu −= ∆ r hoặc );( abu −= ∆ r . Cho 0 xx = thay vào phương trình (2) . 0 yy =⇒ Khi đó ptts của ∆ là:    −= += atyy btxx 0 0 ( Rt ∈ ). 2. Nếu đường thẳng ∆ có phương trình dạng (2) thì ∆ có vtcp là );( 21 uuu = ∆ r . Từ đó đường thẳng ∆ có vtpt là );( 12 uun −= ∆ r hoặc );( 12 uun −= ∆ r . Và phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ được xác định bởi : 0)()( 0102 =−−− yyuxxu . * Chú ý : - Nếu 0 1 =u thì pttq của ∆ là : 0 0 =− xx . - Nếu 0 2 =u thì pttq của ∆ là : .0 0 =− yy B. BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua 0 0 ( ; )M x y và có một vtcp 1 2 ( ; )u u u= r ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ∆ trong c¸c trêng hîp sau : a. §i qua (1; 2)M − vµ cã mét vtcp (2; 1)u = − r . b. §i qua hai ®iÓm (1;2)A vµ (3;4)B c. §i qua (3;2)M vµ    −= += ty tx d 21 :// d. §i qua (2; 3)M − vµ : 2 5 3 0d x y⊥ − + = . Giải a) Đi qua M (1 ; -2) và có một vtcp là (2; 1)u = − r Vì đường thẳng ∆ đi qua M (1 ;-2) và có vtcp là (2; 1)u = − r nên phương trình tham số của đường thẳng là :    −−= += ty tx 2 21 b) Đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4) Vì ∆ đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4) nên ∆ có vec tơ chỉ phương )2;2(=AB Phương trình tham số của ∆ là:    += += ty tx 22 21 c) Đi qua M (3 ;2) và    −= += ty tx d 21 :// Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là : )1;2( −= d u r . Vì ∆ song song với d nên ∆ nhận vec tơ )1;2( −= d u r làm vec tơ chỉ phương. Hay )1;2( −= ∆ u r , ∆ đi qua M(3 ; 2) vì vậy ∆ có phương trình đường thẳng là:    −= += ty tx 2 23 d) §i qua (2; 3)M − vµ : 2 5 3 0d x y⊥ − + = . Đường thẳng d : 2x – 5y + 3 = 0  d có vec tơ pháp tuyến là )5;2( −= d n r . Vì ∆ vuông góc với đường thẳng d nên ∆ nhân vec tơ pháp tuyến của d là vec tơ chỉ phương. Vì vậy vtcp của ∆ là )5;2( −= ∆ u r . ∆ đi qua M(2 ; -3) nên phương trình đường thẳng ∆ là :    −−= += ty tx 53 22 Dạng 2 : ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ∆ ®i qua 0 0 ( ; )M x y vµ cã mét vtpt ( ; )n a b= r . ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng ∆ trong c¸c trêng hîp sau : a. §i qua (1;2)M vµ cã mét vtpt (2; 3)n = − r . b. §i qua (3;2)A vµ // : 2 1 0.d x y− − = c. §i qua (4; 3)B − vµ 1 2 : ( ) x t d t R y t = +  ⊥ ∈  = −  ¡ . Giải a) Đi qua M(1;2) và có một vtpt là (2; 3)n = − r Vì đường thẳng ∆ đi qua M (1 ;2) và có vtpt là (2; 3)n = − r nên phương trình tham số của đường thẳng là : 2(x – 1) – 3(y – 2) = 0  2x – 3y + 4 = 0 b) Đi qua A(3 ; 2) và // d : 2x – y – 1 = 0 đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 có vtpt là )1;2( −= d n r . Dường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên ∆ nhận )1;2( −= d n r làm vec tơ pháp tuyến. Vì ∆ đi qua A(3; 2) và có vtpt là )1;2( −= ∆ n r nên ∆ có phương trình là: 2(x – 3) – (y – 2) = 0  2x – y – 4 = 0 c) Đi qua B(4 ;-3) và Đường thẳng d có vtcp là )1;2( −= d u r . Vì ∆ vuông góc với d nên ∆ nhận vtcp của d làm vtpt  )1;2( −= ∆ n r . Đường thẳng ∆ đi qua B(4 ;-3) và có vtpt )1;2( −= ∆ n r nên ∆ có phương trình tổng quát là: 2(x – 4) – (y + 3) = 0  2x – y – 11 = 0 Dạng 3 : ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ∆ ®i qua 0 0 ( ; )M x y vµ cã hÖ sè gãc k cho tríc. - Nếu đường thẳng ∆ có hệ số góc k thì vec tơ chỉ phương của ∆ là );1( ku = r - Kết hợp giả thiết ∆ đi qua M(x 0 ; y 0 ) Bài tập 1 ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ∆ trong c¸c trêng hîp sau : a. §i qua ( 1;2)M − vµ cã hÖ sè gãc 3k = . b. §i qua (3;2)A vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc Ox gãc 0 45 Giải a) §i qua ( 1;2)M − vµ cã hÖ sè gãc 3k = . ∆ có hệ số góc k = 3 nên ∆ có vtcp là: )3;1(= ∆ u r . ∆ đi qua M(-1 ; 2) và có vtcp là )3;1(= ∆ u r nên có phương trình là:    += +−= ty tx 32 1 b) Đi qua A(3 ;2) và tạo với chiều dương trục ox góc 45 0 Giả sử đường thẳng ∆ có hệ số góc k, như vậy k được cho bởi công thức k = tan α  với 0 45= α  k = tan 45 0  k = 1 Đường thẳng ∆ hệ số góc k = 1 vậy thì vtcp của ∆ là )1;1(= ∆ u r , ∆ đi qua A(3;2) nên ∆ có phương trình là :    += += ty tx 2 3 Bài tập 2: Cho tam giác ABC, với A(1; 4); B(3; - 1); C(6; 2). Hãy viết phương trình tổng quát của đường cao AH, và trung tuyến AM của tam giác ABC. Giải + Ta có: AH ⊥ BC nên AH nhận vec tơ BC = (3; 3) là vecto pháp tuyến của AH. ẠH đi qua A(1 ; 4) và nhận BC = (3; 3) làm vtpt nên Phương trình tổng quát của (AH) là: 3(x - 1) + 3(y - 4) = 0 ⇔ 3x + 3y - 15 = 0. + Gọi M là trung điểm của BC, ta có:        = +− = + = = + = + = 2 1 2 21 2 2 9 2 63 2 CB M CB M yy y xx x Vậy       2 1 ; 2 9 M        −= 2 7 ; 2 7 AM là vec tơ chỉ phương của đường thẳng AM. Đường thẳng AM đi qua A(1 ; 4) và vtcp       −= 2 7 ; 2 7 AM nên AM có phương trình:        −= += ty tx 2 7 4 2 7 1 C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 . ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ∆ trong c¸c trêng hỵp sau : a. §i qua (3;2)A vµ ( 1; 5)B − − ; ( 3;1)M − vµ (1; 6)N − ; b. §i qua A vµ cã vtcp u r , nÕu : + (2;3)A vµ ( 1;2)u = − r . + ( 1;4)A − vµ (0;1)u = r . c. §i qua (3; 1)A − vµ // : 2 3 1 0d x y+ − = . d. §i qua (3;2)M vµ (2;2)n = r . e. §i qua (1;2)N vµ ⊥ víi : + Trơc Ox . + Trơc .Oy f. §i qua (1;1)A vµ cã hƯ sè gãc 2k = . g. §i qua (1;2)B vµ t¹o víi chiỊu d¬ng trơc Ox gãc 0 60 . [...]... R = m 2.Bài tập Bài tập 1 Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn Hãy tìm tâm và bán kính nếu có: a) x2 + y2 – 6x + 8y + 100 = 0 b) x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0 c) 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 2 = 0 Giải a) x2 + y2 – 6x + 8y + 100 = 0 (1) 2 2 (1) có dạng x + y - 2ax - 2by +c = 0 trong đó a = 3 ; b = -4 , c = 100 Xét biểu thức m = a2 + b2 – c = 32 + (-4)2 – 100 = 9 + 16 – 100 = 75 . của định lí Cosin ta có: 6,0 21 .10. 2 172 110 2 cos 222222 = −+ = −+ = bc acb A b) Ta có: )(24 2 101 721 2 cm cba p = ++ = ++ = Theo công thức hê rông ta có: )(84 )102 4)(1724)(1224(24 2 cmS =−−−= Do. Vy ( ) ( ) 0 21 2222 21 45; 2 1 20 10 10.20 10 10.20 |10| )3(1.)2(4 |)3).(2(1.4| ; =∆∆⇒ ==== −+−+ −−+ =∆∆Cos b)    += −= ∆=−+∆ ty tx yx 22 41 : 0104 2: 21 Đường thẳng 2 ∆ có vtcp là. tam giác bằng 180 0 , nếu là tam giác vuông thì có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác. 2. Bài tập Bài tập Giải tam giác biết a) b = 14 ; c = 10 ; 0 145 ˆ =A b) a = 4 ; b = 5 ; c =