So Vo Ti SKKN.doc

- Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say mê bộ môn toán, bản thân mỗi ngời giáo viên phải tự mình tìm ra những ph-ơng pháp giải sao cho phù hợp với từng đối t

- Hiện nay đây t sâu cho bộ môn toán là mục tiêu của nhiều ngành giáodục của các nớc trên thế giới cũng nh ngành giáo dục của Việt Nam ta.

- Toán học nh một kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá mànếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mê say và ham muốn khámphá và hiểu biết ngày càng nhiều hơn ở bộ môn này

- Các bậc phụ huynh cũng nh các thầy cô giáo, các thế hệ học sinh luônmơ ớc học giỏi bộ môn này, tuy nhiên điều đó thật chẳng dế dàng gì

- Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say

mê bộ môn toán, bản thân mỗi ngời giáo viên phải tự mình tìm ra những

ph-ơng pháp giải sao cho phù hợp với từng đối tợng học sinh và kích thích lòngham muốn học toán của các em, từ đó tìm ra đợc những học sinh có năngkhiếu về bộ môn này, để bồi dỡng các em trở thành những học sinh giỏi có íchcho xã hội

- Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối cấp hai là việc nắm

đợc các phơng trình sơ cấp đơn giản và cách giả những phơng trình đó đối vớinhững đối tợng là học sinh đại trà Ngoài ra mở rộng các phơng trình đó khóhơn, phức tạp hơn đối với đối tợng học sinh khá giỏi

- Với rất nhêìu những chuyên đề đợc đề cập đến khi dạy đại số cấp hai vàphơng trình đại số, tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu về phơng trình vô tỉcác dạng của nó và các phơng pháp giải nó cho đối tợng là những học sinh cónhu cầu ham muốn đợc khám phá loại phơng trình này một cách sau hơn đốivới đại trà các em học sinh chỉ giải các phơng trình vô tỉ đơn giản trong sáchgiáo khoa toán 9

- Sau đây tôi xin mạo muội trình bày những suy nghĩ cũng nh những gì

mà tôi tìm hiểu, tham khảo đợc về phơng trình vô tỉ mong các bạn cùng thầycô đóng góp ý kiến cho tôi

ii - nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu về khái niệm của phơng trình một ẩn, khái quát và giải

ph-ơng trình đó

- Kỹ năng giải các phơng trình: Phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơngtrình bậc nhất một ẩn, phơng trình chứa hệ số ba chữ, phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối, phơng trình tích, thơng, phơng trình bậc cao

- Kỹ năng giải các phơng trình bậc cao đa về phơng trình bậc 1, bậc 2,phơng trình vô tỉ

- Làm các bài tập minh hoạ

- Tìm đọc các tài liệu tham khảo: Sách giáo dục đại số 8; Sách giáo khoa

đại số 9; Sách bồi dỡng học sinh lớp 8 + lớp 9; Toán phát triển đại số 9; Toánnâng cao; Toán chuyên đề đại số lớp 9; Các đề thi học sinh giỏi của cá trờng,các thành phố

Dạy và trắc nghiệm trên ba đối tợng học sinh: Khá giỏi trung bình yếu kém

Đa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện

- Tham khảo các trờng bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy đại học

- Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh

v - Phạm vi nghiên cứu và thời gian nghiên cứu:

- Giới thiệu nghiên cứu phơng trình vô tỉ trong chơng trình đại số lớp 9(Trờng THCS)

- Làm trắc nghiệm trong 3 tháng học kỳ I

- Kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học

vi - điều tra cơ bản:

* Tổng số học sinh khối 9: - 160 học sinh/4 lớp 9 - Đại trà

- 8 học sinh đội tuyển toán giỏi trờng

* Phân loại: - Khá giỏi: 20 học sinh

Điều mong muốn của mọi giáo viên dạy toán là làm thế nào đó theotừng dạng của phơng trình để các em phần nào bớt bớt đi sự bế tắc khigiải toán phơng trình vô tỉ Nếu nh ngời giáo viên có sự dẫn dắt học sinhcẩn thận, tỉ mỉ từ việc nắm đợc các dạng của loại phơng trình này đếncách thức giải từng loại thì chắc rằng các em sẽ dễ dàng hơn khi gặp toánphơng trình và cũng bồi đắp thêm cho các em niềm say mê, hứng thútrong học môn toán

Tuy nhiên, không phải bất cứ dạng phơng tình nào cũng có một nguyêntăc giải cụ thể đợc Đối với loại phơng trình đó ít nhất ngời giáo viên cũng cần

mở ra cho học sinh kỹ năng nhận biết và phán đoán, khả năng áp dụng đối vớinhững bài toán tơng tự mà học sinh đã đợc làm Nếu nh chúng ta - giáo viêndạy toán THCS đều làm đợc nh vậy thì chắc rằng giải phơng trình vô tỉ khôngcòn làm một lỗi lo của các em học sinh lớp 9

Với suy nghĩ đó tôi đã mạnh dạn đa ra các phơng pháp giải phơng trìnhvô tỉ nhằm giúp các em nâng cao kỹ năng và kiến thức giải phơng trình Từ đóhọc sinh chỉ cần xem phơng trình mình đã làm ở dạng phơng trình nào, xemphơng pháp giải từng loại là có thể giải đợc phơng trình đó một cách dễ dàng

ii - cơ sở thực tiễn:

Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9 cụ thể là môn đại số khi dạytoán giải phơng trình vô tỉ tôi thấy rằng đại đa số học sinh đều thấy khó,không hiểu đợc phơng hớng giải quyết của từng bài Chính vì vậy mà tôi đãmạnh dạn phân dạng phơng trình vô tỉ và cũng hớng cho các em phơng pháptổng quát để giải phơng trình từng dạng phơng trình mà tôi đã phân chia, vớimục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc hơn, dới nhiều góc độ hơn về phơngtrình vô tỉ, hơn nữa còn làm nhẹ nhàng quá trình giải phơng trình vô tỉ cho họcsinh Theo tôi, khi giảng dạy ngời giáo viên phải cung cấp ngay từ đầu chohọc sinh, giúp các em nắm đợc những vấn đề sau đây:

1 - Khái niệm về phơng trình, nghiệm của phơng trình, tập xác định của phơng trình:

+ Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai phơng trình tơng đơng

+ Cách giải các loại phơng trình cơ bản nh: Phơng trình bậc nhất một ẩn,phơng trình tích, phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình chứa ẩn ởmẫu; phơng trình bậc hai một ẩn số

+ Tính chất cảu bất đẳng thức số

2 - Học sinh nắm chắc:

+ Định nghĩa phơng trình vô tỉ

+ Các bài giải phơng trình vô tỉ nói chung

+ Các kiến thức cơ bản về căn thức

+ A(x), B(x) gọi là hai vế của phơng trình.

+ Quá trình tìm x gọi là giải phơng trình

+ Giá trị tìm đợc của x gọi là nghiệm của phơng trình

+ δ: Tập hợp nghiệm của phơng trình

+ Tập xác định: Tập xác định của phơng trình

b - Tập xác định của phơng trình: Là tập những giáo trị của biến làm

cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa

c - Các khái niệm về hai phơng trình tơng đơng:

+ Là hai phơng trình có cùng một tập hựop nghiệm

Hoặc + Nghiệm của phơng trình này đều là nghiệm của phơng trình kia

+ Một số âm không có căn thức bậc chẵn vì điều kiện của ẩn là biểu thứcchứa trong dấu căn bậc chẵn là một số không âm.

+ Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế phơng trình

2 - Dạng 2

2

2

B A

2

2 B A

h(x) ≥ 0 Với điều kiện (2) hai vế của ph ơng trình không âm nên ta bình ph ơng hai

vế, ta có:

= [g(x)]2 - ƒ(x) - h(x) (3)

Ph ơng trình (3) có dạng (1) nên có điều kiện mới:

[g(x)]2 - f(x) - h(x) ≥ 0 (4)Bình ph ơng hai vế của ph ơng trình (3) đ ợc ph ơng trình mới đã biết cách giải

So sánh nghiệm với điều kiện (2) và điều kiện (4) rồi kết luận

VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh.

= 5 - (1)

⇔ + = 5Gi¶i:

§iÒu kiÖn x + 3 ≥ 0

x - 2 ≥ 0Víi ®iÒu kiÖn (*) ph¬ng tr×nh cã hai vÕ kh«ng ©m nªn ta b×nh ph¬ng hai vÕ ta cã:

x ≥ 2 (*)

+ = (1)D¹ng 3 chØ kh¸c d¹ng 2 ë vÕ ph¶i lµ nªn c¸ch gi¶i t¬ng tù nh d¹ng 2

§iÒu kiÖn x + 1 ≥ 0

12 - x ≥ 0

x - 7 ≥ 0Víi ®iÒu kiÖn (*) ph¬ng tr×nh (1) cã hai vÕ kh«ng ©m nªn ta b×nh ph¬nghai vÕ

x = 3 thoả mãn điều kiện (*) và (**).

Vậy nghiêm của phơng trình là x = 3

+ + n = g(x) (1)Sơ đồ cách giải

Điều kiện: f(x), h(x) ≥ 0

Đặt ẩn phụ t= +

§iÒu kiÖn x ≥ 1

x ≤ 7Víi ®iÒu kiÖn (*) th× (2) cã hai vÕ kh«ng ©m nª ta b×nh ph¬ng hai vÕ ph-

¬ng tr×nh (2)

(2) ⇒ x - 1 = 49 - 14 x + x2

⇔∆ = 25 > 0 ⇒ = 5Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 = 10; x2 = 5

Ta thÊy x = 5 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) vËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x

x ≤

x1 = ; x2 = 2Kết hợp với điều kiện đầu x ≥ 1 ta thấy cả 2 giá trị x1 = ; x2 = 2

Giải: (1) ⇒ = 7 - x (2)

Điều kiện x ≥ 1

x ≤ 7 Với điều kiện (*) thì (2) có hai vế không âm nếu ta bình phơng hai vế ph-

ơng trình (2)

(2) ⇒ x - 1 = 49 - 14x + x2

⇔∆ = 25 > 0 ⇒ = 5Phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x1 = 10; x2 = 5

Ta thấy x = 5 thoả mãn điều kiện (*) vậy nghiệm của phơng trình là x = 5không thoả mãn 1 trong các điều kiện trên

Vậy phơng trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 8: Giải phơng trình

+ = 2Nếu để làm mất căn bậc 3 ta lập phơng trình 2 vế, do n trong trờng hợpnày là số lẻ (n = 3) Không cần điều kiện cảu x khi nâng lên luỹ thừa Ta có:

x + 1 + 7 - x + 3 2 = 8(Vì đã sử dụng hđk: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a+b)

(x + 1) (7 - x) = 0

x1 = -1; x2 = 7Cả 2 giá trị này đều thảo mãn phơng trình cho

Vậy phơng trình có có 2 nghiệm x1 = -1; x2 = 7

2 - Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

Ví dụ 9: Giải phơng trình

+ = 8Do: x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 ≥ 0 ∀ x nên phơng trình cho

⇔ 1 ≤ x ≤ 7 (*)

3

x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 ≥ 0 ∀ x.

⇔x - 3+ x + 5= 8 (*)TH1: NÕu: x - 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 ph¬ng tr×nh (*)

⇔(+ 1) +()≥ 0Víi ®iÒu kiÖn x ≥ 1 ⇒ + 1 > 0

⇒ 1 - ≤ 0

⇒ x ≤ 2VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ 1 ≤ x ≤ 2

Ph¬ng tr×nh cho cã d¹ng: + = 14

 y+ 1 +  y + 3 = 14 do y ≥ 0 nªn y+ 1 + y + 3 = 14

2y = 10

y = 5 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn y ≥ 0)

⇒ = 5 víi ®iÒu kiÖn x ≥ c¶ 2 vÕ kh«ng ©m bÊt ph¬ng tr×nh ta cã 2x - 5 = 25

∆ = 49 > 0 ⇒ = 7VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: t1 = 3; t2 = - 4

V× t = 3x + 5 = 9

⇔ x2 - 3x - 4 = 0VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = -1; + 4

§Æt a = x2 - 2x + 4

b = x + 2 ⇒ a - b = x2 - 3x + 2(1) ⇒ 2 (a - b) = 3

x = y = 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*), (**).

S = -1

P = hay X1, 2= Do y > 0 vµ - < x < nªn

Vậy t phải thoả mãn phơng trình: = 10 +

Phơng pháp dùng bất đẳng thức đợc dùng ở nhiều dạng khác nhau

a - Chúng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau Khi đó phơng trình là vô nghiệm:

Ví dụ 18: Giải phơng trình

- = 8Giải:

Điều kiện: x ≥ 2Với điều kiện này thì vế phải luôn lớn hơn vế trái nên ph ơng trình làvô nghiệm

2 1

+ = 2Giải:

+ = 2 (3)Giải phơng trình (2) ta đợc x = 4 Thay x = 4 vào (3) thoả mãn

⇒ phơng trình cho vô nghiệm

Và x = 4 thoả mãn điều kiện (*).

Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x = 4

Kết luận: Nghiệm của phơng trình cho là x = - 1

c - Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình.

Với x > 3 thì > 1; > 2 nên vế trái của (1) lớn hơn 3

Với - 1 ≤ x < 3 thì < 1; < 2 nên vế trái (1) nhỏ hơn 3

Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất

d - Sử dụng điều kiện xảy ra dấu "=" ở bất đẳng thức không chẵn:

Ví dụ 25: Giải phơng trình

(1)Giải:

⇔ x = 3 thoả mãn điều kiện (*)

Vậy nghiệm của phơng trình là x = 3

Xảy ra khi: (2x + 5) (4 - x ) ≥ 0

⇔ ≤ x ≤ 4

33

Kết luận: Vậy nghiệm của phơng trình là: ≤ x ≤ 4.

6 - Phơng trình vô tỉ có biện luận:

Ví dụ 27: Giải và biện luận theo phơng trình

+ 4 + 5 (1)

(a là tham số)(100 Bộ đề thi chuyên ngữ)

Giải:

+ Nếu a = 0

(1) + 4 = 5

⇔ phơng trình có nghiệm duy nhất x = 0

+ Nếu a ≠ 0 Thì x = a không là nghiệm của phơng trình Ta chia hai vế của phơng trình (1) cho ta có:

Ví dụ 28: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất

iv - một số sai lầm khi giải phơng trình vô tỉ:

Thờng học sinh hay mắc phải sai lầm khi giải phơng trình vô tỉ mà căn làbậc chẵn là:

1 - Quên không tìm tập xác định khi giải:

2 - Không đặt điều kiện khi ta biến đổi tơng đơng:

Ví dụ 29: Giải phơng trình

- = 2 (1)Học sinh giải:

⇒ x1 = 20 + 12

Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x = 20 ± 12

* Sai lầm trong cách giải là:

+ Không tìm điều kiện của (1) là x ≥ 3

+ Khi biến đổi tơng đơng đến phơng trình (3) học sinh cha đặt điều kiệncho 4 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4

+ Khi kết luận nghiệm là cha thoả mãn các điều kiện nêu nghiệm cha chính xác

Ví dụ 30: Giải phơng trình

- = x + 1Học sinh giải:

Điều kiện: x2 - 1 ≥ 0 (x - 1) (x + 1) ≥ 0 x - 1 ≥ 0

x + 1 ≥ 0 x + 1 ≥ 0 x + 1 ≥ 0Khi đó phơng trình có dạng:- = x + 1

Vì x ≥ 1 nên > 0 chia hai vế cho ta có: - 1 =

i - kết quả đối với học sinh:

Qua việc dạy chuyên đề về phơng trình vô tỉ đối với học sinh nói chung

và đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi trắc nghiệm ở một số học sinh tôi

đã thu đợc một số kết quả dới đây

- Học sinh không ngại khi gặp dạng toán giải phơng trình vô tỉ

- Một số học sinh khi giải đã trả lời thấy hứng thú hơn khi giải phơngtrình đặc biệt là phơng trình vô tỉ

Qua việc kiểm tra đánh giá chất lợng sau 3 lần kiểm tra tôi đã có kết quả

ii - Bài học kinh nghiệm:

Từ kết quả cụ thể trên tôi đã rút ra một số kinh nghiệm cho bản thâncũng nh đồng nghiệp khi giải toán phơng trình vô tỉ là: Phơng pháp giải toánphơng trình vô tỉ ở trên không khó đối với học sinh khá, giỏi mà điều cần lu ý

đối với ngời giáo viên dạy toán là:

- Cần phân dạng phơng trình vô tỉ thành những dạng quen thuộc mà các

em đã đợc gặp trên cơ sở phơng pháp giải và giáo viên đa ra

Những loại bài tập giao cho học sinh phải thực tế, dễ hiểu, gợi mở giúpkích thích óc sáng tạo của học sinh không quá cao siêu, trừu tợng

3

a x

1-1

x-1

2

3

x +

3

- Hớng dẫn các em trớc khi giải toán phơng trình cần xác định rõ dạngcủa phơng trình này và phơng pháp giải hớng dẫn học sinh phân tích bài toán,phán đoán cách giải, các bớc giải để các em đi đến lời giải thông minh vàngăn gọn nhất, đạt hiệu quả cao.

- Rèn kỹ năng giải phơng trình vô tỉ cho học sinh thông qua nhiều dạngphơng trình và thờng xuyên chú ý đến những sai lầm của học sinh thờng mắcphải khi giải phơng trình vô tỉ, nhất là tìm điều kiện xác định của phơng trình

- Trên cơ sở làm một số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giaothêm lợng bài tập về nhà có nội dung tơng tự hoặc mở rộng hơn để các em đợc

tự mình giải các loại phơng trình vô tỉ

Nếu có đợc những việc làm trên tôi xin chắc rằng tất cả các em học sinh

sẽ không còn lúng túng, ngại ngùng khi giải toán phơng trình đặc biệt là

ph-ơng trình có chứa ẩn dới dấu căn

d - điều kiện áp dụng

- Nh tôi đã trình bày ở trên bản kinh nghiệm này đợc áp dụng trong việcgiảng dạy các chuyên đề trong các trờng học THCS hoặc sử dụng để bồi dỡnghọc sinh giỏi nhằm nâng cao vốn kiến thức cho cá đội tuyển học sinh giỏi lớp

9, là cơ sở vững chắc cho các em học tốt hơn khi học cấp III trong bộ môntoán, đặc biệt là toán giải phơng trình vô tỉ

Dạng toán giải phơng trình vô tỉ mà tôi đề cập ở trên cũng có những dạng

đã đợc sử dụng rộng rãi song phần nào giúp học sinh lớp 9 và giáo viên dạytoán 9 nâng cao chất lợng dạy và học của mình

Chuyên đề này còn dể ngỏ và còn tiếp tục khai thác nên nội dung còn sơsài còn nhiều vấn đề cha mở rộng, đi sâu

e - hớng đề xuất

Nh tôi đã viết ở trên trong đề tài này chỉ nhằm một mục tiêu đơn giải làgiúp cho học sinh trong việc giải toán "Phơng trình vô tỉ", để học sinh có thêmnhững phơng pháp giải cụ thể, dễ nhớ, có hiệu quả

Qua đề tài cho thấy bản thân tôi và các bạn đồng nghiệp đều thấy đợcmọi vấn đề dễ khó đều có hớng giải quyết tốt nếu nh ngời giáo viên giúp họcsinh biết đơn giản hoá các vấn đề phức tạp → thành dơn giản hơn và quenthuộc hơn

Sau thực tế giảng dạy tôi xin lu ý với các đồng chí khi vận dụng đề tàitrên cần.

- Dạy cho học sinh hiểu chắc chắn các khái niệm về phơng trình, đặc biệt

là những khái niệm đơn giản và rất quan trọng nh các phép biến đổi tơng đơngphơng trình, các hằng đẳng thức quan trọng đặc biệt là các công thức có chứadấu căn

- Lựa chọn phơng pháp giải phù hợp đối với từng dạng phơng trình để cólời giải ngắn gọn và hiệu quả

- Cần tạo ra những bài toán mở rộng khác nh các liên quan đến bài tập cơbản nh dạng toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm duynhất, vô nghiệm , tính giá trị của biểu thức

Từ những vấn đề trên tôi có kiến nghị sau:

Đối với hội đồng khoa học cấp trờng, cấp huyện cần xem xét phơng pháp

mà tôi trình bày trong đề tài này để có những nhận xét, đánh giá những u

điểm, nhợc điểm của đề tài và có hớng chỉ đạo trong thời gian tới Tôi rất hivọng đề tài giúp học sinh giải phơng trình vô tỉ sẽ đóng góp một phần nào đótrong quá trình giảng dạy môn toán 9 ở THCS

f - kết luận

Sau một thời gian tự nghiên cứu cùng với các phơng pháp tìm đọc tài liệutham khảo, su tầm các bài tập và kết hợp với thực tế giảng dạy tôi thấy rằngchuyên đề "Giúp học sinh giải phơng trình vô tỉ" ở THCS đã một phần nào cótác dụng đối với học sinh và giáo viên lớp 9 Sau khi học chuyên đề song các

em rất hứng thú học toán đặc biệt là toán giải phơng trình vô tỉ Đề tài này đã

cố giắng dựng một hệ thống kiến thức từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạpgiúp học sinh có thể vận dụng một cách linh hoạt từng phơng pháp cụ thểtrong từng trờng hợp nhất định Qua đó học sinh có thể đào sâu kiến thức, tìmtòi nhiều cách giải cho một bài toán Bên cạnh đó các ví dụ có thể giúp họcsinh có thể rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo làm quen với các dạng bài tập khácnhau, các loại phơng trình vô tỉ khác nhau, góp phần nhỏ bé trong sự pháttriển trí tuệ, tính cẩn thận, khoa học, năng lực nhận xét, phân tích, phán đoántổng hợp kiến thức Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tợng học sinhchúng ta đều truyền tải các nội dung trên mà cần xác định đúng đối tợng đểcung cấp kiến thức cơ bản phù hợp với trình độ và quỹ thời gian của học sinh