Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên... +Do đó: M chạy trên cung tròn nhìn đoạn IC dới góc 4α không đổi.. Đờng tròn tâm O1 và đi qua C là đờng cần dựng.. + Vậy
Trang 1UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4,0 điểm)
A
=
1 Tìm x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A
2 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Giải :
1 Để A có nghĩa, trớc hết x≥0 Đặt t= x x( ≥0)
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )
2
A
Để biểu thức A có nghĩa thì: t≥0,t ≠1,t≠2,t ≠ ⇔ ≥4 x 0, x≠1, x≠4, x≠16 (*) Khi đó, rút gọn ta đợc:
A
2
t t
A
− + +
Để A là số nguyên thì x nguyên và t−2 phải bằng 1± hoặc ±3
- Nếu t− = − ⇔ =2 1 t 1 ( loại vì trái điều kiện (*))
- Nếu t− = − ⇔ = − <2 3 t 1 0 (loại)
- Nếu t− = ⇔ = ⇔ =2 1 t 3 x 9 và A=2
- Nếu t− = ⇔ = ⇔ =2 3 t 5 x 25 và A=1
Vậy: Để A nhận các giá trị nguyên thì x=9 và x=25
Bài 2: (4,0 điểm)
Cho phơng trình x2−2mx m+ 2− − =m 6 0 ( m là tham số).
1 Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x và 1 x sao cho2
18 7
2 Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x và 1 x sao cho2
Giải :
1 Để phơng trình 2 2
Với điều kiện (1),
2
+
Trang 2⇔ − − = ⇔ = − = (thỏa điều kiện
(1) và đều khác -2 và khác 3)
2 Với điều kiện (1),
+ Nếu x và 1 x cùng dấu thì 2
6 0
m
x x
≥ −
+ Nếu x và 1 x trái dấu thì 2 2 ( ) ( )
x x < ⇔m − − =m m+ m− < ⇔ − < <m (4)
⇔ + = ⇔ = (không thỏa điều kiện (4)
+ Vậy, để x1 + x2 =8 thì m= ±4
Bài 3: (3,0 điểm)
1 Cho bốn số thực bất kì , , ,a b c d Chứng minh:
( 2 2) ( 2 2)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
2 Với giá trị nào của góc nhọn α thì biểu thức P=3sinα+ 3 cosα có giá trị lớn nhất ? Cho biết giá trị lớn nhất đó
Giải :
1 Ta có:
( 2 2) ( 2 2) ( )2 ( 2 2) ( 2 2)
Vậy: 0≤ ab cd+ ≤ (a2+c2) (b2+d2),∀a b c d, , , ∈R
Dấu đẳng thức xảy ra khi ad bc− =0 hay c d(a 0,b 0)
2 áp dụng kết quả trên, ta có:
( 2 2) ( 2 2 )
α
α
Bài 4: (6,0 điểm)
1 Cho đờng tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển trên cung lớn BC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC Gọi M là trung
điểm của CD Hỏi M di chuyển trên đờng nào ? Nêu cách dựng đờng này và giới hạn của nó
2 Trong hình bên, cho biết M là trung điểm của AC và các đờng thẳng AD, BM và
CE đồng qui tại K Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20 Tính diện tích tam giác ABC
Trang 3Giải :
1 + Ta có: Tam giác ACD cân tại A (gt) nên ãBAC=2ãADC (Góc BAC là góc ngoài của tam giác ACD)
+ Gọi I là trung điểm của BC, ta có MI //BD (đờng trung bình của tam giác BCD), nên:
(α = ãBOC
không đổi)
+Do đó: M chạy trên cung tròn nhìn đoạn IC dới góc 4α không đổi
+ Dựng tia OI cắt đờng tròn (O) tại N, ta có:
2
+ Dựng tia In BN , dựng đờng thẳng qua I và'// vuông góc với In' cắt trung trực đoạn IC tại O1
Đờng tròn tâm O1 và đi qua C là đờng cần dựng
+ Khi A chạy trên cung lớn BC tới trùng với
A thì D trùng với D trên tiếp tuyến Bt của0
(O) và BD0 = BC , khi đó M trùng với M0 là trung điểm của CD0
+ Vậy M chỉ di chuyển trên cung lớn CM0 của đ-ờng tròn (O1)
2 + Gọi h là khoảng cách từ K đến AB, ta có:
AKE BKE
∆
∆
ì
2
ACE
BCE
S
S
∆
∆
+ Tơng tự: AKM 1
CKM
∆
∆
Đặt x S= ∆AKM =S∆CKM,
ta có:
2
BCK
Do đó: S∆ABC =S∆AKB+S∆BCK +S∆AKC = +10 20 30 2+ + x=75
Bài 5: (3,0 điểm)
1 Tìm số tự nhiên n để n+18 và n−41 là hai số chính phơng
2 Tớnh số cỏc ụ nhỏ nhất phải quột sơn trờn một bảng để cho bất kỡ vựng nào đú trờn bảng này cũng chứa ớt nhất 4 ụ đó quột sơn
Trang 4Giải :
1 Để n+18 và n−41 là hai số chính phơng
2
18
⇔ + = vàn−41=q p q2( , ∈N)
Nhng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30
Từ n+ =18 p2 =302 =900 suy ra n=882
Thay vào n−41, ta đợc 882 41 841 29− = = 2 =q2
Vậy với n=882 thì n+18 và n−41 là hai số chính phơng
2.+ Dọc theo chiều ngang sát sát cạnh trên của bảng có 3 vùng ở 3 vị trí
1 1 1 1, 2 2 2 2, 3 3 3 3
A B C D A B C D A B C D Dịch chuyển xuống theo chiều dọc một ô, ta có thêm
3 vùng Dịch chuyển xuống theo chiều dọc một ô nữa, ta có thêm 3 vùng
Do đó có 9 vùng con của bảng , mỗi vùng con đều chứa 5 ô vuông con 1 1ì thuộc hình chữ thập đã tô màu
+ Nếu chỉ quét sơn nh hình vẽ bên thì mỗi vùng con đều chứa 4 hoặc 5 ô 1 1ì đợc quét sơn
Vậy: Để mỗi vùng con của bảng chứa ít nhất 4 ô 1 1ì đợc quét sơn, thì chỉ cần quét số ô nhỏ nhất là 7 ô nh hình vẽ bên