Kinh nghiem He thuc Vi - te 2009- duong.doc

Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ Phần I - Đặt vấn đề 1. Lí do chọn đề tài: a) Cơ sở lí luận: Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dỡng và phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong quá trình dạy học là nội dung của việc đổi mới phơng pháp dạy học theo chơng trình cải tiến. Dạy học toán là dạy cho học sinh phơng pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức đã học vào thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán học đợc trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phơng pháp giải một số bài toán, nhng để nắm vững cách giải 1 dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích luỹ đợc để giải quyết các bài tập có liên quan. Thông qua việc giải bài tập chống t tởng hình thức hoá, t tởng ngại khó đặc biệt việc xác định các vấn đề thiếu căn cứ. Do đó nâng cao năng lực t duy, óc tởng t- ợng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận của học sinh. b) Cơ sở thực tiễn: hệ thức Vi - ét và vận dụng đợc hệ thức Vi ét vào tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình bậc hai 1 ẩn số - Nắm đợc những ứng dụng của hệ thức Vi - ét nh : + Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai trong các trờng hợp a + b + c = 0 ; a - b + c = 0 , hoặc các trờng hợp mà tổng, tích của hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn. + Tìm đợc hai số biết tổng và tích của chúng . + Biết cách biểu diễn tổng các bình phơng, các lập phơng của hai nghiệm qua các hệ số của phơng trình. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất có một vị trí quan trọng trong chơng trình dạy học toán THCS các bài toán này rất phơng phú đa dạng nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển t duy. Dạng toán cực trị đối với học sinh THCS là khó và mới các em thờng gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán cực trị ; có những bài toán các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chơng trình đã học? Làm thế nào để tìm đợc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, ngắn nhất, dài nhất. v.v. . . trong bài toán ấy? Toán cực trị là loại toán có nhiều ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày chẳng hạn: ? .v.v Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo dục t tởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống sau này. Chính vì vậy bài toán này thờng xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, các kì thi tuyển sinh vào lớp 10. 1 Qua một số năm giảng dạy toán THCS đợc giao công tác bồi dỡng học sinh lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề nay chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này. Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề: PHần II - giải quyết vấn đề A. Một số vấn đề lí thuyết : 1) Hệ thức Vi ét: Nếu 1 x ; 2 x là hai nghiệm của phơng trình bậc hai : ( ) 2 ax + bx + c = 0 a 0 thì 1 2 1 2 . b x x a c x x a + = = Nếu phơng trình bậc ba: 3 2 ax + bx + cx + d = 0 ( ) a 0 có 3 nghiệm là 1 x ; 2 x ; 3 x thì 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 . b x x x a c x x x x x x a d x x x a + + = + + = = ( ) I Và ngợc lại nếu3 số 1 x ; 2 x ; 3 x là thỏa mãn hệ thức ( ) I thì 1 x ; 2 x ; 3 x là nghiệm của phơng trình bậc ba 3 2 ax + bx + cx + d = 0 ( ) a 0 Tổng quát : Nếu phơng trình ( ) 2 ax + bx + c = 0 a 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm 1 1x = còn nghiệm kia là 2 c x a = . Tổng quát : Nếu phơng trình ( ) 2 ax + bx + c = 0 a 0 có a - b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm 1 1x = còn nghiệm kia là 2 c x a = . Tổng quát : Nếu phơng trình ( ) 3 2 ax + bx +cx + d = 0 a 0 có nghiệm 0 x thì phơng trình phân tich đợc thành ( ) ( ) 2 0 x-x . Ax +Bx + C = 0 +) Có nghiệm 1x = nếu 0a b c d+ + + = +) Có nghiệm 1x = nếu 0a b c d + = 2 2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: 2 x - Sx + P = 0 Thật vậy: Các số u; v nếu tồn tại là các nghiệm của phơng trình: ( ) ( ) x - u . x - v = 0 ( ) 2 x - u+v x + u.v = 0 2 x - Sx + P = 0 Nh vậy khi biết tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm đợc hai số đó thông qua việc giải phơng trình bậc hai. Điều kiện để có hai số là: 2 S - 4P 0 3. Vị trí tơng đối của đờng thẳng y mx n= + ( ) 0m ( ) d và đồ thị hàm số 2 y ax= ( ) 0a ( ) P : - Số giao điểm của đờng thẳng y mx n= + ( ) 0m và đồ thị hàm số 2 y ax= ( ) 0a là nghiệm của hệ phơng trình 2 y ax y mx n = = + - ( ) d cắt ( ) P tại 2 điểm phân biệt phơng trình hoành độ 2 0ax mx n = có 2 nghiệm phân biệt - ( ) d tiếp xúc với ( ) P tại 1 điểm phơng trình hoành độ 2 0ax mx n = có 1 nghiệm kép. - ( ) d không cắt ( ) P (không có điểm chung) phơng trình hoành độ 2 0ax mx n = có vô nghiệm. Chú ý: Số nguyên lớn nhất không vợt quá x là phần nguyên của x ký hiệu là [ ] x . Ví dụ: Cho b = 2,134 [ ] 2b = ; a = - 2,7544 [ ] 3a = 4. Khái niệm về giá trị lớn nhất- Giá trị nhỏ nhất: Cho hàm số f(x) xác định trên miền D 1) m đợc gọi là một giá trị lớn nhất ( ) GTLN của f(x) trên miền D nếu thoả mãn các điều kiện sau đây: a, f(x) m với x D b, x 0 D sao cho f(x 0 ) = m ; Kí hiệu m = max f(x), x D 2) m đợc gọi là một giá trị nhỏ nhất ( ) GTNN của f(x) trên miền D nếu thoả mãn các điều kiện sau đây: a, f(x) m với x D b, x 0 D sao cho f(x 0 ) = m ; Kí hiệu m = min f(x), x D Với x 2 0 [ ] )(xf 2n 0 với x R, n Z 3 [ ] )(xf 2n + M M (M là giá trị nhỏ nhất) Hoặc M - [ ] )(xf 2n M (M là giá trị lớn nhất) Hệ quả : - Nếu x > 0, y > 0 và 2 x.y = k (không đổi) thì tổng x + y đạt GTNN x = y - Nếu x > 0, y > 0 và 2 x + y = k (không đổi) thì tích x.y đạt GTLN x = y B. một số ví dụ về những ứng dụng của hệ thức Vi- ét I. Dạng I: ứng dụng của hệ thức Vi et vào việc nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai ( ) 2 ax + bx + c = 0 a 0 khi biết các hệ a; b; c. Tổng quát : Nếu phơng trình ( ) 2 ax + bx + c = 0 a 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm 1 1x = còn nghiệm kia là x 2 = c a . Tổng quát : Nếu phơng trình ( ) 2 ax + bx + c = 0 a 0 có a - b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm x 1 = - 1 còn nghiệm kia là x 2 = - c a . Tổng quát : Nếu phơng trình ( ) 3 2 ax + bx +cx + d = 0 a 0 có nghiệm 0 x thì phơng trình phân tich đợc thành ( ) ( ) 2 0 x-x . Ax +Bx + C = 0 +) Có nghiệm 1x = nếu 0a b c d+ + + = +) Có nghiệm 1x = nếu 0a b c d + = 1. Ví dụ 1: Giải phơng trình a) 2 - 5x + 3x + 2 = 0 b) 2 3x + 7x + 4 = 0 c) 2 2008x + 2009 x + 1 = 0 d) x 2 + 2009 x + 1 = 0 H ớng dẫn cách giải: - Muốn giải phơng trình trên ta làm nh thế nào ? - Học sinh nêu cách làm là dùng công thức nghiệm để giải các phơng trình này - Có em đã phát hiện cách làm là vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm các nghiệm của phơng trình bậc hai ( ) 2 ax + bx + c = 0 a 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm 1 1x = còn nghiệm kia là 2 c x a = hoặc a - b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm 1 1x = còn nghiệm kia là 2 c x a = . - Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi ét vào nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai các em đã trình bày lời giải nh sau: Giải: 4 a) - 5x 2 + 3x + 2 = 0 (a = - 5; b = 3; c = 2) Vì a + b + c = ( ) 5 + 3 + 2 = 0 phơng trình có hai nghiệm là x 1 = 1; x 2 = 2 5 . b) 3x 2 + 7x + 4 = 0 (a = 3; b = 7; c = 4) Ta có: a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0 phơng trình có nghiệm x 1 = - 1, 2 4 3 x = . c) 2 2008x + 2009 x + 1 = 0 (a = 2008; b = 2009; c = 1) Vì a - b + c = 2008 - 2009 + 1 = 0 phơng trình có hai nghiệm là: 1 1x = ; 2 1 2008 x = . Các em có nhận xét gì nếu ta thay đổi yêu cầu của bài toán nh sau: 2. Ví dụ 2: Giải phơng trình a) 3 2 5x - 6x + 8x - 7 = 0 b) 3 2 4x +2x + 8x +10 = 0 H ớng dẫn cách giải: Hãy vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm các nghiệm của phơng trình bậc ba ( ) 3 2 ax + bx +cx + d = 0 a 0 +) Có nghiệm 1x = nếu 0a b c d + + + = +) Có nghiệm 1x = nếu 0a b c d + = - Khi đó các em trình bày lời giải nh sau: Giải: a) 3 2 5x - 6x + 8x - 7 = 0 có tổng các hệ số a + b + c + d = 5 - 6 + 8 - 7 = 0 nên phơng trình có nghiệm 1x = khi đó phơng trình 3 2 5x - 6x + 8x - 7 = 0 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 5x - 5x - x - x + 7x - 7 = 0 ( ) ( ) ( ) 2 5x . x - 1 - x. x - 1 + 7. x - 1 = 0 ( ) ( ) 2 x - 1 . 5x - x + 7 = 0 2 x - 1=0 5x - x + 7= 0 ( ) ( ) 1 2 +) Giải phơng trình ( ) 1 x - 1= 0 x =1 +) Giải phơng trình ( ) 2 2 5x - x + 7= 0 Ta có ( ) 2 1 4.5.7 1 140 141 0 141 = = + = > = phơng trình ( ) 2 có 2 nghiệm ( ) 1 1 141 1 141 2.1 2 x + + = = ; ( ) 2 1 141 1 141 2.1 2 x = = Vậy phơng trình có 3 nghiệm 1 1 141 2 x + = ; 2 1 141 2 x = ; 3 1x = b) 3 2 4x +2x + 8x +10 = 0 có a - b + c - d = 4 - 2 + 8 - 10 = 0 nên phơng trình có nghiệm 1x = khi đó phơng trình 3 2 4x +2x + 8x +10 = 0 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 4x + 4x - 2x +2 x + 10x +10 = 0 5 ( ) ( ) ( ) 2 4x . x + 1 - 2x. x + 1 + 10. x + 1 = 0 ( ) ( ) 2 x + 1 4x - 2 x + 10 = 0 2 x - 1=0 4x - 2 x + 10= 0 ( ) ( ) 1 2 +) Giải phơng trình ( ) 1 x + 1 = 0 x = - 1 +) Giải phơng trình ( ) 2 2 4x - 2 x + 10 = 0 Ta có ( ) 2 2 4.4.10 4 160 164 0 164 2 41 = = + = > = = phơng trình ( ) 2 có 2 nghiệm ( ) 1 2 41 2 2 41 1 41 2.4 8 4 x + + + = = = ; ( ) 2 2 41 2 2 41 1 41 2.4 8 4 x = = = Vậy phơng trình có 3 nghiệm 1 1 41 4 x + = ; 2 1 41 4 x = ; 3 1x = Nh vậy: - Qua 2 ví dụ trên tôi đã hớng dẫn cho học sinh cách giải phơng trình bằng cách vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai và ph- ơng trình bậc ba một ẩn. - Chú ý trong quá trình giải phơng trình chúng ta nên vận dụng linh hoạt hệ thức vi ét để nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai bậc ba một ẩn. 3. Ví dụ 3: Giải phơng trình ( ) ( ) 4 2 x + x +1 5x - 6x - 6 = 0 Giải: Nhận thây x = - 1 không là nghiệm của phơng trình nên ta chia 2 vê của phơng trình cho ( ) 2 x +1 ta đợc phơng trình 2 2 2 x x 5. 6 0 x +1 x +1 + = ữ ữ đặt 2 x x +1 y = ta dợc phơng trình 2 y 5y 6 0+ = bằng phơng pháp nhảm nghiệm ta tính đ- ợc 1 1y = và 2 6y = +) Với 1 1y = 2 x 1 x +1 = ( ) 2 x 1. 1x= + 2 x 1 0x = giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm 1 1 5 2 x + = ; 2 1 5 2 x = +) Với 2 6y = 2 x 6 x +1 = ( ) 2 x 6 1x= + 2 x 6 6 0x+ + = giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm 3 3 3x = + ; 4 3 3x = Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm 1 1 5 2 x + = ; 2 1 5 2 x = ; 3 3 3x = + ; 4 3 3x = 6 Qua ví dụ 3 tôi đã hớng dẫn cho học sinh cách giải phơng trình bằng cách vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai một ẩn và hớng dẫn cách biến đổi linh hoạt (đặt ẩn phụ) để đa phơng trình bậc 4 về phơng trình bậc hai một ẩn có thể nhẩm nghiệm đợc qua đó các em đợc rèn luyện kĩ năng biến đổi và trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả năng phân tích, dự đoán. . . II. Dạng II: ứng dụng của hệ thức Vi ét vào việc tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: 2 x - Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số là: 2 S - 4P 0 1. Ví dụ 1: a) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180. b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5. H ớng dẫn cách giải: Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180. Tức là ta cần tìm 2 số 1 x và 2 x biết 1 2 1 2 27 . 180 x x x x + = = . Nếu áp dụng hệ thức Vi et đảo thì 1 x và 2 x là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai 2 x - 27x + 180 = 0 ta có lời giải nh sau: Giải: a) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 27 và tích bằng 180 Nên 2 số là nghiệm của phơng trình: 2 x - 27x + 180 = 0 Ta có: 2 = 27 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0 9 3 = = phơng trình có 2 nghiệm 1 27 3 15 2 x + = = ; 2 27 3 12 2 x = = Vậy không có hai số cần tìm là 15 và 12. b) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 1 và tích bằng 5 , Nên 2 số là nghiệm của phơng trình: 2 x - x + 5 = 0 Ta có: ( ) 2 = -1 - 4.1.5 = 1- 20 = - 19 < 0 Do < 0 phơng trình trên vô nghiệm Vậy không có hai số nào thoả mãn điều kiện đề bài. Khai thác ví dụ 1 tôi nêu ra ví dụ sau: 2. Ví dụ 2: a) Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện tích bằng 621 m 2 b) Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm 2 H ớng dẫn cách giải - Bài toán cho biết gì ? cần tìm gì? - Nếu gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có điều gì? . ( ) 2. 80 . 621 a b a b + = ữ ữ = . 7 - Vậy 40 . 621 a b a b + = = thì a và b là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai nào? ( 2 x - 40x + 621 = 0 ) ta có lời giải nh sau: Giải: a) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có ( ) 2. 80 . 621 a b a b + = = 40 . 621 a b a b + = = , - Nên a và b là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai: 2 x - 50x + 621 = 0 phơng trình có 2 nghiệm 1 27x = ; 2 23x = Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật là 27m và 23 m. b) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có ( ) 2. 20 . 32 a b a b + = = 10 . 32 a b a b + = = , - Nên a và b là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai: 2 x - 10x + 32 = 0 Ta có: ( ) 2 ' 5 1.32 7 0 = = < phơng trình vô nghiệm Vậy không tồn tại hình chữ nhật nào có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm 2 . Kết luận: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, ta biến đổi linh hoạt đa về dạng phơng trình bậc hai một ẩn rồi giải. III. Dạng III: ứng dụng của hệ thức Vi ét vào việc giảI hệ ph- ơng trình đối xứng. 1. Khái niệm hệ phơng trình đối xứng Một phơng trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu ta thay x bởi y và y bởi x thì phơng trình không thay đổi. Ví dụ: Phơng trình đối xứng 11x y xy+ + = 11y x yx+ + = 2 2 25x y+ = 2 2 25y x+ = Một hệ phơng trình đợc gọi là hệ đối xứng loại I nếu nó gồm những phơng trình đối xứng. Ví dụ: Hệ phơng trình đối xứng loại I: 2 2 2 2 25 13 x y x y xy + = + = 2 2 2 2 25 13 y x y x yx + = + = 2. Cách giảI hệ phơng trình đối xứng. +) Biểu diễn từng phơng trình qua x y+ ; xy +) Đặt S x y= + ; P xy= ta đợc hệ phơng trình mới chứa các ẩn S và P +) Giải hệ phơng trình tìm S và P +) Các số x và y là nghiệm của phơng trình 2 0t St P + = (Vận dụng hệ thức Vi et đảo- Tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng) (Hệ đã cho có nghiệm khi hệ phơng trình theo S và P có nghiệm thỏa mãn 2 S 4 0P ) Tùy theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận phơng trình theo tham số t từ đó suy ra nghiệm hoặc kết luận cần thiết cho hệ phơng trình. 1. Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình 8 a) ( ) ( ) 5 2 19 3 35 x y xy x y xy + + = + + = b) 2 2 7 5 x xy y x y + = + = c) 2 2 18 12 x y y x x y + = + = d) ( ) 3 3 7 2 x y x y xy + = + = H ớng dẫn cách giải: - Em có nhận xét gì về hệ phơng trình ( ) ( ) 5 2 19 3 35 x y xy x y xy + + = + + = - Muốn giải hệ phơng trình trên ta làm nh thế nào ? GV nêu cách làm bằng cách đặt ẩn phụ S x y= + và .P x y= khi đó ta có lời giải nh sau Giải: a) ( ) ( ) 5 2 19 3 35 x y xy x y xy + + = + + = Đặt S x y= + và .P x y= ta có hệ phơng trình 5 2 19 3 35 S P S P + = + = 15 6 57 2 6 70 S P S P + = + = 13 13 3 35 S S P = + = 1 1 3 35 S P = + = 1 12 S P = = 1 . 12 x y x y + = = theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai 2 12 0X X = giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm là 1 4X = và 2 3X = . Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là ( ) 4; 3 và ( ) 3;4 . - Hoặc các em có thể biến đổi trực tiếp hệ phơng trình ta cũng tính đợc 1 . 12 x y x y + = = từ đó áp dụng hệ thức vi- ét để giải hệ phơng trình b) 2 2 7 5 x xy y x y + = + = ( ) 2 2 2 3 7 5 x xy y xy x y + + = + = ( ) 2 3 7 5 x y xy x y + = + = 2 5 3 7 5 xy x y = + = 6 5 xy x y = + = theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai 2 5 6 0X X + = giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm là 1 3X = và 2 2X = . Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là ( ) 3;2 và ( ) 2;3 . c) 2 2 18 12 x y y x x y + = + = 3 3 18 12 x y xy x y + = + = ( ) ( ) 3 3 18 12 x y xy x y xy x y + + = + = 3 12 3 .12 18 12 xy xy x y = + = 54 1728 12 xy x y = + = 32 12 xy x y = + = theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai 2 12 32 0t t + = giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm là 1 4t = và 2 8t = . 9 Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là ( ) 4;8 và ( ) 8;4 . d) ( ) 3 3 7 2 x y x y xy + = + = ( ) ( ) ( ) 3 3 7 2 x y xy x y x y xy + + = + = ( ) ( ) ( ) 3 3. 2 7 2 x y x y xy + = + = 1 2 x y xy + = = theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai 2 2 0t t = (1) vì ( ) ( ) a - b + c = 1- -1 + -2 = 0 nên phơng trình (1) có nghiệm 2 là 1 1t = và 2 2t = . Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là ( ) 1;2 và ( ) 2; 1 . Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm x a y b = = thì nó cũng có nghiệm x b y a = = Chúng ta cần lu ý điều này để không bỏ xót nghiệm của hệ phơng trình. 2. Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình a) 2 2 5 7 x y xy x y xy + + = + + = b) 4 4 2 2 17 3 x y x y xy + = + + = c) 2 2 2 6 7 14 x y z xy yz xz x y z + + = + = + + = d) 9 27 1 1 1 1 x y z xy yz xz x y z + + = + + = + + = e) ( ) ( ) 2 2 18 1 1 72 x x y y x x y y + + + = + + = H ớng dẫn cách giải: - Muốn giải hệ phơng trình 2 2 5 7 x y xy x y xy + + = + + = ta làm nh thế nào ? - Học sinh nêu cách làm là biến đổi hpt về dạng tổng và tích của x và y bằng cách đặt S x y= + và .P x y= ta có hệ pt 2 5 12 0 S P S S + = = rồi giải hệ phơng trình này. - Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi et vào nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai các em đã trình bày lời giải nh sau: Giải: a) 2 2 5 7 x y xy x y xy + + = + + = ( ) ( ) 2 5 7 x y xy x y xy + + = + = ( ) ( ) ( ) 2 5 5 7 xy x y x y x y = + + + = ( ) ( ) ( ) 2 5 12 0 xy x y x y x y = + + + = Đặt S x y= + và .P x y= Ta có hệ phơng trình 2 5 12 0 S P S S + = = 5 3; 4 S P S S + = = = +) Với S =3 P = 2 ta có 3 2 x y xy + = = theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của 10 [...]... (x 2 1 + 3x1 - 2m ) ( x 2 2 + 3x 2 - 2m ) < 0 ( *) x12 = -2 x1 - m 2 x = -2 x 2 - m ( **) Do f ( x ) có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 nên 2 x1 +x 2 = 2 x x = m 1 2 Thay ( **) vào ( *) ta đợc ( x1 - 3m ) ( x 2 - 3m ) < 0 x1x 2 - 3m ( x1 + x 2 ) + 9m 2 < 0 m- 3m ( -2 m ) + 9m 2 < 0 9m 2 +7m< 0 7 < m 0 1 + 2m > 0 m > - 1 2 - Khi đó phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 2 và x1 x2 = -2 m... x1 2 2 2 2 Ta có: u + v = ( x1 x2 ) + ( x2 x1 ) = x12 + x2 - ( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) 2 x1 x2 - ( x1 + x2 ) 2 7 49 16 + 14 47 7 7 49 4+ = = = 2.2 + = ữ 4 2 4 4 2 2 25 u+v = 47 4 2 2 3 3 3 3 Mà: u v = ( x1 x2 ) ( x2 x1 ) = x12 x22 - ( x1 + x2 ) - x1.x2 = ( x1 x2 ) - ( x1 + x2 ) - x1.x2 2 175 175 16 175 159 159 u.v = = = - 2 = 2 8 8 8 8 8 47 159 Vì 2 số u và v có tổng u + v = và tích... ) = 4 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 1999 -2 00 0- Hải Dơng) 22 3 Bài 3: Cho phơng trình 2x 2 - 7x + 1 = 0 Tính x1 x2 + x2 x1 ( x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình) 4 Bài 4: Cho phơng trình x 2 6mx + 4 = 0 Tìm giá trị của m , biết rằng phơng trình đã 1 1 7 cho có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện x 2 + x 2 = 2 1 2 x ( x - 4 ) ( x - 1) ( x - 5 ) = m 5 Bài 5: Cho phơng trình: 1) Giải phơng... x + x + x + x theo m 1 2 3 4 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Nguyễn Trãi Hải Dơng - Năm học2000 -2 001) 6 Bài 6: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình: y = 2x2 , một đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng m và đi qua điểm I ( 0; 2 ) 1) Vi t phơng trình đờng thẳng (d) 2) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B 3) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x1, x2 CMR: x 1 - x 2 2 7 Bài... với m = thì phơng trính có 2 nghiệm thỏa mãn 8 x = 2 x = 2 2 2 3 3 nghiệm này gấp đôi nghiệm kia 2 7 Ví dụ 7: Cho phơng trình: x - ( m - 1) x - m = 0 ( 1) 1) Giả sử phơng trình ( 1) có 2 nghiệm là x1, x2 Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là t1 = 1 - x1 ; t 2 = 1 - x 2 2) Tìm các giá trị của m để phơng trình ( 1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: x1 < 1 < x 2 Giải: 1 2 8 Ví dụ 8: Cho hàm... 22 - Giải: Xét phơng trình 2 x 9 x + 6 = 0 2 Ta có: = ( 9 ) 4.2.6 = 81 48 = 33 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 2 áp dụng đinh lí Vi ét ta có: 9 x1 + x2 = 2 x1.x2 = 3 Đặt u = 2 x1 3x2 và v = 2 x2 3x1 Ta có: u + v = ( 2 x1 3x2 ) + ( 2 x2 3x1 ) = 2 x1 3x2 + 2 x2 3x1 = - ( x1 + x2 ) = 9 9 u+v = 2 2 2 2 Mà: u.v = ( 2 x1 3x2 ) ( 2 x2 3x1 ) = 4 x1 x2 - 6 ( x1 + x2 ) - 9... phơng trình bậc hai nhận x12 và x22 là nghiệm 2 Bài 2 Cho phơng trình: x 2 - px + q = 0 với p 0 Chứng minh rằng: 1 Nếu 2p 2 - 9q = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia 2 Nếu phơng trình có 2 nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia thì 2p 2 - 9q = 0 2 3 Bài 3 Cho phơng trình: mx + 2 ( m - 2 ) x + m - 3 = 0 (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu b) Xác định m để (1) có... 3 5 4 4 ; x2 = 3+ 5 3 5 4 6 Bài 6 VI Dạng VI: ứng dụng hệ thức Vi ét vào vi c xét mối quan hệ giữa các nghiệm của ph ơng trình bậc hai 28 1 Ví dụ 1: Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dơng x1 , x2 Chứng minh rằng phơng trình cx 2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dơng, gọi 2 nghiệm đó là x3 , x4 Chứng minh rằng: x1 + x2 + x3 + x4 4 H ớng dẫn giải: - Để chứng minh phơng trình cx 2 + bx... Dạng IV: ứng dụng hệ thức Vi et vào vi c tính giá trị các biểu thức đốI xứng của các nghiệm - tìm điều kiện để 2 nghiệm liên hệ với nhau theo một hệ thức cho tr ớc 1 Ví dụ 1: Cho phơng trình x 2 + 4 x + 1 = 0 ( 1) a) Giải phơng trình ( 1) 3 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ( 1) Tính giá trị của biểu thức: B = x13 + x2 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 -2 006) Hớng dẫn cách giải: . trình 3 2 5x - 6x + 8x - 7 = 0 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 5x - 5x - x - x + 7x - 7 = 0 ( ) ( ) ( ) 2 5x . x - 1 - x. x - 1 + 7. x - 1 = 0 ( ) ( ) 2 x - 1 . 5x - x + 7 = 0 2 x - 1=0 5x - x + 7= 0 . xy + = + = 1 2 x y xy + = = theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai 2 2 0t t = (1) vì ( ) ( ) a - b + c = 1- -1 + -2 = 0 nên phơng trình (1) có nghiệm 2. nghiệm 1x = nếu 0a b c d + = - Khi đó các em trình bày lời giải nh sau: Giải: a) 3 2 5x - 6x + 8x - 7 = 0 có tổng các hệ số a + b + c + d = 5 - 6 + 8 - 7 = 0 nên phơng trình có nghiệm