Chuyên đề: hệ Thức vi ét Các kiến thức cần nhớ 1) Định lí Vi ét: Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a0) Nếu phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thì: ỡù b ùù x + x = ù a c ùù ùù x x = a ợ D a 2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai: c - Nếu a + b + c = phơng trình có nghiệm x = 1; x2 = a Lu ý: Khi ta có: x - x = - Nếu a b + c = phơng trình có nghiệm x = - 1; x2 = - c a 3) Tìm hai số biết tổng tích: Hai số x; y có: x + y = S; x.y = P hai số x; y nghiệm phơng trình: X2 SX + P = Điều kiện S2 4P Bài tập Dạng thứ nhất: Lập phơng trình biết hai nghiệm: Bài 1: a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 c) x1=-4; x2=-9 d) x1=0,1; x2=0,2 e) x = 3; f) x = - 5; x2 = 1 g) x = ; h) x = - ; i) x = ; x2 = x2 = 4 3 x2 = x2 = + j) x = - 2; k) x = + 2; 3+ l) x = + 6; n) x = 2+ ; p) x = - 5; r) x = - 5; x2 = - x2 = m) x = + 2; 2- o) x = x2 = + x2 = + 10 - 72 x = - 0, x2 = - 2 ; q) x = + s) x = 4; x2 = - x2 = 11; x2 = - 10 + 72 x2 = - 11 x = 5, u) x = - 1, 9; ; x2 = + 3 Bài 2: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình: 2x - 7x - = Không giải phơng trình, lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: 1 1 a) 3x1 3x2 b) -2x1 -2x2 c) d) x1 x2 x1 x2 t) x = - e) x2 x x1 x2 f) x1 + x +1 x1 x2 g) x1 + x +1 x2 x1 h) x1 x2 x2 + x1 + i) x + 1 x + x2 x1 j) 1 x2 + x1 + Bi 3: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình: x + px - = Không giải phơng trình, lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: 1 a) -x1 -x2 b) 4x1 4x2 c) x x 3 1 x x x - x - d) e) f) x1 x2 x1 x2 x1 x2 g) - x1 + - x2 + x2 x1 h) x1 x2 x2 - x1 - k) x + j) x 12 x 22 i) x - 1 x + x2 x1 1 x x2 x1 l) x12x2 x1x22 Bài 4: Gọi p; q hai nghiệm phơng trình 3x + 7x + = Không giải phơng trình Hãy p q lập ph.trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là: q- p- Bài 5: Tơng tự: 2 a) x + 4x + = b) x - 5x - = c) 2x + 6x - = Bài 6: a) Chứng minh a1; a2 hai nghiệm phơng trình: x + px + = , b1; b2 hai 2 nghiệm phơng trình: x + qx + = thì: ( a1 - b1 ) ( a - b2 ) ( a + b1 ) ( a + b2 ) = q - p b) Chứng minh tích nghiệm pt: x + ax + = với mộ nghiệm pt 1 x + bx + = nghiệm pt thì: 2 - - = ab a b c) Cho pt x + px + q = C.minh 2p - 9q = pt có hai nghiệm nghiệm gấp đôi nghiệm Dạng thứ hai: Tìm tổng tích nghiệm: Bài 1: Cho phơng trình: x - 5x + = Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình không giải phơng trình tính: a) x 12 + x 22 b) x 13 + x 23 c) x - x d) x 12 - x 22 e) x 13 - x i) 1 + x1 - x - m) x 12x + x 1x 22 f) j) n) 1 + x1 x x1 + x2 x1 x2 + + g) x2 + x1 1 + 2 x1 x2 k) x + 1 + x2 + x1 x2 h) l) x1 - x1 - x1 2x x2 x1 Bài 2: Tơng tự: 2x - 5x + = ; 3x + 4x - = ; - 3x + 2x + = Bài 3: Cho phơng trình: - x - 4x + = Không giải phơng trình tính: a) Tổng bình phơng nghiệm b) Tổng nghịch đảo nghiệm c) Tổng lập phơng nghiệm d) Bình phơng tổng nghiệm e) Hiệu nghiệm f) Hiệu bình phơng nghiệm Bài 4: Cho pt: x + 3x + = có hai nghiệm x1; x2 Không giải pt tính: + + x2 - x2 - x2 2x A= 6x 12 + 10x 1x + 6x 22 5x 1x + 5x 13x Dạng thứ ba: Tìm hai số biết tổng tích: Bài 1: a) Tìm hai số biết tổng chúng 27, tích chúng 180 b) Tìm hai số biết tổng chúng 1, tích chúng c) Tìm hai số biết tổng chúng 33 , tích chúng 270 d) Tìm hai số biết tổng chúng 4, tích chúng 50 e) Tìm hai số biết tổng chúng , tích chúng -315 Bài Tìm hai số u, v biết: a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105 c) u + v = 2; uv = d) u + v = 42; uv = 441 e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40 g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24 i) u + v = 4; uv = 19 j) u - v = 10; uv = 24 k) u2 + v2 = 85; uv = 18 l) u - v = 3; uv = 180 2 m) u + v = 5; uv = -2 n) u2 + v2 = 25; uv = -12 Dạng thứ bốn: Tính giá trị tham số biết mối liên hệ nghiệm: Bài 1: Cho pt x - 6x + m = Tính giá trị m biết pt có hai nghiệm x1; x2 thoả: a) x 12 + x 22 = 36 b) 1 + =3 x1 x c) 1 + = x1 x2 d) x - x = Bài 2: Cho pt x - 8x + m = Tìm giá trị m để pt có hai nghiệm x 1; x2 thoả hệ thức sau: a) x 12 + x 22 = 50 b) x = 7x c) 2x + 3x = 26 d) x - x = Bài 3: Cho pt x - (m + 3)x + 2(m + 2) = Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x = 2x Khi tìm cụ thể hai nghiệm pt? Bài 4: a) Tìm k để pt: x + (k - 2)x + k - = có hai nghiệm x1; x2 thoả x 12 + x 22 = 10 b) Tìm m để pt: x - 2(m - 2)x - = có hai nghiệm x1; x2 thoả x 12 + x 22 = 18 c) Tìm k để pt: (k + 1)x - 2(k + 2)x + k - = có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn (4x + 1)(4x + 1) = 18 d) Tìm m để pt: 5x + mx - 28 = có hai nghiệm x1; x2 thoả 5x + 2x = Bài Gọi x1; x2 hai nghiệm khác pt: mx + (m - 1)x + 3(m - 1) = Chứng minh: 1 + =x1 x Dạng thứ năm: Các toán tổng hợp Bài 1: Cho pt: x - (2m + 3)x + m + 3m + = a) Giải pt m = b) Định m để pt có nghiệm Khi pt nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? c) CMR pt có hai nghiệm phân biệt với m 2 d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để x + x = e) Định m để pt có nghiệm ba nghiệm kia? Bài 2: Cho pt x - 2(m - 1)x - m = a) CMR pt có nghiệm phân biệt x1; x2 với m b) Với m Hãy lập pt ẩn y có nghiệm là: y = x + 1 y = x + x2 x1 c) Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x + 2x = Bài 3: Cho pt x - 2(k + 3)x + 2k - = a) Giải pt k = b) Tìm k để pt có nghiệm 3, pt nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy? c) Chứng minh pt có nghiệm x1; x2 với k d) CMR tổng tích nghiệm có liên hệ không phụ thuộc k? e) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 1 + + =2 x x x 1x f) Tìm k để tổng bình phơng nghiệm có giá trị nhỏ Bài 4: Cho pt (m - 1)x - 2mx + m + = a) CMR pt có nghiệm phân biệt m b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm Từ tính nghiệm pt c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm pt không phụ thuộc m? d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 x2 + x2 x1 + =0 Bài 5: Cho pt x - 2(m + 1)x + 2m + 10 = a) Giải biện luận pt b) Tim giá trị m để pt có nghiệm m tìm nghiệm lại? 2 c) Tìm m cho hai nghiệm x 1; x2 pt thoả 10x 1x + x + x đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó? Bài 6: Cho pt x - 2mx + 2m - = a) Chứng minh pt có nghiệm x1; x2 với m 2 b) Đặt A = 2(x + x ) - 5x 1x +) Chứng minh A = 8m - 18m + +) Tìm m cho A = 27 c) Tìm m để pt có nghiệm hai nghiệm Khi tìm hai nghiệm ấy? Bài 7: Cho pt x - 2(m + 1)x + m - = a) Giải pt m = -5 b) CMR pt có nghiệm x1; x2 với m c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng e) CMR biểu thức A = x 1(1 - x ) + x (1 - x ) không phụ thuộc m f) Tính giá trị biểu thức x - x Bài 8: Cho pt x - 2(m + 2)x + m + = a) Giải pt m = - b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? c) Tìm m để pt có hai nghiệm âm? d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để x 1(1 - 2x ) + x (1 - 2x ) = m Bài 9: Cho pt x - 2(m + 1)x + m - 4m - = (x ẩn) a) Giải biện luận pt b) Tìm m để pt nhận nghiệm Với giá trị m vừa tìm đợc tìm nghiệm lại pt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu Bài 10: Cho pt (m - 4)x - 2mx + m + = a) Tìm m để pt có nghiệm x = Tìm nghiệm b) Tìm m để pt có nghiệm 2 c) Tính x + x theo m 3 d) Tính x + x theo m e) Tìm tổng nghịch đảo nghiệm, tổng bỉnh phơng nghịch đảo nghiệm Bài 11: a) Pt x - 2px + = có nghiệm x = Tìm p tính nghiệm b) Pt x + 5x + q = có nghiệm Tìm q tính nghiệm c) Biết hiệu hai nghiệm pt x - 7x + q = 11 Tìm q hai nghiệm d) Tìm q hai nghiệm pt x - qx + 50 = , biết pt có hai nghiệm nghiệm gấp đôi nghiệm e) Tìm giá trị m để pt x + 2(m + 2)x + 2m + = có nghiệm x1 = tìm nghiệm lại f) Định giá trị k để pt x + k (k + 1)x + 5k + 20 = có nghiệm x = -5 Tìm nghiệm g) Cho pt: 5x + mx - 28 = Định m để pt có hai nghiệm thoả 5x + 2x = h) Tìm tất giá trị a để pt x + ax + a + = có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x 12 + x 22 = 10 Bài 12: Cho pt (m + 1)x - 2(m - 1)x + m - = a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để pt có nghiệm Tìm nghiệm c) Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 1 + = ; x1 x 1 + = 1; x1 x x 12 + x 22 = d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 3(x + x ) = 5x 1x Bài 13: Cho pt x - 2(m + 1)x + 2m + 10 = a) Tìm m để pt có nghiệm P = 6x x + x + x 22 b) Cho trị nhỏ nhất, tìm GTNN ( x1; x2 hai nghiệm pt) Tìm m cho P đạt giá Bài 14: Tìm giá trị m; n để pt x = 1; x = ? x - 2(m + 1)x + n + = có hai nghiệm Bài 15: Tìm giá rị m để pt x - mx + m + = có nghiệm x1; x2 thoả mãn hai điều: x x + 2(x + x ) - 19 = a) b) x1; x2 âm x - 2(m - 1)x + m - = Bài 16: Cho pt a) CMR pt có nghiệm với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu 2 Bài 17: Cho pt x + mx + = a) Giải biện luận pt Từ cho biết với giá trị m pt có hai nghiệm? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm dơng c) Với giá trị m pt nhạn nghiệm Tìm nghiệm lại Bài 18: Cho pt x + 8x + m + = a) Xác định m để pt có nghiệm b) Với giá trị m pt có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tính nghiệm trờng hợp Bài 19: Cho pt x - mx + m - = a) Chứng tỏ pt có nghiệm x1; x2 với m Tính nghiệm kép (nếu có) pt giá trị Tơng ứng m 2 b) Đặt A = x + x - 6x 1x 2 +) Chứng minh A = m - 8m + +) Tính giá trị m để A = +) Tìm A ( m 1) x + 2(m - 1)x - m = Bài 20: Cho pt a) Định m để pt có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để pt có hai nghiệm âm? dơng? trái dấu? 2 x (2 m 3) x + m + 3m = Bài 21: Cho pt a) CMR pt có hai nghiệm với m b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn điều: x 2x + x 1x 22 = - x + x 22 = +) +) 2 Bài 22: Cho pt kx - 18x + = a) Với giá trị k pt có nghiệm? Tìm nghiệm đó? b) Với giá trị k pt có hai nghiệm phân biệt x 2x + x 1x 22 = c) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 2 Bài 23: Cho pt x - 10x - m + 20 = a) Giải pt m = 4? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng x - 2(m + 2)x + m + = Bài 24: Cho pt a) Tìm giá trị m để pt có nghiệm b) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt tìm m để: x (1 - 2x ) + x (1 - 2x ) = m 2 Bài 25: Cho pt 2x - 6x + m = a) Với giá trị m pt có nghiệm b) Với giá trị m pt có nghiệm dơng c) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt tìm m để x - 2(a + 1)x + 2(a + 5) = Bài 26: Cho pt a) Giải pt a = -2 b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt x1 x2 + x2 x1 =3 x + 2x = c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoả d) Tìm a để pt có hai nghiệm dơng (m + 1)x - 2(m - 1)x + m - = Bài 27: Cho pt a) Xác định m để pt có nghiệm 1 + = x1 x b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả c) Xác định m để pt có nghiệm hai nghiệm x - (5 + m )x - m + = có hai nghiệm thoả mãn Bài 28: Xác định m để pt điều kiện sau: a) Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b) Có hai nghiệm thoả Bài 29: Tìm giá trị m để 2x + 3x = 13 x 12 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất: 2 x (2 m 1) x + m = x + 2(m - 2)x - (2m - 7) = a) b) x - 2(m + 1)x + m - = Bài 30: Cho pt a) Giải pt m = b) Với giá trị m pt nhận x = nghiệm Tìm nghiệm lại c) Chứng minh pt có nghiệm với m x2+x =5 d) Tìm m để pt có nghiệm thoả e) Tìm giá trị m để pt có hai nghiện dơng? hai nghiệm âm? x - 2(m - 1)x + 2m - = Bài 31: Cho pt a) CMR pt có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm GTLN c) Tìm m để Y = 4; Y = Y = x 12 + x 22 Bài 32: Cho pt 5x + mx - 28 = a) CMR pt có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng c) Tìm m để pt có hai nghiẹm thoả: +) 1 + = x1 x +) x 12 + x 22 = d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 5x + 2x = Bài 33: Cho pt 2x + (2m - 1)x + m - = a) CMR pt có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x - 4x = 11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng d) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m 142 25 ... pt có nghiệm phân biệt m b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm Từ tính nghiệm pt c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm pt không phụ thuộc m? d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 x2 + x2 x1... 19 = a) b) x1; x2 âm x - 2(m - 1)x + m - = Bài 16: Cho pt a) CMR pt có nghiệm với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái... biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x - 4x = 11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng d) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m 142 25