ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƯƠNG II. TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN 1. Cho các ma trận 201 012 110 A ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦ và 101 1 11 2 0 11 3 1 B − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ . a. Tính các ma trận ,,( ) tt t A BBAB A A− . b. Tính () f A với 2 () 2fx x x = −+. 2. Cho cos sin sin cos A α α α α α − ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ . a. Chứng minh ,( ) n n A AA A A α βαβα α + ==. b. Tính 2005 31 11 , 11 13 n ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ 3. Tìm ma trận 2 ()XM∈ \ sao cho A XXA = với: a. 11 01 A ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ b. 12 11 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ 4. Tìm ma trận 2 ()XM∈ \ sao cho 2 10 2 63 XX − ⎡ ⎤ −= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 5. Cho ma trận ab A cd ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ . a. Chứng minh A là nghiệm của 2 () ( ) f xx adxadbc = −+ + −. b. Chứng minh nếu 0 k kA ∃ ∈=` thì 2 0A = 6. Giả sử ma trận () n AM∈ \ thỏa 2 ()( ) 0 n XM XA ∀ ∈=\ . Chứng minh 0 A = . 7. Cho hai ma trận ,() n AB M∈ \ sao cho A BBA = . Chứng minh : a. 22 ()() A BABAB−=− + b. 22 2 () 2 A BAABB+=+ + 8. Tính: a. 11 11 n ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ b. 11 13 n ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ c. 010 010 000 n ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỊNH THỨC 9. Tính các định thức: a. 21 31− , 13547 13647 28423 28523 b. 01 2 220 10 3 − − − , 246 427 327 1014 543 443 342 721 621− , 11 10 101 ii i i + − − c. 3011 1301 1130 0113 , 1234 21 43 3412 43 21 −− −− − − d. 2 2 2 1 1 1 ε ε ε ε εε , 2 2 11 1 1 1 ε ε ε ε với ε là căn bậc 3 khác 1 của đơn vị. 10. Không khai triển định thức, hãy tìm hệ số của 4 x và 2 x trong đa thức 212 111 () 32 1 111 xx x fx x x − = . 11. Biết 1020 là bội của 17. Không khai triển định thức, hãy chứng minh 0201 4501 5520 4450 là bội của 17. 12. Chứng minh: a. 11 11 11 1 1 1 222222 222 33 33 33 333 2 ab bc ca a b c abbcca abc abbc ca abc +++ +++= +++ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH b. 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 (1) (2) (3) (1) (2) (3) 0 (1) (2) (3) (1)(2)(3) aa a a bb b b cc c c dd d d ++ + ++ + = ++ + ++ + 13. Tính định thức cấp tổng quát: a. 122 22 222 22 223 22 222 12 222 2 n n − " " " ###%## " " b. 123 1 133 1 125 1 123 23 123 121 nn nn nn nn nn − − − − − − " " " ###%## " " c. 1 2 3 1n n axx xx x ax xx x xa x x x xx a x x xx xa − " " " ###%## " " d. x yy yy zxy yy zzx yy zzz xy zzz zx " " " ###%## " " (cấp n) 14. Giải phương trình: a. 23 1 11 1 1 0 12 4 8 13 9 27 xx x = b. 2 5100 112 00 1 0 0 12 00 1 xx x x xxx xx −+ − = − + ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH c. 111 11 11 1 1 1 112 11 0 111 11 111 1 x x nx nx − − = −− − " " " ###%## " " HẠNG MA TRẬN – MA TRẬN KHẢ NGHỊCH 15. Tìm hạng của ma trận: a. 13452 01346 35 2 3 4 23 5 6 4 − ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ −−−− ⎢⎥ − ⎣⎦ b. 31325 5 3234 13507 75141 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ c. 203 1 1223 3254 5285 − ⎡⎤ ⎢⎥ −− ⎢⎥ −− ⎢⎥ −− ⎣⎦ d. 112 21 5 110 61 a a − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ e. 31 1 4 410 1 17173 22 4 3 a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ f. 111 111 11 1 111 m m m m ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 16. Cho ma trận 2 32 3 10 2 3 21 3 53 3 7 m m A mm mm ⎡⎤ ⎢⎥ − = ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ + ⎣⎦ . Tìm m sao cho a. 2111 1311 1141 1115 1234 1111 rankA rank ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ b. 10014 01025 00136 1231432 4563277 rankA rank ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH c. 04101 48187 10 18 40 17 17173 rankA rank ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 17. Tìm hạng của ma trận: a. 1 1 1 1 aa aa aa a a aa a a aa aa + ⎡⎤ ⎢⎥ + ⎢⎥ ⎢⎥ + ⎢⎥ + ⎢⎥ ⎣⎦ " " ##%## " " (cấp n) b. 00 00 00 00 ab ab ba ba ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ " " ##%## " " (cấp 2n) 18. Tìm ma trận đảo của: a. 12 22 ⎡⎤ ⎢⎥ − ⎣⎦ b. 200 110 21 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ c. 103 211 322 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ d. 0111 1011 1101 1110 ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ e. 2100 3200 1134 2123 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ 19. Tìm ma trận đảo của ma trận cấp n: a. 11 1 01 1 00 1 ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ " " ##%# " b. 11 1 11 1 11 1 a a a + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ " " ##%# " . TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƯƠNG II. TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN 1. Cho các ma trận 201 012 110 A ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦ và 101 1 11 2 0 11 3 1 B − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ . a. Tính các ma trận ,,(. SỐ TUYẾN TÍNH c. 111 11 11 1 1 1 112 11 0 111 11 111 1 x x nx nx − − = −− − " " " ###%## " " HẠNG MA TRẬN – MA TRẬN KHẢ NGHỊCH 15. Tìm hạng của ma trận: a 3. Tìm ma trận 2 ()XM∈ sao cho A XXA = với: a. 11 01 A ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ b. 12 11 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ 4. Tìm ma trận 2 ()XM∈ sao cho 2 10 2 63 XX − ⎡ ⎤ −= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 5. Cho ma trận ab A cd ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ .