Chuyên đề: Học sinh hiểu sâu hơn về đồ thò hàm số bậc nhất I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN : Vấn đề vẽ đồ thò hàm số bậc nhất là bước cơ bản chủ yếu để học sinh tập dần cách vẽ đồ thò của một hàm số. Tuy nhiên, bước đầu học sinh còn gặp khó khăn khi vẽ đồ thò hàm số bậc nhất y = ax + b ( a ≠ 0 ). Với các lí do chủ yếu : Học sinh chưa nắm vững cách vẽ , vẽ không chính xác cùng các vấn đề liên quan như : Chưa hiểu sâu sắc tập xác đònh của hàm số, tính đồng biến, nghòch biến của hàm số, hệ số góc của đường thẳng, điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau , song song, trùng nhau . . . Sáng kiến kinh nghiệm này trình bày sâu sắc hơn về đồ thò hàm số bậc nhất giúp học sinh khắc phục các nhược điểm trên. Sáng kiến kinh nghiệm trên gồm 3 nội dung : - Cách vẽ đồ thò hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) - Nhận dạng tương đối của nhiều đường thẳng trên cùng mặt phẳng toạ độ. - Xác đònh giao điểm của hai đường thẳng. * Biện pháp, phương pháp thực hiện : Nêu và giải quyết vấn đề Vấn đáp Hoạt động nhóm Thực hành, luyện tập, nhắc lại những kiến thức cần thiết và khắc phục những thiếu sót và sai lầm học sinh mắc phải. II – NỘI DUNG : 1. Cách vẽ đồ thò hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) a. Trường hợp b = 0 thì y = ax ( a ≠ 0 ) * Nhận xét : - Hàm số y = ax ( a ≠ 0 ) xác đònh với mọi x ∈ R - Hàm số y = ax ( a ≠ 0 ) đồng biến trên R khi a > 0, nghòch biến trên R khi a < 0 - Đồ thò hàm số y = ax ( a ≠ 0 ) là một đường thẳng ( giải sử kí hiệu là d ) - M (x M ; y M ) ∈ (d) y M = ax M - Để vẽ đồ thò hàm số y = ax ( a ≠ 0 ) ta chỉ cần xác đònh hai điểm nào đó thuộc đồ thò rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó. Giáo viên : Phạm Quốc Dũng Trường THCS Tân An Trang - 1 Ta thường chọn hai điểm đó là : 0 ( 0 ; 0 ) ; A ( 1 ; a ) * Chú ý : Vò trí đồ thò hàm số y = ax ( a ≠ 0 ) trong mặt phẳng toạ độ. a > 0 đồ thò hàm số ( a ≠ 0 ) nằm trong góc phần tư thứ I & III. a < 0 đồ thò hàm số y = ax ( a ≠ 0 ) nằm trong góc phần tư thứ II & IV. y y (II) y = ax (I) y = ax (II) (I) O x O x (III) (IV) (III) (IV) ( a > 0 ) ( a < 0 ) b. Trường hợp b ≠ 0 : y = ax + b ( a ≠ 0 ) * Nhận xét : - Hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) xác đònh với mọi x ∈ R - Hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) đồng biến trên R khi a > 0, nghòch biến trên R khi a < 0 - Đồ thò hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) là một đường thẳng ( giải sử kí hiệu là d ) - N (x N ; y N ) ∈ (d) y N = ax N + b - Để vẽ đồ thò hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) ta chỉ cần xác đònh hai điểm nào đó thuộc đồ thò, thường là xác đònh hai điểm đặc biệt là giao điểm của đồ thò với hai trục toạ độ. - Giao điểm của đồ thò với trục 0x : cho x = 0 ⇒ y = b P ( 0 ; b ) - Giao điểm của đồ thò với trục 0y : cho y = 0 ⇒ x = a b − Q ( a b − ; 0 ) * Ví dụ : Vẽ đồ thò hàm số : i) y = 2x + 3 ii) y = – 2x + 3 cho x = 0 ⇒ y = 3 A ( 0 ; 3 ) cho x = 0 ⇒ y = 3 C ( 0 ; 3 ) y = 0 ⇒ x = 2 3 − B ( 2 3 − ; 0 ) y = 0 ⇒ x = 2 3 + D ( 2 3 + ; 0 ) y y y = 2 x + 3 x x Giáo viên : Phạm Quốc Dũng Trường THCS Tân An Trang - 2 2) Nhận dạng vò trí tương đối của nhiều đường thẳng trên cùng mặt phẳng toạ độ : a) Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0 ) với trục 0x : + a : gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0 ) + a > 0 góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục 0x là góc nhọn. + a < 0 góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục 0x là góc tù. b) Vò trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ : Cho đường thẳng (d) : y = ax + b ( a ≠ 0 ) (d’) : y = a’x + b’ ( a’ ≠ 0 ) • (d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’ • (d) // (d’) ⇔ a = a’ và b ≠ b’ • (d) trùng (d’) ⇔ a = a và b = b’ Để nhận dạng hai đường thẳng (d) và (d’) có cắt nhau, song song hoặc trùng nhau không, ta dựa vào so sánh các cặp hệ số a và a’; b và b’. Ví dụ : Xét các đường thẳng sau : i) (d 1 ) : y = 3x + 5 ( a = 3 ; b = 5 ) (d 2 ) : y = – x + 2 ( a’ = – 1 ; b’ = 2 ) Nhận xét : a ≠ a’ ⇒ (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau ii) (d 3 ) : y = 2x –3 ( a = 2 ; b = –3 ) (d 4 ) : y = 2x + 3 ( a’ = 2 ; b’ = 3 ) Nhận xét : a = a’ và b ≠ b’⇒ (d 3 ) // (d 4 ) cắt nhau 3) Xác đònh giao điểm của hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng (d) : y = ax + b và (d’) : y = a’x + b’ cắt nhau tại M Vấn đề đặt ra là : Tìm toạ độ của M a) Phương pháp hình học : + Vẽ đường thẳng (d) và (d’) trên cùng mặt phẳnh toạ độ + (d) và (d’) cắt nhau tại M + Đọc toạ độ của M ta được (x M ; y M ) b) Phương pháp đại số : + Giả sử M(x M ; y M ) là giao điểm của (d) và (d’) M ∈ (d) ⇔ y M = ax M + b => ax M + b = a’x M + b’ M ∈ (d’) ⇔ y M = a’x M + b’ => x M = )'( ' ' aa aa bb ≠ − − => y M = )'( ' '' aa aa baab ≠ − − M ( ; ' ' aa bb − − ' '' aa baab − − ) là giao điểm của (d) và (d’) Chú ý : Thông thường là phương pháp đại số để tìm giao điểm của hai đường thẳng là chính xác hơn phương pháp hình học. Giáo viên : Phạm Quốc Dũng Trường THCS Tân An Trang - 3 BÀI TẬP : 1) Vẽ đồ thò hàm số sau : y = – x + 2 (d 1 ) y = 5– 2x (d 10 ) y = 2 1 x + 2 (d 2 ) y = 2x (d 11 ) y = x + 1 (d 3 ) y = 0,5x (d 12 ) y = 3 x – 3 (d 4 ) y = – x + 6 (d 13 ) y = 3 1 x + 3 (d 5 ) y = x + 3 (d 14 ) y = –2x (d 6 ) y = 2x + 3 (d 15 ) y = 3x + 6 (d 7 ) y = x (d 16 ) y = x + 2 (d 8 ) y = 2x + 4 (d 17 ) y = – 0,5x + 2 (d 9 ) y = 2 1 x – 1 (d 18 ) 2) Không vẽ đồ thò hãy chỉ ra các cặp đường thẳng cắt nhau, các cặp đường thẳng song song trong số các đường thẳng trên. 3) Tính góc tạo bởi đường thẳng trên với trục 0x. 4) Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau : • (d 1 ) và (d 2 ) • (d 1 ) và (d 3 ) • (d 1 ) và (d 4 ) • (d 4 ) và (d 7 ) • (d 9 ) và (d 18 ) • (d 16 ) và (d 17 ) • (d 6 ) và (d 8 ) • - - - - - - - - III – KẾT LUẬN : Tóm lại để vẽ thật chính xác đồ thò hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) ta cần nắm vững cách vẽ , đồng thời nhận dạng đường thẳng đó ctạo một góc nhọn hay tù với trục 0x và có vò trí tương đói như thế nào với các đường thẳng khác trên cùng mặt phẳng toạ độ, xác đònh giao điểm hai đường thẳng cắt nhau bằng phương pháp ( đại số và hình học ). * Kết quả hiệu quả nhận dạng : Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm : 54,1% giỏi; 27,9% khá ; 15,3% trung bình ; 2,7% yếu. Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm : ……% giỏi; …… % khá ; … % trung bình. * Bài học kinh nghiệm : Để học sinh hiểu sâu sắc về đồ thò hàm số bậc nhất giáo viên cần : - Truyền đạt kiến thức liên quan đến đồ thò hàm số bậc nhất. - Dành nhiều thời gian cho học sinh thực hành ( đặc biệt là học sinh trung bình – yếu ). - Tổ chức học sinh học tập tích cực, phương pháp phù hợp, kết hợp vấn đáp , nêu và giải quyết vấn đề hoạt động nhóm, thực hành. Giáo viên : Phạm Quốc Dũng Trường THCS Tân An Trang - 4 - Bài tập đa dạng ( phù hợp với từng loại đối tượng học sinh ). - Phân nhóm học tập . Trên đây là các vấn đề liên quan đến đồ thò hàm số bậc nhất y = ax + b ( a ≠ 0 ) mà học sinh cần nắm vững và những kết quả thực hiện thời gian qua. Sáng kiến kinh nghiệm có thể chưa hoàn chỉnh. Rất mong sự đóng góp nhiệt tình của đồng nghiệp để chuyên đề hòan thiện hơn, Xin cảm ơn! Trực Ninh, ngày 18 tháng 01 năm 2008 NGƯỜI THỰC HIỆN Nguyễn Xuân Trường Giáo viên : Phạm Quốc Dũng Trường THCS Tân An Trang - 5 . hai đường thẳng (d) và (d’) có cắt nhau, song song hoặc trùng nhau không, ta dựa vào so sánh các cặp hệ số a và a’; b và b’. Ví dụ : Xét các đường thẳng sau : i) (d 1 ) : y = 3x + 5 ( a = 3 ; b. thò của một hàm số. Tuy nhiên, bước đầu học sinh còn gặp khó khăn khi vẽ đồ thò hàm số bậc nhất y = ax + b ( a ≠ 0 ). Với các lí do chủ yếu : Học sinh chưa nắm vững cách vẽ , vẽ không chính xác. điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau , song song, trùng nhau . . . Sáng kiến kinh nghiệm này trình bày sâu sắc hơn về đồ thò hàm số bậc nhất giúp học sinh khắc phục các nhược điểm trên. Sáng