Chuyên đề cực trị

Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS I. Lý do chọn đề tài : Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi các cấp bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thờng có các bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (GTLN); giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nào đó. Các bài toán này là một phần của các bài toán cực trị đại số. Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, nó tơng đối mới và khó đối với học sinh THCS. Để giải các bài toán cực trị học sinh phải biết đổi tơng đơng các biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, t duy sáng tạo. Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hớng đợc hớng đi, hay hơn thế là hình thành đợc một công thức "ẩn tàng" nào đó mỗi khi gặp một bài toán cực trị đại số. Là ngời trực tiếp giảng dạy toán trong trờng THCS, trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là dạy học sinh giỏi, tôi luôn luôn trăm trở, tìm tòi, chọn lọc những phơng pháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần dần các em có đợc một số phơng pháp giải cơ bản nhất. Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu ra "Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS". II. mục đích và nhiệm vụ của đề tài. 1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS giúp giáo viên vận dụng một cách tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. từ đó có phơng pháp dạy học phần này cho học sinh có hiệu quả giúp học sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt kiến thức toán học đặc biệt là kiến thức về "Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS. Nghiên cứu đề tài để lắm đợc những thuận lợi và khó khăn khi dạy học phần giải bài toán tìm cực trị từ đó xác định hớng nâng cao chất lợng dạy và học môn toán. Nghiên cứu đề tài giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành công dạy toán tìm cc trị của đồ thức. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu. Đề tài đa ra một hệ thống các phơng pháp thờng dùng để giải bài toán cực trị và một số bài toán áp dụng đối với từng phơng pháp. Trang bị cho học sinh lớp 9 hệ thống kiến thức để giả bài toán cực trị, tránh đợc những nhầm lẫn thờng gặp khi giải dạng bài toán này. Thông qua đề tài, học sinh có thể nắm đợc một số phơng pháp và có thể vận dụng vào giải bài tập, rèn kĩ năng giải bài toán cực trị, đồng thời Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 3 Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS giúp học sinh thấy đợc cái hay, cái đẹp, sức hấp dẫn của toán học, kích thích sự tò mò khám phá, tìm hiểu bài toán . III. đối t ợng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị trong chơng trình toán THCS Nghiên cứu các tài liệu có liên quan . Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 8, 9 IV. Ph ơng pháp nghiên cứu. 1. Phơng pháp nghiên cứu lí luận Đọc các tài liệu có liên quan Tạp chí toán tuỏi thơ 2 Phơng pháp dạy học môn toán Sách giáo khoa Sách giáo viên Sách tham khảo 2. Phơng pháp điều tra Điều tra nắm tình hình dạy của các giáo viên trong và ngoài nhà trờng. Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng "Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS của học sinh. Chất lợng của học sinh trớc và sau khi thực hiện 3. Phơng pháp phân tích Phân tích yêu cầu, kĩ năng giải môt bài tập 4. Phơng pháp thực nghiệm 5. Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp đẻ dạy tốt hơn trong quá trình dạy học. phần ii: nội dung I . Các kiến thức cần thiết 1. Các định nghĩa 1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền D : M. đợc gọi là GTLN của f(x,y, ) trên miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D 2. (x 0 , y 0 , ) |D sao cho f(x 0 , y 0 ) = M. Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = f max với (x,y, ) |D Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 4 Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS 1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền |D : M. đợc gọi là GTNN của f(x,y, ) trên miền |D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D 2. (x 0 , y 0 , ) |D sao cho f(x 0 , y 0 ) = M. Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = f min với (x,y, ) |D 2. Các kiến thức th ờng dùng 2.1. Luỹ thừa : a) x 2 0 x |R x 2k 0 x |R, k z - x 2k 0 Tổng quát : [f (x)] 2k 0 x |R, k z - [f (x)] 2k 0 Từ đó suy ra : [f (x)] 2k + m m x |R, k z M - [f (x)] 2k M b) x 0 x 0 ( x ) 2k 0 x0 ; k z Tổng quát : ( A ) 2k 0 A 0 (A là 1 biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x| 0 x|R b) |x+y| |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 c) |x-y| |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 và |x| |y| 2.3. Bất đẳng thức côsi : ai 0 ; i = n,1 : n n n aaa n aaa 21 21 +++ nN, n 2. dấu "=" xảy ra a 1 = a 2 = = a n 2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số bất kỳ a 1 ,a 2 , ,a n ; b 1 , b 2 , ,b n ta có : (a 1 b 1 + a 2 b 2 + +a n b n ) 2 ( ) ).( 22 2 2 1 22 2 2 1 nn bbbaaa ++++++ Dấu "=" xảy ra i i b a = Const (i = n,1 ) Nếu bi = 0 xem nh ai = 0 2.5. Bất đẳng thức Bernonlly : Với a 0 : (1+a) n 1+na n N. Dấu "=" xảy ra a = 0. Một số Bất đẳng thức đơn giản thờng gặp đợc suy ra từ bất đẳng thức (A+B) 2 0. a. a 2 + b 2 2ab b. (a + b) 2 4ab Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 5 Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS c. 2( a 2 + b 2 ) (a + b) 2 d. e. Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 6 2+ a b b a baab + + 411 Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS II. Một số phơng pháp cơ bản giải bài toán cực trị đại số Ph ơng pháp 01 ( Sử dụng phép biến đổi đồng nhất ) Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dơng) và những hằng số . Từ đó : 1.Để tìm Max f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra : Ryx Myxf | ),( ),( 00 sao cho f(x 0 ,y 0 , ) = M 2. Để tìm Min f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra : Ryx myxf | ),( ),( 00 sao cho f(x 0 ,y 0 , ) = m I. Các vi dụ minh hoạ : 1. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A 1 = x 2 + 4x + 7 Giải : Ta có : A 1 = x 2 + 4x + 7 = x 2 + 4x + 4x + 3 = (x + 2) 2 + 3 3 vì (x + 2) 2 0. A 1 min = 3 x + 2 = 0 x = -2 Vậy A 1 min = 3 x = -2 2. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của A 2 = -x 2 + 6x - 15 Giải : Ta có : A 2 = -x 2 + 6x - 15 = - (x 2 - 6x + 9) - 6 A 2 = - (x - 3) 2 - 6 - 6 do -(x - 3) 2 0 x |R A 2 max = - 6 x - 3 = 0 x = 3 Vậy A 2 max = - 6 x = 3 3. Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A 3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Giải : Ta có : A 3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002 = (x 2 -9x + 8) (x 2 - 9x + 20) + 2002 = {(x 2 -9x + 14) - 6}.{(x 2 -9x + 14) + 6} + 2002 = (x 2 -9x + 14) 2 - 36 + 2002 = (x 2 -9x + 14) 2 + 1966 1966 vì (x 2 -9x + 14) 2 0 x A 3 min = 1966 x 2 -9x + 14 = 0 = = 7 2 x x Vậy A 3 min = 1966 = = 7 2 x x 4. Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 4 = )1( 12 1102 2 2 + x xx xx Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 7 Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS Giải : Ta có: A 4 = 22 2 2 2 )1( 9 1 6 2 )1( 9)1(6)12(2 12 1102 = + = + x x x xxx xx xx = - 331 1 3 2 + + x vì - x x + 01 1 3 2 A 4 Max = 3 01 1 3 =+ x x = -2 Vậy : A 4 Max = 3 x = -2 5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất của A 5 = yx x y y x + với x,y>0 Giải : Ta có:A 5 = yx x y y x + = = + xy xyyxyyxx xy yxyyxx )()( A 5 = xy yxyx )).(( = xy yxyx ).()( 2 0 x,y > 0 A 5 min = 0 0= yx x = y Vậy : A 5 min = 0 x = y > 0 6. Ví dụ 6 : Cho x,y 0 và x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A 6 = x 2 + y 2 . Giải : Do x; y 0 và x + y = 1 0 x;y 1 x 2 x, y 2 y A 6 = x 2 + y 2 x + y = 1 A 6 max = 1 = = 1 0 y x hoặc = = 0 1 y x Mặt khác : x + y = 1 (x + y) 2 = 1 1 = x 2 + 2xy + y 2 (x 2 +y 2 )-(x-y) 2 A 6 = x 2 +y 2 = 2 1 )( 2 1 2 1 2 + yx do (x - y) 2 0 A 6 min = 2 1 x - y = 0 x = y = 2 1 Vậy : A 6 max = 1 = = = = 0 1 ; 1 0 y x y x A 6 min = 2 1 x = y = 2 1 7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của A 7 = xy + yz + zx - x 2 -y 2 -z 2 Giải : Ta có : A 7 = xy + yz + zx - x 2 -y 2 -z 2 = - 2 1 (2x 2 +2y 2 +2z 2 -2xy-2yz-2xz) A 7 = - 2 1 {(x-y) 2 + (y-z) 2 + (z-x) 2 } 0 x,y,z A 7 Max = 0 x = y = z Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 8 Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS Vậy : A 7 Max = 0 x = y = z II. Nhận xét: Phơng pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất đợc áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau. Song đôi khi học sinh thờng gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt đợc mục đích. Vậy còn những phơng pháp nào; để cùng phơng pháp vừa nêu trên giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải. Trớc hết ta giải một số bài toán sau để cùng suy ngẫm. III. Các bài tập đề nghị : 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : a. A = x 2 - 10x + 20 b. B = (x-1) 2 + (x-3) 2 c. C = 12 683 2 2 + + xx xx (x 1) d. D = x 3 + y 3 + xy biết x + y = 1 e. E = xyyx xyyx 2 )(4 ++ ++ với x,y > 0 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : a. A = - x 4 + 2x 3 - 3x 2 + 4x + 2002 b. B = 1 2 2 2 + + x x ; C = 2510 196747 2 2 + + xx xx 3. Tìm GTLN, GTNN của A = 32 64 2 2 ++ ++ xx xx Ph ơng pháp 02 : ( Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ) Ta biết rằng : Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đa về 1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng mà một vế là hằng số. Vì vậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng ta có thể tìm đợc cực trị của 1 biểu thức nào đó. I. Các ví dụ minh hoạ : 1. Ví dụ 1 : Cho a > b > 0. Tìm GTNN của B 1 = a + )( 1 bab Giải : Ta có : B 1 = a + )( 1 bab = b + (a-b) + )( 1 bab 3. 3 ).( )( bab bab (theo Côsi). Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 9 Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS B 1 3 B 1 min = 3 b = a-b = )( 1 bab = = 1 2 b a Vậy : B 1 min = 3 = = 1 2 b a 2. Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B 2 = ab 1 + 22 1 ba + Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)( yx 11 + ) 2 yx. . 2 xy 1 = 4 (với x,y > 0) yx 11 + yx + 4 (1) Ta có : ab ( 2 ba + ) 2 = 4 1 ab 1 4 (2) do a+b = 1 ; a,b > 0 áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có : B 2 = 22222222 2 4 2 4 ) 1 2 1 ( 2 11 2 211 baabba abab ba ab ba ab ++ + + ++= + += + + B 2 2 + 6 )( 4 2 = + ba do a + b = 1 B 2 min = 6 a = b = 2 1 Vậy : B 2 min = 6 a = b = 2 1 3. Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của B 3 = x 4 + y 4 + z 4 Giải : Do xy + xz + yz = 4 16 = (xy + xz + yz) 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) (x 2 +y 2 +z 2 ) (Theo Bunhiacôpxki) 16 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 (x 4 + y 4 + z 4 ) (1 2 +1 2 +1 2 ) B 3 = x 4 + y 4 + z 4 3 16 B 3 min = 3 16 x = y = z = 3 32 Vậy : B 3 min = 3 16 x = y = z = 3 32 4. Ví dụ 4 : Cho |a| 1; |b| 1 và | a+ b| = 3 Tìm GTLN của B 4 = 22 11 ba + Giải : Ta có : (a-b) 2 0 a;b 2 22 22 + + baba (1) áp dụng (1) ta có : 2 1 2 )(2 2 11 2 11 22 22 22 2 22 ba ba baba + = + = + + Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 10 Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS Do 4 3 2 3 22 2 2 22 = = + + baba (do | a + b| = 3 ) 2 22 2 11 + ba 1 - 4 3 = 4 1 ( 111 22 + ba ) B 4 = 111 22 + ba B 4 Max = 1 a = b = 2 3 Vậy : B 4 Max = 1 a = b = 2 3 5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B 6 = | x + 7| + | x - 1995| Giải : Ta có : |x| + |y| | x + y| dấu "=" xảy ra x,y 0 Do vậy : B 6 = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | |x+7 + 1995 - x| = 2002 B 6 Min = 2002 (x + 7). (1995 - x) 0 -7 x 1995 Vậy : B 6 Min = 2002 -7 x 1995 6. Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. B 7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| Giải : Ta có : B 7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| B 7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - (2x + y)| B 7 | x + 2000 + x + y + 4 + 6 - 2x - y| = 2010 B 7 min = 2010 (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - 2x + y) cùng dấu Vậy : B 7 min = 2010 7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B = (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 với x 2 y + xy 2 0 Giải : Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 1 + 2001 (x 2 y + xy 2 ) B (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001. B 2002 B min = 2002 xy(x+y) = 0 = = = yx y x 0 0 Vậy : B min = 2002 = = = yx y x 0 0 8. Ví dụ 8 : Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của B 8 = x 16 + y 16 + z 16 Giải : Cách 1 : Ta có : (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 0 a,b,c Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 11 Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS a 2 + b 2 + c 2 ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B 8 = x 16 + y 16 + z 16 = (x 8 ) 2 + (y 8 ) 2 + (z 8 ) 2 x 8 y 8 + y 8 z 8 + z 8 x 8 B 8 x 8 y 8 + y 8 z 8 + z 8 x 8 B 8 (x 4 y 4 ) 2 + (y 4 z 4 ) 2 + (z 4 x 4 ) 2 x 4 y 4 . y 4 z 4 + x 4 y 4 . z 4 x 4 + y 4 z 4 . z 4 x 4 B 8 x 4 y 8 z 4 + x 8 y 4 z 4 + x 4 y 4 z 8 B 8 (x 2 y 4 z 2 ) 2 + (x 4 y 2 z 2 ) 2 + (x 2 y 2 z 4 ) 2 x 6 y 6 z 4 + x 6 y 4 z 6 + x 4 y 6 z 6 B 8 (x 3 y 3 z 2 ) 2 + (x 2 y 3 z 3 ) 2 + (x 3 y 2 z 3 ) 2 x 5 y 6 z 5 + x 6 y 5 z 5 + x 5 y 5 z 6 B 8 (xyz) 5 .x + (xyz) 5 .y + (xyz) 5 .z = x + y + z = 3 (do xyz = 1 và x + y + z = 3) B 8 min = 3 x = y = z = 1 Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1) áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có : 3 = x + y + z 9 = (x+ y + z) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ).3 3 (x 2 + y 2 + z 2 ) 9 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (x 4 + y 4 + z 4 ).3 3 x 4 + y 4 + z 4 9 (x 4 + y 4 + z 4 ) 2 (x 8 + y 8 + z 8 ).3 3 x 8 + y 8 + z 8 9 (x 8 + y 8 + z 8 ) 2 (x 16 + y 16 + z 16 ).3 B 8 = x 16 + y 16 + z 16 3 . B 8 min = 3 x = y = z = 1 Vậy : B 8 min = 3 x = y = z = 1 II. Nhận xét : Rõ ràng khi áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản, bài toán đợc giải quyết nhanh hơn. Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và sự vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó. Một vấn đề đặt ra là : Hai phơng pháp vừa nêu vẫn cha đủ để giải quyết đợc hết các bài toán cực trị đại số THCS. Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có những phơng pháp khác tối u hơn và thực hiện đợc yêu cầu bài toán. Trớc khi đi nghiên cứu phơng pháp 03. Chúng ta cùng nghiên cứu một số bài tập sau : III. Một số bài tập đề nghị : 1. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 Tìm GTNN của A = (1+ a 1 ) (1+ b 1 ) (1+ c 1 ) 2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1 Tìm GTNN của B = 22 32 ba ab + + 3. Cho a,b,c > 0 a) Tìm GTNN của C = ba c ac b cb a + + + + + b) Tìm GTNN của D = c ba b ac a cb ba c ac b cb a + + + + + + + + + + + Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 12 [...]... phụ ) Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi ngời ta xét cực trị của 1 biểu thức khác có thể so sánh đợc với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn Ví dụ : Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu thức : -A, kA, k + A, |A| , A2 (k là hằng số) I Các vị dụ minh hoạ : 1 Ví dụ 1: Tìm GTLN của A = 1 , A x2 x4 + x2 + 1 Giải : a) Xét x = 0 A = 0 giá trị này không... pháp miền giá trị ) Trong một số trờng hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho chỉ có thể có một hoặc hai biến số và đa đợc về dạng tam thức bậc 2 thì ta có thể sử dụng kiến thức về miền già trị của hàm số để giải và thấy rất hiệu quả Đờng lối chung là : 19 Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS Giải sử ta phải tìm cực trị của hàm... Phơng pháp xét từng khoảng giá trị ) Có nhiều bài toán nếu ta chỉ sử dụng các phép biến đổi tơng đơng, các bất đẳng thức cơ bản phơng pháp đổi biến hay biểu thức phụ, thậm chí ngay cả khi sử dụng phơng pháp miền giá trị hàm số, việc tìm cực trị vẫn gặp rất nhiều khó khăn có khi không thể tìm đợc Những khi ta biết cách xét từng khoảng hợp lý (có sự dự đoán) thì việc tìm đợc cực trị trở nên đơn giản I Các... là nghiệm Giải điều kiện ta tìm đợc x = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) = 4 ( 5 + 10 ) tại x = 2 Nhận xét : Vận dụng phơng pháp này để tìm cực trị của biểu thức, đòi hỏi ngời giải phải rất tinh tế khi chọn điểm để thảo mãn những yêu cầu bài toán Bài tập tham khảo : Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x 2 2 x + 5 + x 2 + 2 x + 10 Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của f(x) = 4 x 2 + 2 x + 1 4 x 2 2... m, n N và 1 m ; n 1981 và (n2 - mn - m2)2 = 1 Tìm GTLN của C = m2 + n2 Phơng pháp 07: ( Phơng pháp hình học ) Trong các bài toán xét cực trị của biểu thức đại số nếu biểu thức ở dạng là tổng hiệu của căn bậc hai của các tam thức thì ta có thể đa bài toán xét cực trị của các biểu thức đại số sang xét độ dài của các đoạn thẳng bằng việc chọn các điểm có toạ độ thích hợp chứa các đoạn thẳng đó Lý thuyết... Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 25 Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS Ta lại có phơng trình của đờng thẳng qua A và B là : d = 4 5 x 3 3 5 4 d cắt ox tại M ( ; 0) Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5 đạt tại x = 5 4 2 Ví dụ 2: Cho f(x) = 5 x 2 + 20 + 5 x 2 32 x + 64 + 5 x 2 40 x + 100 + 5 x 2 8 x + 16 Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) (1) Giải : Ta có : 5 x 2 + 20 = ( x 4) 2 + (2 x ... một giá trị của f(x) Ta có : 2 y = x2 +2 x +1 Giải : yx2 + y - x2 - 1 = 0 (y - 1)x2 + y - 2 = 0 (y - 1)x2 = 2 - y * Nếu y = 1 Phơng trình vô nghiệm (có nghiệm) 2 y * Nếu y 1 x2 = y 1 (1) 2 y (1) có nghiệm y 1 0 1 < y < 2 YMin = 2 x = 0 Vậy f(x) Max = 2 x = 0 II Các bài tập đề nghị : Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 21 Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc... x = 0 4 1 C5max = y = 0 4 II Các bài tập đề nghị : 1 Tìm GTNN của A = x2 + 4 - x + 1 x x +1 2 3 50 2 Tìm GTLN của B = a + 1 + 2a 3 + 50 3a với a ; 2 3 1 2 1 2 1 và a+ b + c = 1 2 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 3 Cho a - ; b - ; c Tìm GTLN của C = Ngời thực hiện: Nguyễn Xuân Lập Toán K9 - ĐHSP Hà Nội 15 Một số phơng pháp cơ bản giảI bài toán cực trị bậc THCS 4 Cho x,y > 0 Tìm GTNN x y y2 x2... = 2 Vậy AMin = 11 m = 1; n = 2 n2 2 Ví dụ 2: Cho m N* Tìm giá trị lớn nhất của B = n 2 Giải : Với n = 1 ta có : B = Với n = 2 ta có : B = 1 Với n = 3 ta có : B = 1 1 8 Với n = 4 ta có : B = 1 Với n = 5 ta có : B = 25 . khi ngời ta xét cực trị của 1 biểu thức khác có thể so sánh đợc với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn. Ví dụ : Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu. để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS". II. mục đích và nhiệm vụ của đề tài. 1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS. toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (GTLN); giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nào đó. Các bài toán này là một phần của các bài toán cực trị đại số. Các bài toán cực trị rất phong phú và